Đề tài Giúp học sinh học tốt phần tính chất ba đường trung tuyến của tam giác từ một bài tập sách giáo khoa

 Tờn : Trương Quang An
 Giỏo viờn Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xó Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngói
 Điện thoại : 01208127776
Giúp học sinh học tốt phần tính chất ba đường trung tuyến của tam giác từ một bài tập sách giáo khoa
Trong hoạt động dạy học toán ở trường THCS, ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh, chúng ta cần phải rèn luyện kĩ năng giải toán,khả năng phát triển tư duy, suy luận, và giúp học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết qủa các bài toán từ bài toán gốc. Nhưng trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên, một phần do sức ép của chương trình nên giáo viên chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán, chưa có thói quen khai thác, khắc sâu các bài toán thành một chuỗi các bài toán liên quan. Nên học sinh khi gặp các dạng toán khác nhau chưa biết bắt đầu từ đâu ,vận dụng kiến thức để giải, đồng thời chưa phát triển được tư duy, năng lực sáng tạo của mình. Vì vậy kết quả kiểm tra định kỳ hay thi khảo sát, thi học sinh giỏi kết quả còn thấp. 
 Trong quá trình dạy học toán tôi nhận thấy rằng việc tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc thành các bài toán mới từ dễ đến khó , hay tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán, từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một phương pháp dạy học hay và hiệu quả nhất, đồng thời gây được sự hứng thú, óc sáng tạo,tư duy lo gic, khơi dậy niềm đam mê yêu thích môn học của học sinh.
 Bài tính chất ba đường trung tuyến của tam giác trong chương IV hình học lớp 7 học kỳ II hiện hành là bài học đầu tiên của chương về các đường đồng quy của tam giác, chứa đựng các kiến thức cơ bản với những ứng dụng thực tế có tính thực tiễn cao, là nền tảng cho các bài học tiếp theo.
 Tuy vậy kiến thức trang bị cho học sinh thông qua bài học trong sách giáo khoa được trình bày khá sơ lược và hạn hẹp, phần nào hạn chế việc tiếp thu và gây khó khăn trong việc rèn luyện kĩ năng giải bài tập của học sinh, đặc biệt là tính sáng tạo, tư duy phát triển năng lực của học sinh .
 Vấn đề trọng tâm của bài học là:
“ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó cách mỗi đỉnh bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
 Để giúp học sinh giải quyết được các bài tập có liên quan ở mức độ khác nhau và biết khai thác bài toán ở dưới nhiều dạng tôi xin trình bày một số vấn đề giúp học sinh học tốt hơn phần tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác từ bài tập 28 SGK trang 67 hình học 7 tập 2.
 Từ một bài tập 28 SGK trang 67 hình học 7 tập II. Giáo viên có thể phát triển thành các bài tập khác trong SGK, giúp học sinh hiểu, khắc sâu kiến thức, biết vận dụng kiến thức đã học để giải các bài tập về đường trung tuyến của tam giác và các bài tập ở các dạng khác nhau. Đồng thời ôn tập, hệ thống lại kiến thức, kĩ năng vẽ hình, kĩ năng giải các bài tập trọng tâm của chương II về các trường hợp bằng nhau của tam giác, định lí Pi Ta Go, tính chất tam giác cân, tam giác đều, bất đẳng thức tam giác....
 Và phát huy tính tư duy, óc sáng tạo, tính suy nghĩ độc lập, khơi dậy sự hứng thú, yêu thích môn học, từ đó nâng cao hơn kết quả học tập. Từ một bài tập SGK mà có thể phát triển thành nhiều bài tập khác giúp học sinh chịu khó tìm tòi , sáng tạo trong quá trình suy nghĩ để từ đó hình thành phương pháp giải.
 a. giảI quyết vấn đề:
Bài toán gốc:
 bài tập 28 SGK trang 67 hình học 7 tập 2.
 Cho DDEF cân tại D, với đường trung tuyến DI
 a. Chứng minh DDEI= DDFI
	 b. Các góc DIE và DIF là những góc gì?
	 c. Biết DE= DF = 13 cm, EF = 10 cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến DI? 
 D 	
	E	I	 F
Giải:
	a. DDEI và DDFI có:
 DE= DF(gt)
 DI cạnh chung
	 EI = FI (gt)
 ị DDEI= DDFI (c.c.c) (1)
 (Hoặc DDEI= DDFI (c.g.c) )
 b. Từ (1) ị DIE = DIF (hai góc tương ứng)
	 Mà DIE + DIF = 1800 (2 góc kề bù) ị DIE = DIF = 900
DI = = = 12cm (áp dụng định lí pi ta go)
b.Khai thác và phát triển thêm nội dung từ bài toán trên:
 Hướng khai thác thứ nhất:
 Chủ yếu vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác , để suy ra các cạnh, góc tương ứng bằng nhau, dẫn đến các đoạn thẳng song song, đường trung trực, đường phân giác, tính chất tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông... và ngược lại
* Câu hỏi 1: Chứng minh DI là phân giác của góc EDF và DI là trung trực của EF?
 HS: DDEI= DDFI ( chứng minh trên) ị EDI = FDI (hai góc tương ứng)
 DI nằm giữa DE và DF ị DI là phân giác của góc EDF.
 DI EF (cmt) và EI= EF (gt) 	ị DI là trung trực của EF.
GV: Từ đó em nào có thể rút ra nhận xét gì về đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân?
 Nhận xét: Trong tam giác cân đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường trung trực, đường phân giác.
* Câu hỏi 2: Kẻ 2 trung tuyến EN và FM. Hãy chứng minh EN=FM?
 ( Để chứng minh EN=FM ta cần chứng minh tam giác nào bằng nhau?)
 	D
 M
 G 	N	
 E	I	F 
HS: DDEN và DDFM có:
 DE= DF (gt); 
 D chung; 
 DM= DN= DEị DDEN = DDFM (c.g.c) 
 ị EN = FM (cạnh tương ứng) 
 Hoặc: DEFN = DFEM (c.g.c) ị EN = FM (cạnh tương ứng) 
GV: Từ đó các em có thể rút ra nhận xét gì về hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân? 
 Nhận xét: “ Trong một tam giác cân, 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên thì bằng nhau. 
* Câu hỏi 3: Ngược lại nếu tam giác DEF có 2 đường trung tuyến EN = FM. Hãy chứng minh DDEF là tam giác cân ? 
( Nếu G là trọng tâm của tam giác DEF . Nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng EG và FM? GM và GN? Từ đó xét quan hệ DEGM và DFGN?)
HS: EG = EN ( t/c trung tuyến); FG = FM ( t/c trung tuyến) và EN = FM(gt)
 ị EG = FG; GM= GN; mặt khác EGM = FGN (đối đỉnh) 
 ị DEGM = DFGN (c.g.c) nên EM = FN (cạnh tương ứng) ị DE = DF 
 Nên: DDEF cân tại D.
GV: Từ đó có thể rút ra được nhận xét gì về một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau?
 Nhận xét: “ Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân”.
* Câu hỏi 4: Em nào có thể chứng minh được tam giác DIN cân?
HS: DDIF vuông (vì I = 900 ) có IN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
 ị IN= DN = FN = DF ị DDIN cân tại N.
* Câu hỏi 5: Chứng minh NI song song với DE; MI song song với DF; MN song song với EF?
 ( dựa vào các tính chất của tam giác cân)
 	D
 M
 G 	N	
 E	I	F 
HS: DDIN cân tại N ị NDI = NID (góc ở đáy) 
 Mặt khác NDI = IDE (cmt)
 suy ra: NID = IDE nên NI ∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)
 tương tự ta có: MI ∥ DF.
Muốn chứng minh MN song song với EF ta làm thế nào?
HS: DDMN cân tại D ( vì DM=DN) ị (1)
 DDEF cân tại D (gt) ị (2)
 Từ (1) và (2) ta có: DEF = DMN
 Nên: MN ∥ EF (hai góc đồng vị bằng nhau)
GV: Từ đó em nào có thể rút ra được nhận xét gì về các đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác cân với cạnh còn lại?
 Nhận xét: “ Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác cân thì song song với cạnh còn lại .
Từ đó ta có bài toán tổng quát hơn:
 *Câu hỏi 6: Cho tam giác DEF với đường trung tuyến EN,MF. Chứng minh MN song song với EF? so sánh độ dài MN và EF?
 D
 N 
 M A 
 E F	
HS: Vẽ điểm A sao cho N là trung điểm của MA
 DDNM và DFNA có:
 DN= FN (gt) 
 éDNM= éFNA(đối đỉnh)
 MN= NA (cách dựng)
 ị DDNM= DFNA (c.g.c) 
 MD= FA(cạnh tương ứng) và éD= éNFA(góc tương ứng)
 DM ∥ FA(góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
 ME ∥ FA ị éEMF = éAFM (góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
 Ta có: DM= ME (gt) và DM= FA ị ME= FA
 xét: DEMF và DAFM có:
 ME= AF ; éEMF = éAFM ; MF cạnh chung
 DEMF= DAFM (c.g.c) 
 MA= EF (cạnh tương ứng); éAMF= éEFM(góc tương ứng)
 MN ∥ EF (góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
 Và: MN= (vì MN= )
GV: Từ đó có thể rút ra được nhận xét gì về các đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác với cạnh còn lại?
 Nhận xét: “ Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác thì song song với cạnh còn lại và bằng nửa độ dài cạnh ấy .
Hướng khai thác thứ 2: 
 Chủ yếu dùng các tính chất đường trung tuyến của tam giác để chứng minh đường thẳng đồng quy, song song, so sánh độ dài các trung tuyến với chu vi tam giác...
* Câu hỏi 7: Nếu G là trọng tâm của tam giác cân DEF. Thì tam giác GEF là tam giác gì? vì sao?
 D
 M N
 G 
 E I F 
 HS: Vì G là trọng tâm của DDEF nên:
 ( tính chất đường trung tuyến của tam giác)
 Mà EN= FM (cmt) ị EG = FG nên DGEF cân tại G.
 (Hoặc: DGEF có GI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên DGEF cân tại G)
* Câu hỏi 8: Nếu D = 600 . chứng minh GD= GE= GF?
 HS: DDEF cân cóD = 600 ị DDEF đều . áp dụng bài 26 ta có :
 DI = EN = FM (1). Theo định lý 3 đường trung tuyến của tam giác ta có:
 GD= DI ; GE= EN ; GF= FM ; (2)
 Từ (1), (2) ị GD = GE = GF.
GV: Từ đó ta có thể rút ra được nhận xét gì về trọng tâm của tam giác đều?
Nhận xét: “ Trọng tâm của tam giác đều thì cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.
*Câu hỏi 9: Gọi K là trung điểm của DG, H là trung điểm của FG. Chứng minh: GN, FK, DH đồng quy?
D
 K
 M	N HS: GN, FK, DH là các đường trung tuyến của DDGF
 G	ị GN, FK, DH đồng qui tại một điểm.
	H
	E	I	F
* Câu hỏi 10: Chứng minh KH song song và bằng MI ?
 HS: DMGI và DHGK có:
 MG= GH=GF (t/c trung tuyến)
 GI= GK= GD (t/c trung tuyến)
	MGI = HGK( đối đỉnh)
 ị DIGM= DKGH (c.g.c)
 ị MI = HK (cạnh tương ứng) Và GMI = GHK (góc tương ứng) ị 
	MIÔÔ HK(góc so le trong bằng nhau).
*Câu hỏi 11: Hãy so sánh tổng độ dài 3 đường trung tuyến với chu vi của tam giác DEF ? 
	 D
 K 
 M G N
 E I F
 HS: Trên tia đối của NE vẽ điểm K sao cho NK = NE
 Ta có: DDNE = DFNK (c.g.c) ị DE= FK (cạnh tương ứng)
	 Trong DEFK có: EF + FK > EK (Bất đẳng thức tam giác)
	 	 ị EF + DE > 2EN
 ị > EN (1)
 Tương tự ta có: > DI (2)
 > MF (3)
	Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ị DE +DF + EF > DI + EN +MF.
 GV: Từ đó ta có thể rút ra được nhận xét gì về tổng độ dài 3 đường trung tuyến của 1 tam giác với chu vi của tam giác đó?
 Nhận xét: “Tổng độ dài 3 đường trung tuyến của một tam giác nhỏ hơn chu vi của tam giác đó.
*Câu hỏi 12: Hãy so sánh chu vi tam giác MNI với chu vi của tam giác DEF ? 
 HS: tương tự như câu 6 ta có:
 Vậy: chu vi của DMIN bằng một nửa chu vi DDEF
 GV: Từ đó ta có thể rút ra được nhận xét gì về chu vi của tam MIN với chu vi tam giác DEF khi M, I, N lần lượt là trung điểm các cạnh của tam giác DEF?
 Nhận xét: Nếu M, I, N lần lượt là trung điểm các cạnh của tam giác DEF thì chu vi tam giác MIN bằng nửa chu vi tam giác DEF.
*Câu hỏi 13: Trên tia DG lấy điểm K sao cho G là trung điểm của DK. So sánh độ dài các cạnh của tam giác EGK với các trung tuyến của tam giác DEF ?
 D
 M G N 
 S 
 E I F 
 Q K
HS: ta có: EG = EN (t/c đường trung tuyến của tam giác)
 DG = DI (t/c đường trung tuyến của tam giác)
 Mà DG = GK 
 ị EK = GF (cạnh tương ứng)
 ị EK= MF
 GV: Từ đó ta có thể rút ra được nhận xét gì về các cạnh của tam giác EGK với các trung tuyến của tam giác DEF?
 Nhận xét: Nếu G là trung điểm của DK thì các cạnh của tam giác EGK lần lượt bằng các trung tuyến của tam giác DEF
*Câu hỏi 14: Chứng minh các đường trung tuyến của tam giác EGK lần lượt bằng một nửa các cạnh của tam giác DEF ? 
HS: ta có: EI = (gt)
 Gọi Q là trung điểm của EK, S là trung điểm của EG
 DSGK = DNGD (c.g.c)
 ị SK= ND= 
 DGIF = DKIE (c.g.c)
 ị éGFI = éKEI (góc tương ứng)
 Và GF = KE (cạnh tương ứng)
éMGF = éKEG (1)
 Mặt khác: EK = FG = 
 ị EQ= (2)
 Từ (1) và (2) ị DMGE = DQEG (c.g.c) ị GQ = ME = 
Vậy: Ba đường trung tuyến của tam giác EGK lần lượt bằng một nửa các cạnh của tam giác DEF.
*Câu hỏi 15: Từ M kẻ đường thẳng song song với DI cắt NI tại K . Chứng minh KF song song với EN? 
	 D
 M N
 G 
 E I F
 K
 HS: ta có: IN ∥ MD và IN = MD (cmt) (1)
 DDMI = DKIM (c.g.c)
 ị IK = DM và éDMI =éKIM ị IK ∥ DM (góc so le trong bằng nhau) (2)
 Từ (1) và (2) ị IM = IK và 3 điểm K, I, N thẳng hàng.
DEIN = DFIK (c.g.c) ị éNEF =éKFE (góc tương ứng)
 ị EN ∥ KF (hai góc so le trong bằng nhau) 
*Câu hỏi 16: Hãy so sánh độ dài các cạnh của tam giác KFM và các trung tuyến của tam giác DEF? 
 HS: DDMI = DKIM (c.g.c) ị DI = KM
 DEIN = DFIK (c.g.c) ị EN = KF
 MF chung
 Vậy: Ba cạnh của tam giác KMF lần lượt bằng các trung tuyến của tam giác DEF
 *Câu hỏi 17: Trung tuyến DI và EN cần điều kiện gì thì tam giác MKF là tam giác vuông? 
 HS: có MK ∥ DI; KF ∥ EN
 nếu DI ^ EN thì MK ^ KF ị DMKF vuông tại K.
 Vậy: Để DMKF vuông thì cần DI ^ EN
Hướng khai thác thứ 3:
 Vận dụng các kiến thức để so sánh diện tích tam giác các trung tuyến của tam giác và trọng tâm tạo ra.
 *Câu hỏi 18: So sánh diện tích tam giác END và diện tích tam giác ENF? 
	D
HS: 
 	H	
 K M	N
	 G
 E	I	F
 S DEDN = EH.DN
 S DEFN = EH.FN
 Mà DN = NF (gt)
 ị S DEDN = S DEFN
GV: Từ đó rút ra nhận xét gì về diện tích hai tam giác mà đường trung tuyến tạo ra?
Nhận xét: Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành 2 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.	
 *Câu hỏi 19: So sánh diện tích các tam giác DEG , tam giác DGF và diện tích tam giác EGF? 
 HS: có 
 Tương tự có S DEGD = S DDEF
 S DFGD = S DDEF 
Vậy: S DEGD = S DFGD = S DEGF 
GV: Từ đó rút ra nhận xét gì về các diện tích tam giác mà trọng tâm của tam giác đó tạo ra?
 Nhận xét: Trọng tâm của tam giác chia tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau và bằng diện tích tam giác đó.
 *Câu hỏi 20: So sánh diện tích của các DDGM , DDGN , DFGN , DFGI , DEGI , DEMG? 
 HS: S DEGM = EK.MG
 S DEFM = EK.MF
 Mà MG = MF (tính chất đường trung tuyến của tam giác)
S DEGM = S DEFM = S DDEF
Tương tự ta có các trường hợp còn lại.
Vậy: S DDGM =S DDGN = S DFGN = S DFGI = S DEGI = S DEMG
GV: Từ đó rút ra nhận xét gì về các diện tích tam giác mà trọng tâm của tam giác tạo ra? 
Nhận xét: Trọng tâm của tam giác chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau và bằng diện tích tam giác đó.
c. kết luận:
 Những vấn đề nêu trên đây là tích lũy của tôi trong quá trình giảng dạy, ôn tập và phụ đạo cho học sinh trong phần Tính chất Ba đường trung tuyến của tam giác. 
 Nhìn chung kết quả là rất đáng ghi nhận, hầu hết học sinh có sự tiếp thu tốt hơn, hiểu bài hơn, hứng thú hơn trong tiết học. Có những bài tập củng cố kiến thức cũ, rèn kĩ năng và biết vận dụng để giải bài tập về chứng minh tam giác bằng nhau, chứng minh đoạn thẳng song song và bằng nhau, sử dụng định lí Pi Ta Go để tính độ dài đoạn thẳng, tam giác cân , tam giác đều, bất đẳng thức tam giác so sánh độ dài đoạn thẳng, chu vi tam giác, diện tích tam giác.....