Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD & ĐT Yên Lạc (Có đáp án)

UBND HUYỆN YÊN LẠC
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2014 -2015
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
Bài 1: ( 2,5 điểm)
Cho biểu thức 
 a, Rút gọn biểu thức P.
 b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 2: ( 2,5 điểm)
 a, Cho biểu thức . Chứng minh rằng A là số chính phương.
 b, Giải phương trình 
Bài 3: ( 2,5 điểm)
 a, Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 128.
 b, Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương ( với k nguyên dương, kí hiệu k! là tích 1.2.3k).
Bài 4: ( 1,5 điểm)
 Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn Gọi Q là một điểm tùy ý trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên đường tròn (O) thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q của đường tròn (O) chạy trên một đường thẳng cố định.
Bài 5: ( 1,0 điểm)
 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
-------------------------------------Hết---------------------------------
(Giám thị không giải thích gì thêm)
UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014- 2015
MÔN: TOÁN
Bài
Nội dung
Điểm
1
2,5 đ
a, ĐKXĐ 
0,25
Ta có 
1,25
b, Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
0,75
Vậy GTLN của Q= khi x=2
0,25
Bài 2
2,5 đ
a, Biến đổi 
0,5
0,25
Vì , suy ra 
0,25
Vậy A là một số chính phương.
0,25
b, ĐKXĐ 
0,25
Phương trình đã cho tương đương với
0,25
Do 
0,25
0,25
Vậy nghiệm của phương trình là (x;y;z)=(3;-2013;2016)
0,25
Bài 3
2,5 đ
a, -Ta có , trong 8 số nguyên liên tiếp tồn tại 1 số chia hết cho 8, một số chia hết cho 6, một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2
0,5
-Do đó 8 số nguyên liên tiếp chia hết cho 
0,5
b, Giả sử Theo ý a, thì 
Do đó (1)
0,25
Từ (1) suy ra a,b đều chẵn. Đặt a=2c, b=2d và rút gọn ta được
 (2)
0,25
Từ (2) suy ra c, d đều chẵn. Đặt c=2p, d=2q và rút gọn ta được
 (3)
0,25
Vì số chính phương khi chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1, nên chia cho 4 dư 0;1 hoặc 2. Mà 8k+315 chia 4 dư 3. Nên (3) không xảy ra.
0,25
 Vậy không thể biểu diễn số dưới dạng tổng của hai số chính phương.
0,25
Bài 4
1,5 đ
Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OP ở S.
Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PQ
0,25
Ta có (1)
0,25
Ta có (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra không đổi, nên điểm S cố định.
0,25
Vậy điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OP tại điểm S cố định.
0,25
Bài 5
1,0 đ
a, Áp dụng BĐT AM-GM ta có
0,25
0,25
0,25
Vậy GTNN của P=1 khi a=b=c=1.
0,25