Đề kiểm tra chọn học sinh dự thi học sinh giỏi toán lớp 9 năm học: 2016 - 2017 - Đề số 10

TRƯỜNG THCS NGUYỄN BIỂU . 
 ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 .
 Năm học : 2016-2017 : Thời gian 120’ .
Bài số 10 :
Bài 1. 
	Cho biểu thức:
 A= 
	a, Rỳt gọn biểu thức A .
	b, Tỡm x nguyờn để A cú giỏ trị nguyờn .
Bài 2. (2đ) 
	Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
 B = +	
Bài 3.
	Giải phương trỡnh: 	
Cõu 4 : Tỡm gớa tri nhỏ nhất ( min) của biẻu thức Q :
 Q =
Bài 5. 
	Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC, O là giao điểm của cỏc đường trung trực ABC; G và E tương ứng là trọng tõm cỏc ABC và ACD. Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I. Chứng minh:
	 a, 
 b, ADG ~ DOE Từ đú suy ra OECD
Bài 6. 
	Chứng minh rằng nếu tam giỏc mà độ dài cỏc đường trung tuyến đều bộ hơn 1 thỡ diện tớch tam giỏc đú bộ hơn 0,67.
Hướng dẫn chấm 
Câu
Nội dung
Điểm
1
a, Điều kiện : 
b, A nguyờn nguyờnƯ(4)
 * = 1
 * = -1(loại)
 * = 2
 * = -2
 * =4
 * =- 4 : Khụng cú x
 Vậy x{1;16;25;49}
2
+ ĐK: 1- x- 2x2 0 (x+1)(1-2x) 0 - 1 x 
+ Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho 2 số khụng õm 1 và (1- x- 2x2) .
Ta cú:
Hay 
 Dấu bằng xẩy ra 
Vậy giỏ trị lớn nhất của B là 1 khi x = 0
3
 (1)
ĐK: 	
 	(2)
(1)
(*)
Đặt (*) trở thành:
 (thoả món 2)
 (loại)
 Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm là: 
4
a, GHI ~ ADO 
b, ; mà DE = =
 GH = 
 Mặt khỏc gúc DAG bằng gúc ODE
 Suy ra ADG ~ DOE
 Gúc AGD bằng gúc DAO suy ra OECD
5
- Ký hiệu: 
 + Cỏc trung tuyến và đường cao xuất phỏt từ cỏc đỉnh A, B, C tương ứng là ma, mb , mc và ha , hb , hc 
 + Cỏc cạnh đối diện với cỏc đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c
 + Diện tớch tam giỏc ABC là S
- Ta cú 2S < a.ha = b.hb = c.hc (1)
 cú aha < ama < a (2) vỡ ma < 1
 Tương tự: bhb < b (3); chc < c (4)
 Từ (1), (2), (3), (4) ta cú 6S < a + b + c (5)
 mà a < (mb + mc) < (vỡ độ dài cỏc đường trung tuyến nhỏ hơn 1)
 Tương tự b < , c < . 
 Vậy từ (5) suy ra S < 0,666... hay S < 0,67