Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2015 – 2016 môn: Toán 7

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 – 2016 
MÔN: TOÁN 7 
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
a) So sánh: 12617  và 99 . 
b) Chứng minh: 
1 1 1 1 1.... 10
1 2 3 99 100
     > .
c) Cho 
1 1 1 1 1 11 ...
2 3 4 2013 2014 2015
S = -  -   -  và 
1 1 1 1 1...
1008 1009 1010 2014 2015
P =      . 
Tính ( ) 2016S P- .
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm hợp số r.
b) Tìm số tự nhiên ab sao cho 2 3( )ab a b= 
Bài 3: (6,0 điểm)
a) Cho x; y; z ¹ 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức 1 1 1
z x yB
x y z
æ öæ ö æ ö= - - ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø
b) Cho 3 2 2 4 4 3
4 3 2
x y z x y z- - -
= = . Chứng minh rằng: 
2 3 4
x y z
= =
c) Cho biểu thức 5
2
xM
x
-
=
-
. Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: (3,0 điểm) Cho · 060xAy = vẽ tia phân giác Az của góc đó. Từ một điểm B trên tia Ax vẽ
đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Kẻ BH  Ay tại H, CM  Ay tại M, BK  AC tại K.
Chứng minh:
a) KC = KA b) BH = 
2
AC c) ΔKMC đều.
Bài 5: (3,0 điểm) Cho DABC có µ µ2.B C= < 900. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia AB lấy
điểm D sao cho AD = HC. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng
AC.
Ghi chú: Học sinh không được sử dụng các loại máy tính.
Họ và tên thí sinh:.............................................................SBD:............
Họ tên và chữ ký giám thị 1:......................................................................
Họ tên và chữ ký giám thị 2:......................................................................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015 – 2016
Đề chính thức
Câu Nội dung Điểm
Bà
i1
: (
4,
0 
đi
ểm
)
a)
So sánh: 12617  và 99 1,0đ
Ta có: 17 16; 26 25> > => 12617  > 16 25 1 4 5 1 10  =   = 0,5đ
Mà 10 = 100 99>
Vậy: 12617  > 99 . 
0,5đ
b)
Chứng minh: 
1 1 1 1 1.... 10
1 2 3 99 100
     > 1,0đ
Ta có: 
1 1 1 1 1 1 1 1; ; ;...;
1 100 2 100 3 100 99 100
> > > > 0,5đ
Suy ra: 
1 1 1 1 1.... 100. 10
1 2 3 100 100
    > = 
Vậy: 10100
1....
3
1
2
1
1
1
>
0,5đ
c)
Cho 1 1 1 1 1 11 ...
2 3 4 2013 2014 2015
S = -  -   -  và
1 1 1 1 1...
1008 1009 1010 2014 2015
P =      . Tính ( ) 2016S P-
2,0đ
Ta có: 
1 1 1 1 1...
1008 1009 1010 2014 2015
P =     
1 1 1 1 1 1 11 ... ...
2 3 1006 1007 1008 2014 2015
æ ö=         ç ÷
è ø
1 1 1 11 ...
2 3 1006 1007
æ ö-     ç ÷
è ø
0,5đ
1 1 1 1 1 1 11 ... ...
2 3 1006 1007 1008 2014 2015
æ ö=         ç ÷
è ø
1 1 1 1 12 ...
2 4 6 2012 2014
æ ö-     ç ÷
è ø 1,0đ
1 1 1 1 1 11 ......
2 3 4 2013 2014 2015
= -  -   -  = S.
Do đó ( ) 2016S P- = 0
0,5đ
Bà
i 2
: (
4,
0 
đi
ểm
)
a)
Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm hợp số r. 2,0đ
Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 < r < 42, k, r tự nhiên)
Hay p = 2.3.7k + r.
0,5đ
Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; 7 
=> r là hợp số không chia hết cho 2; 3; 7 và r < 42
1,0đ
Học sinh chỉ ra được r = 25
Vậy hợp số r = 25
0,5đ
b) Tìm số tự nhiên ab sao cho 2 3( )ab a b=  2,0đ
Ta có: (a + b)3 = 2ab là số chính phương nên a + b là số chính phương.
Đặt a + b = x2 (x Î *N ) 
0,5đ
Suy ra: 2 3( )ab a b=  = x6 
=> x3 = ab 8 => 8 2 x = 3; 4 vì x Î *N
1,0đ
- Nếu x = 3 => 2 3( )ab a b=  = 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = 3 (nhận)
- Nếu x = 4 => 2 3( )ab a b=  = 46 = 4096 = 642 ¹ (6 + 4)3 = 1000
=> x = 4 (không thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là: ab = 27
0,5đ
Bà
i 3
: (
6,
0 
đi
ểm
)
a)
Cho x; y; z ¹ 0 và x–y–z = 0. Tính giá trị biểu thức 1 1 1
z x yB
x y z
æ öæ ö æ ö= - - ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø
2,0đ
Ta có: 1 1 1 . .
z x y x z y x z yB
x y z x y z
æ ö - - æ ö æ ö= - -  =ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø
0,5đ
Từ: x – y – z = 0 => x – z = y; y – x = – z và y + z = x 1,0đ
Suy ra: B = . . 1( ; ; 0)
y z x x y z
x y z
-
= - ¹ 0,5đ
b)
Cho 3 2 2 4 4 3
4 3 2
x y z x y z- - -
= = . Chứng minh rằng: 
2 3 4
x y z
= = 2,0đ
Ta có: 3 2 2 4 4 3 4(3 2 ) 3(2 4 ) 2(4 3 )
4 3 2 16 9 4
x y z x y z x y z x y z- - - - - -
= = => = = 0,5đ
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4(3 2 ) 3(2 4 ) 2(4 3 ) 4(3 2 ) 3(2 4 ) 2(4 3 ) 0
16 9 4 16 9 4
x y z x y z x y z x y z- - - -  -  -
= = = =
 
 0,75đ
=> 4(3 2 ) 0 3 2 (1)
16 2 3
x y x yx y- = => = => = và 3(2 4 ) 0 2 4
9 2 4
z x x zz x- = => = => = (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
2 3 4
x y z
= =
0,75đ
c)
Cho biểu thức 5
2
xM
x
-
=
-
. Tìm x nguyên để M nhỏ nhất 2,0đ
Ta có: 5 3 ( 2) 3 1 ( 2)
2 2 2
x xM x
x x x
- - -
= = = - ¹
- - -
0,5đ
M nhỏ nhất  3
2x -
 nhỏ nhất  x – 2 lớn nhất và x – 2 < 0 
 x lớn nhất và x < 2  x = 1 (vì x nguyên)
1,0đ
Khi đó GTNN của M là: M = 
3 1 4
1 2
- = -
-
 khi x = 1 0,5đ
Bà
i 4
: (
3,
0 
đi
ểm
)
a) Chứng minh: KC = KA 1,0đ
Ta có · ·yAz zAx= = 300 (Az là tia phân giác của ·xAy )
Mà: · ·yAz ACB= (Ay // BC, so le trong)
 · ·zAx ACB ABC= V cân tại B
0,5đ
Trong tam giác cân ABC có BK là đường cao ứng với cạnh đáy
 BK cũng là đường trung tuyến của DABC  KC = KA
0,5đ
b)
Chứng minh: BH = 
2
AC 1,0đ
Ta có: · ·0 090 30ABH xAy= - = (DABH vuông tại H). 0,25đ
Xét hai tam giác vuông DABH và DBAK, có:
AB: Cạnh chung; · · 0( 30 )zAx ABH= =
 DABH = DBAK  BH = AK 
0,5đ
Mà: AK = ( )
2 2
AC ACcmt BH = 0,25đ
c)
Chứng minh: ΔKMC đều 1,0đ
Ta có: DAMC vuông tại M có MK là trung tuyến ứng với cạnh huyền 
 KM = AC/2 (1)
Mà: AK = KC = AC/2 (2) 
Từ (1) và (2) => KM = KC => DKMC cân tại K (3)
0,5đ
Mặt khác: DAMC có · · ·0 0 0 0 090 ; yAz=30 90 30 60AMC MCK=  = - = (4)
Từ (3) và (4)  DAMC đều 
0,5đ
Bà
i 5
: (
3,
0 
đi
ểm
)
Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC 3,0đ
Ta có: µ µ µ µ2.B C B C= => > nên AC > AB => HC > HB 0,25đ
Trên đoạn thẳng HC lấy điểm I sao cho IH = HB => DAHI = DAHB
=> AI = AB và · · ·2.AIB ABC ACB= =
0,5đ
Mặt khác: · · · · ·AIB ACB IAC IAC ACB=  => =
Do đó: IA = IC < HC hay AB < HC = AD
0,5đ
Gọi K là giao điểm của DH với AC.
Vì AD = HC, AB = IC nên BD = HI = HB => DDBH cân tại B
Do đó: · · · ·1
2
BDH BHD ABC ACB= = =
1,0đ
Suy ra: · · · · ·( )KHC ACB BHD KAH KHA= = => = (phụ hai góc bằng nhau)
Suy ra: KA = KH = KC hay K là trung điểm của AC
Vậy đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC
0,75đ
Ghi chú: - Mọi cách giải khác nếu đúng, lý luận phù hợp đều ghi điểm tối đa.
 - Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầy
đủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.