Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Nam Sách (Có đáp án)

 1 
Câu I. (2,0 điểm): Cho biểu thức 
3 9 3 1 1 1
2 :
12 1 2
x x
A
xx x x x
  
          
 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. 
 2) Rút gọn biểu thức A. 
 3) Tìm giá trị của x để 
2
A
 là số tự nhiên. 
Câu II. (2,0 điểm) 
 1) Giải phương trình: 1 3 2 1x x x    
 2) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p2 - 2q2 = 1 
Câu III. (2,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x+3 (d1) ; y = 3x+7 (d2) 
 1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn 
thẳng AB. 
 2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2) . Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó. 
Câu IV. (3,0 điểm) 
 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc 
với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M. 
 1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? 
 2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và BC. Chứng minh rằng: 
4
HM MK CD
HK MC R
  
 3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M 
di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B). 
Câu IV. (1,0 điểm) 
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1. Chứng minh rằng: 
2
c ab a bc b ac
a b b c a c
  
  
  
Họ và tên thí sinh: .......................................................................................... SBD: ........................... 
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com-Xem kho sách bản quyền của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/ 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 HUYỆN NAM SÁCH 
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC: 2016-2017 
 Môn thi: Toán - Lớp 9 
 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
 Ngày thi: ........................ 
 2 
Câu Ý Lời giải Điểm 
1 
(0.25đ) 
Điều kiện: 
0
1
x
x



0.25 
2 
(1.0đ) 
  
 
  
  
  
 
2
3 9 3 1 1 1
2 :
12 1 2
3 2
1
1 2
1 2
1 1
1 2
1
x x
A
xx x x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
  
          
 
  
 
 
   
 
 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
I 
(2.0đ) 
3 
(0.75đ) 
Với ĐK: 
0
1
x
x



Ta có:  
2
1A x  
Vì  
2
1 1A x   với mọi 0x  nên 
 
2
2
0 2
1x
 

Do đó: 
 
2
2 2
1
N
A x
 

 khi  
2
1 1x   hoặc  
2
1 2x   
Mà 1 0x   nên 1 1x   hoặc 1 2x   . 
Do đó: x = 0 hoặc  
2
2 1 3 2 2x     
Vậy 
2
A
 là số tự nhiên khi x = 0 hoặc 3 2 2x   
0.25 
0.25 
0.25 
1 
(1.0đ) 
Giải phương trình: 1 3 2 1x x x    (1) 
ĐK: 0x  
Đặt  3 , 1, , 0a x b x a b    
Khi đó ta được PT: 2 2 ( )( 1) 0b a a b a b a b        
Mà a + b + 1 > 0 nên a = b. 
Do đó (1)  
1
3 1 3 1 /
2
x x x x x t m        
Vậy nghiệm của PT là 
1
2
x  
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
II 
(2.0đ) 
2 
(1.0đ) 
Ta có: p2 -2q2 = 1  p2 =2q2 + 1 p lẻ. 
Đặt p = 2k+1 (kN*)  (2k+1)2 = 2q2 + 1 q2 = 2(k2+k) 
q chẵn mà q nguyên tố nên q = 2 p = 3 (thỏa mãn) 
0.25 
0.25 
0.25 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 HUYỆN NAM SÁCH 
 HƯỚNG DẪN CHẤM 
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC: 2016-2017 
 Môn thi: Toán - Lớp 9 
 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
 Ngày thi: ........................ 
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) 
 3 
Vây cặp số nguyên tố (p;q) cần tìm là (3;2) 
0.25 
2a 
(0.75đ) 
Tìm được A(0;3); B(0;7) 
 suy ra I(0;5) 
0.5 
0.25 
III 
(2.đ) 
2b 
(1.25đ) 
Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x+3 = 3x+7 
x = -2 yJ = 1  J(-2;1) 
Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20 
OJ2 + IJ2 = OI2  tam giác OIJ là tam giác vuông tại J 
 
1 1
5 20 5
2 2
S      OIJ OJ IJ (đvdt) 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
M O
A
BO'
C'
E
C
D
K
H
1 
(1.0đ) 
 
 
Vr CD AB CM=MD
tö ù gãaùc ACED céù AE caét CD tauã trung ñãekm cuûa méã ñö ôøng 
nehn laø hrnh brnh haønh 
maø AE CD tö ù gãaùc ACED hrnh théã.
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
IV 
(3.0đ) 
2 
(1.0 đ) 


  
V r tam gãaùc A B C céù A B laø ñö ô øng ksnh (O ) nehn A B C vuéhng tauã C
suy ra tö ù g ãa ùc C H M K laø hrnh ch ö õ nhaät 
A Ùp duung heä th ö ùc lö ô ung vaøé caùc tam gãa ùc vuéhng ta cé ù:
M A M C
M H A C =M A M C M H =
A C
tö ô ng tö
2
2
2 2 3
2

 
 

 
    


 

M B M C
u ta cé ù: M K = 
B C
M A M B M C
M H M K =
A C B C
m aø M A .M B = M C , A C .B C =M C .A B (dé tam gãaùc A B C vuéhng tauã C )
M C M C M C M H M K M C
M H M K =
M C A B A B M C A B
m aø M C =H K (dé C H M K laø hrnh ch ö õ nhaät)
M H M K M C
H K M C A B 4
4
 
 
2M C C D
2A B R
H M M K C D
V aäy: (Ñpcm )
H K M C R
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
 4 
 3 
(1.0 đ) 
Lấy O’ đối xứng với O qua A suy ra O’ cố định. 
Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm A của mỗi đường.. Do đó O’C’ = OC = R không đổi 
Suy ra C’ nằm trên đường tròn (O’,R) cố định khi M di chuyển trên đường 
kính AB. 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
V 
(1.0đ) 
 Vì a + b + c = 1 nên 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
c ab c a b c ab c a c b
a bc a a b c bc b a b c
b ac a a b c ac a b a c
       
       
       
Nên BĐT cần chứng minh tương đương với: 
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
c a c b b a b c a b a c
a b a c b c
c a c b b a b c a b a c
a b a c b c
     
  
  
          
        
       
Mặt khác dễ thấy: x2 + y2 + z2  xy + yz + zx , với mọi x, y, z. (*) 
Áp dụng (*) ta có: 
2VT b c a b c a       
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 
1
3
Đpcm. 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
Tài liệu phù hợp với bạn 
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT 
Bộ phận bán hàng: 
0918.972.605 
Đặt mua tại: 
https://goo.gl/forms/bGmcUc
LpmuvwodZa2 
Xem thêm nhiều sách tại: 
Hổ trợ giải đáp: 
sach.toan.online@gmail.com