Đề ôn tập cho đội dự tuyển học sinh giỏi Toán 7

TRƯỜNG T.H.C.S BẰNG PHÚC
đề ễN TẬP CHO ĐỘI DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
 NĂM HỌC 2014-2015 
ĐỀ SỐ 01
Câu1.
a.Tính: 
b. So sánh: và 
Câu 2:
Cho . 
 Chứng minh rằng:
(Với và các mẫu khác o)
b. Cho hàm số: xác đinh với moi giá tri của . Biết rằng với mọi ta đều có . Tính.
Câu 3. a. Tìm x biết:
b. Tìm tất cả các giá tri nguyên dương của x và y sao cho:
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho BM=MN=NC. Gọi H là trung điểm BC. 
a. Chứng minh: AM=AN và AHBC
b. Chứng minh 
c. Kẻ đường cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC.
ĐỀ SỐ 02
Bài 1: (1,5 điểm): So sỏnh hợp lý: a) và 
 b) (-32)27 và (-18)39
Bài 2: (1,5 điểm): Tỡm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 
 c) 
Bài 3: (1,5 điểm): Tỡm cỏc số x, y, z biết : 
 a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
 b) và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 4: (1,5 điểm): 
 Cho đa thức A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2)
	 a/ Xỏc định bậc của A.
	 b/ Tớnh giỏ trị của A nếu 15x - 2y = 1004z.
Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: cú giỏ trị khụng phải là 
 số tự nhiờn.( x, y, z, t ).
Bài 6: (3 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kỡ 
 thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hỡnh chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường 
 thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
 a) BH = AI. 
 b) BH2 + CI2 cú giỏ trị khụng đổi.
 c) Đường thẳng DN vuụng gúc với AC.
 d) IM là phõn giỏc của gúc HIC. 
 ĐỀ SỐ 03
Cõu 1. a) Tỡm x, biết: = 2011
 b) Cho ba số x, y, z cú tổng khỏc 0 thỏa món . Tớnh: 
Cõu 2. a) Cho A = . Tỡm x Z để A cú giỏ trị là một số nguyờn dương.
 b) Biết m, n, p là độ dài ba cạnh của một tam giỏc.
 Chứng minh rằng: m2 + n2 + p2 < 2(mn + np + pm)
Cõu 3. Tỡm a, b Z thoả món: ab + 2a – 3b = 11
Cõu 4. Thực hiện phộp tớnh:
 	P = (1 – ).(1 – )....(1 – )
Cõu 5. Cho tam giỏc ABC cú = 900, = 600, đường cao AH. Trờn HC lấy điểm D sao cho DH = BH.
a) Xỏc định dạng của tam giỏc ABD.
b) Vẽ CF vuụng gúc với AD (F thuộc đường thẳng AD).
Chứng minh rằng: AH = HF = FC.
c) Chứng minh rằng: +=
ĐỀ SỐ 04
Bài 1: Thực hiện phộp tớnh (6 điểm).
a. ;	
b. ;	
c. .
Bài 2: (6 điểm)
a. Tỡm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;
b. Tỡm x, biết: 3 = 
c. Tỡm x, y, z biết: và x + z = 2y.
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . 
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). 
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; K là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cõn.
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số cú dạng luụn chia hết cho 11.
ĐỀ SỐ 05
Câu 1: 
a. Cho 
Chứng minh rằng : là một số nguyờn .
b,Cho bốn số a, b, c, d sao cho a + b + c + d 0.
 Biết tính giá trị của k.
Câu 2 : Tỡm x, y ,z biết: 
a. và . 	
	b. và x + 2y - 3z = -24
Câu 3: ( 4 điểm)
Cho M = . Tìm số nguyên x để M đạt giỏ trị nhỏ nhất.
b) Tỡm x sao cho: 
Cõu 4. Cho ∆ABC cõn tại A, . Từ trung điểm I của AC kẻ đường vuụng gúc AC cắt đường thẳng BC tại M. Trờn tia đối của AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Chứng minh:
	a. 
	b. ∆ABM = ∆CAN
C. ∆MNC vuụng cõn tại C
Cõu 5. Chứng minh: ?
Đỏp ỏn đề ụn tập 
Cõu 1(4đ)
1.a(2đ)
1.b(2đ)
Cõu 2(4đ)
2.a(2đ)
2.b(2đ)
Cõu 3(4đ)
3.a(2đ)
3.b(2đ)
Cõu4(2đ)
Câu 5(6đ)
5.a(2đ)
5.b(2đ)
5.c(2đ)
ĐÁP ÁN ĐỀ 01
Ta cú:
Ta cú:
Vậy A<B
Từ giả thiết suy ra:
Từ (1), (2), (3) ta cú:
Hay 
Vậy 
Với x=2 ta cú: 
Với ta cú 
Giải ra tỡm được 
Giải ra tỡm được x=4 hoặc x=5 hoặc x=6.
Từ 
Vỡ x, y nguyờn dương thuộc ước của 25.
Giải ra tỡm được cỏc cặp giỏ trị x; y nguyờn dương thoả món điều kiện bài toỏn là: (x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30).
Áp dụng tớnh chất và , dấu “=” xảy ra khi và dấu “=” xảy ra khi a=0. Ta cú:
Dấu “=” xảy ra khi 
và dấu “=” xảy ra khi x=2009.
 dấu “=” xảy ra khi 2010.
 dấu “=” xảy ra khi x=2009 và y=2010.
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2011 khi x=2009 ; y=2010.
-Chứng minh đựơc ABM=ACN(cgc)AM=AN
- Chứng minh đựơc ABH=ACH(cgc)
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA
Chứng minh được và AM=AN=BD
-Chứng minh được BA>AMBA>BD
-Xét có BA>BD hay 
Vì AK nên chỉ có hai trường hợp xảy ra
TH1:
- nhọn k nằm giữa hai điểm A,C
Mà AC=AB 
- vuông tại K 
- vuông tại K nên ta có
BC=
TH2:
- tù A nằm giữa hai điểm K,C KC=AK+AC=16cm
- vuông tại K 
- vuông tai K 
Vậy BC=6cm hoặc BC=
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
1đ
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Đỏp ỏn ĐỀ 02
Bài 1: (1,5 điểm):
 a) Cỏch 1: = > 
 Cỏch 2: > = (0,75điểm) 
 b) 3227 = = 2135 -1839
(-32)27 > (-18)39 
Bài 2: (1,5 điểm): 
 a) (2x-1)4 = 16 .Tỡm đỳng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm)
 b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tỡm đỳng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)
 c) 
; x = 25; x = - 31 
 : vụ nghiệm 
Bài 3: (1,5 điểm):
 a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 (3x - 5)2006 = 0;
 (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0
 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = ;y = -1;y = 1 
 b) và x2 + y2 + z2 = 116
 Từ giả thiết 
 Tỡm đỳng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) 
Bài 4: (1,5 điểm): 
 a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 A cú bậc 4 
 b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z 
Bài 5: (1 điểm): 
N
 Ta cú: (0,25điểm)
 (0,25điểm)
 (0,25điểm)
 hay: 1 < M < 2 . Vậy M cú giỏ trị khụng phải là số tự nhiờn (0,25điểm)
Bài 6: (3 điểm): 
DAIC = DBHA ị BH = AI (0,5điểm)
BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm)
AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N ị N là trực tõm ị DN AC (0,75điểm)
DBHM = DAIM ị HM = MI và éBMH = éIMA (0,25điểm)
 mà : é IMA + éBMI = 900 ị éBMH + éBMI = 900 (0,25điểm)
 ị DHMI vuụng cõn ị éHIM = 450 (0,25điểm) 
 mà : éHIC = 900 ịéHIM =éMIC= 450 ị IM là phõn giỏc éHIC (0,25điểm) 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 03
---------------------
 Câu1.(4điểm) a. (2đ) - TH1: /x-2010/-1= 2011
	 /x-2010/ = 2012 x= 4022 hoặc x=-2 (1đ)
 - TH2: /x-2010/-1= - 2011
 /x-2010/= - 2010 ( loại) (1đ)
 b. (2đ) : === =1 x=y=z (1đ)
 =; = = =1 (1đ) 
 Câu2. (4điểm) a. (2đ) Tìm xz để AZ
 A= ( đk x≥0 , x≠4 ) (1d)
 A nguyên khi nguyên là Ư (3) 
 Ư(4) = {-3; -1; 1; 3}
 Các giá trị của x là : {9 ;25 } ( 1đ)
 b. (2đ) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3. Vậy có:
	m + n > p.
	 Nhân 2 vế với p >0 ta có: m.p + n.m > p2.(1)
 Tương tự ta có :	 m.n + p.n > n2	(2) ( 1đ)
	 p.m + m.n > m2(3).
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: 
	2(m.n + n.p + p.m) > m2 + n2 + p2. (dpcm) (1đ)
 Câu 3. (3điểm) Ta có : ab+2a-3b = 11 (a-3).(b+2)= 5 (2đ)
 (a,b)=(4;3);(8;-1);(2,-7);(-2;-3) (1đ)
 Câu 4 .(4điểm) Thực hiện phép tính:
 A=(1-) . (1-)  (1-) = 
 ..=. .  (1)
Mà: 2012.2010 - 2 = 2011(2013 - 1) + 2011 - 2013
	= 2011(2013 - 1+ 1) - 2013 = 2013(2011 -1) = 2013.2010 (2) (2đ)
Từ (1) và (2) ta có: 
 A=..====(2đ)
 Câu 4 (5điểm) a/ (1đ) Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên Là tam giác cân, có <B= 600 nên ABD đều 
 	b. (2đ) tam giác ABC vuông ở A, <B=600 nên <C1=300 
 tam giác AFC vuông ở F, <A3=300 nên <C1+C2=600 mà <C1=300 nên <C2 =300
 AHC= CFA ( cạnh huyền góc nhọn), nên HC= AF
 ADC cân ở A vì < A3= <C1 =300 nên AD=CD và <ADC=1200 (1 đ) suy ra: 
A
B
H
D
F
C
3
1
2
1
1
1
2
 DH=DF và < HDF=1200 . khi đó trong tam giác cân DHF, có <H1=<F1=300
 AHF cân ở H vì có <A2= <F1 ta có HA=HF
 FHC cân ở F vì <H1=< C2 , ta có HF=FC
 Từ đó ta có: HA=HF=FC (DPCM)(1đ) 
 c. (2đ) ta có: SABC =AB.AC
 SABC =AH.BC (1đ)
 Suy ra: AB.AC=AH.BC , AB2.AC2=AH2.BC2 
hay =
 Hay AB2+AC2/ AB2.AC2=1/ AH2 suy ra: += (1đ)( đpcm)
 ĐÁP ÁN ĐỀ 04
Bài 1: Thực hiện phộp tớnh (6 điểm).
Giải:
a. 
0,75đ
= 
0,75đ
b. 
1,0đ
=
1,0đ
c. 
=
01đ
01đ
=
0,5đ
Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tỡm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16
0,25đ
-12x – 20 = 16
0,25đ
-12x = 16 + 20 = 36
0,50đ
x = 36 : (-12) = -3
0,50đ
b. Tỡm x, biết: 3 = 
Nếu . Ta cú: (vỡ nếu x = ẵ thỡ 2x – 1 = 0)
0,25đ
3 = 
: (2x – 1) = 
0,25đ
2x – 1 =: = 
0,25đ
2x = + 1 = 
0,25đ
x = : 2 = > 
0,25đ
Nếu . Ta cú: 
0,25đ
3 = 
: (1 - 2x) = 
0,25đ
-2x = - 1 = 
0,25đ
x = : (-2) = 
0,25đ
Vậy x = hoặc x = 
0,25đ
c. Tỡm x, y, z biết : và x + z = 2y
Từ x + z = 2y ta cú:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0
0,25đ
hay 2x – y = 3y – 2z
0,25đ
Vậy nếu: thỡ: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vỡ 5 ạ 15).
0,25đ
Từ 2x – y = 0 suy ra: x = 
0,25đ
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. ị x + z + y – 2z = 0 hay + y – z = 0
0,25đ
hay - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z.
0,25đ
Vậy cỏc giỏ trị x, y, z cần tỡm là: {x = z; y = z ; với z ẻ R }
hoặc {x = y; y ẻ R; z = y} hoặc {x ẻ R; y = 2x; z = 3x}
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức .
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) 
Ta cú:
(a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
0,75đ
cb = ad suy ra: 
0,75đ
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; K là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cõn.
Giải:
A
B
D
M
N
K
C
H
a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xột 2 tam giỏc: DABK và DDCK cú:
0,25đ
BK = CK (gt)
 (đối đỉnh)
0,25đ
AK = DK (gt)
0,25đ
ị DABK = DDCK (c-g-c)
0,25đ
ị ; mà ị
0,25đ
ị ị AB // CD (AB ^ AC và CD ^ AC).
0,25đ
b. Chứng minh rằng: rABH = rCDH
Xột 2 tam giỏc vuụng: rABH và rCDH cú:
0,25đ
BA = CD (do DABK = DDCK)
AH = CH (gt)
0,25đ
ị rABH = rCDH (c-g-c)
0,50đ
c. Chứng minh: HMN cõn.
Xột 2 tam giỏc vuụng: rABC và rCDA cú:
0,25đ
AB = CD; ; AC cạnh chung: ị rABC = rCDA (c-g-c)
ị 
0,25đ
mà: AH = CH (gt) và (vỡ DABH = DCDH)
0,50đ
ị DAMH = DCNH (g-c-g)
0,50đ
ị MH = NH. Vậy DHMN cõn tại H
0,50đ
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số cú dạng luụn chia hết cho 11.
Giải:
Ta cú:
 = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c
0,25đ
= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)
0,50đ
= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)
0,50đ
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)
0,25đ
= 11.91( a.102 + b.10 + c) 11
0,25đ
Vậy 11
0,25đ
Hết
Câu1 : ( 5đ)
a, ( 2,5 đ ) A = 	
B = 2013= 2013A. Suy ra 
b,(2,5 đ ) Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số ta có:
Vì a + b + c + d 0 nên a = b = c = d.
Suy ra .
Câu 2 : (4 điểm)
a, ( 3 đ ) Cho 3 số x; y; z thỏa món cỏc điều kiện sau:
	 và . Tỡm x; y; z. Từ 
20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0 20z = 24y = 30x 
 10z = 12y = 15x 
Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18 
b)( 1 đ ) đưa về dãy tỷ số bằng nhau: ; 
Tìm được x = 10; y= 15; z = 20
Câu 3 : (4 điểm)
Cho F = . Tìm số nguyên x để F đạt GTNN
Ta thấy F = = -1 + đạt GTNN ú nhỏ nhất 
Xét x-15 > 0 thì > 0
Xét x-15 < 0 thì < 0. Vậy nhỏ nhất khi x-15 <0 
Phân số có tử dương mẫu âm
Khi đó nhỏ nhất khi x-15 là số nguyên âm lớn nhất hay
 x-15 = -1 => x = 14.	
 Vậy x= 14 thì F nhỏ nhất và F = -28	 	
b.	
Cõu 4: ( 5 đ ) 
a) ∆AIM = ∆CIM (c.g.c) cõn tại M
∆AMC và ∆ABC cõn cú gúc đỏy chung. Nờn hai gúc ở đỉnh bằng nhau.
Vậy 
b) Xột ∆ABM và ∆CAN cú AB = AC (∆ABC cõn), BM = AN (gt)
∆ABM = ∆CAN (c.g.c) suy ra AM = CN
c) Ta cú AM = CN (cmt) mà AM = MC (∆AMC cõn) 
 cõn (1)
Mà ∆MCN cú (2)
Từ (1) và (2) ∆MCN vuụng cõn tại C.
(Hỡnh vẽ 0.5 điểm, mỗi cõu 1.5 điểm)
Cõu 5: ( 2 đ)