Đề kiểm tra học sinh giỏi năm học 2009 - 2010 môn: Toán

đề kiểm tra học sinh giỏi 
Năm học 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút
đề bài:
Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:
 P = 
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi 
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.
Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:
a) 
b) 
c) 
Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
 Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó.
Bài 4 (7 điểm):
 Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.
Tứ giác AMDB là hình gì?
Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010
 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
đáp án và biểu điểm
Bài 1: Phân tích: 
 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 
 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
 Điều kiện: 0,5đ
Rút gọn P = 2đ
 hoặc 
 +)  P = 
 +) P = 1đ
P == 
Ta có: 
 Vậy P khi 
 x – 5 Ư(2)
 Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
 x – 5 = -2 x = 3 (TMĐK)
 x – 5 = -1 x = 4 (KTMĐK)
 x – 5 = 1 x = 6 (TMĐK)
 x – 5 = 2 x = 7 (TMĐK)
KL: x {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ
 P == 0,25đ
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5đ
Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2:
a) 
 ĐK: 
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
3x.(x + 4) = 0
3x = 0 hoặc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)
 S = { 0} 1đ
b) 
(123 – x)= 0
 Do > 0 
 Nên 123 – x = 0 => x = 123
 S = {123} 1đ
c) 
 Ta có: => > 0
 nên 
 PT được viết dưới dạng:
 = 5 – 3
 = 2
 +) x - 2 = 2 => x = 4
 +) x - 2 = -2 => x = 0
 S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
 Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ
 Vận tốc dự định của người đ xe gắn máy là:
 (3h20’ = ) 0,25đ
 Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:
 0,25đ
 Theo đề bài ta có phương trình:
 0,5đ 
x =150 0,5đ
 Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ
 Vận tốc dự định là: 
Bài 4(7đ)
 Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ
A
B
C
D
O
M
P
I
E
F
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. 
PO là đường trung bình của tsm giác CAM.
 AM//PO
tứ giác AMDB là hình thang. 1đ
Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA.
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ
 Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ
 nên không đổi. (1đ)
Nếu thì 
Nếu thì 1đ
do đó CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ
do đó BC = 4 (cm)
 CD = 3 (cm) 0,5đ
Bài 5:
a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
 Vì 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - ) 
 = 2010.() chia hết cho 2010 (1)
 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + )
 = 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 1đ
 Từ (1) và (2) ta có đpcm.
b) (1)
 Vì => => 
 => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ
Chú ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.