Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi thi môn Toán lớp 9 năm học 2015 - 2016

ĐỀ THI CUAR TRƯƠNG QUANG AN DẠY KÈM 01208127776
CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THI MÔN TOÁN LỚP 9 
NĂM HỌC 2015 - 2016
Thời gian làm bài: 150 phút.
Bài 1: a) Tính giá trị của biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 2015, biết rằng
b) Chứng minh rằng: 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
.
 với .
Bài 3: Tìm trên đường thẳng y = x + 1 những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức .
Bài 4: Cho ABC (AB = AC). Vẽ đường tròn có tâm O nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I khác D và E). Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N .
Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi.
Chứng minh hệ thức 
Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn nhất.
Bài 5: Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = .
.
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính.
Bài
Lời giải tóm tắt
Điểm
1
a) Ta có x3 = 6 + 3x Þ x3 – 3x = 6; y3 = 34 + 3y Þ y3 – 3y = 34. 
Do đó P = 6 + 34 + 1972 = 2012.
b) Đặt S = 1 + + + .... + 
Ta có S > + + .... + = .50 = 5 (1)
Mặt khác: 1=< ; ; ...; =.
Cộng vế theo vế có:
S < 
S < 2{(}= 2 =10(2)
Từ (1) và (2) 5< S < 10 (đpcm).
6.0 điểm
2
a) Đk: x ≤ -1 hoặc x ≥ 2. Ta có 
. Đặt , có:
t2 - 3t + 2 = 0 Û t = 1 hoặc t = 2.
Với t = 1: x2 – x – 2 = 1 Û x2 – x – 3 = 0 Û (tm) 
Với t = 2: x2 – x – 2 = 4 Û x2 – x – 6 = 0 Û (tm) 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm trên.
b) ĐK: x > y ≥ 0. Bình phương hai vế ta có: .
Nếu x + y – 2 ≠ 0 thì từ (*) suy ra . Do đó VP của (*) là số hữu tỉ còn VT là số vô tỉ. Vô lý. Vậy x + y – 2 = 0. Từ (*) suy ra :
4.0 điểm
3
ĐK: x ≥ 0. Giả sử điểm (x0; y0) thuộc đường thẳng y = x + 1 thỏa mãn . Khi đó, ta có: 
Thay lần lượt vào y = x + 1 tìm được x0 = 1; y0 = 2 thỏa mãn.
2.0 điểm
4
A
O
I
N
M
E
D
C
B
AD = AE; IM = ID; IN = IE (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau). Chứng minh chu vi bằng 2AD không đổi.
Ta có ÐMON = (1800 - ÐA)/2; 
ÐB = ÐC = (1800 - ÐA)/2. Suy ra DBMO, DOMN và DCON đồng dạng với nhau suy ra 
6.0 điểm
Ta có SAMN lớn nhất Û SBMNC bé nhất. Ta có: ( R: bán kính đường tròn)
R; BD không đổi nhỏ nhất khi BM + CN nhỏ nhất .
Mặt khác ta có . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BM = CN.
Hay BM + CN bé nhất bằng 2R khi BM = CN = R khi và chỉ khi MN // BC hay I là trung điểm của cung nhỏ DE.
Vậy SAMN lớn nhất Û I là trung điểm của cung nhỏ DE.
5
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 bộ số và ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng khi và chỉ khi 
2.0 điểm
Vì trình độ có hạn và dạy ở trên núi không có điều kiện nghiên cứu và trình độ công nghệ thông tin còn hạn chế ,công tác ở một xã nghèo ,ít tiếp cận với mạng INTERNET ,bản thân chỉ học xong hệ Cao Đẳng Sư Phạm đang dạy hợp đồng cho 1 trường trên núi , mức tiền là 15000 đồng /tiết dạy và nên bài viết chưa được hoàn thiện tốt lắm .Mong đồng nghiệp góp ý đề bài viết này tốt hơn nhé .
Xin mời các bạn giải bài toán sau với nhiều cách giải nhé .Mong nhận được các lời giải của bạn đọc tạp chí toán tuổi trẻ để tôi học hỏi và giao lưu nhé .Đối với tôi bài này thì các bài toán trên có thể giải bằng 13 cách .Các bạn hãy nghiên cứu thêm các cách giải khác nhé và bản thân tôi đang tìm thêm cách giải .
Người yêu toán ở Quảng Ngãi 
Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi 
Trương Quang An