Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2015 - 2016 môn: Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
m¤N: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số hữu tỉ x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (4,0 điểm)
Giải phương trình: 
Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn: x2 – y2 + 7x = 0
Bài 3 (5,0 điểm)
1) Cho hệ phương trình: (với m là tham số).
a) Giải hệ phương trình với m = .
b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
2) Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 2 (với m > 1). Biết đồ thị của hàm số trên cắt hai trục tọa độ tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm E (E khác A và D), vẽ đường tròn tâm O đường kính BE. Đường tròn (O) cắt BC tại điểm thứ hai là M. Trên cạnh CD Lấy điểm N sao cho CN = CM. Gọi F là giao điểm của BN và CE.
a) Chứng minh rằng F thuộc đường tròn (O).
b) Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thứ hai là I. Chứng minh ΔIBE vuông cân.
c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng EI tại K. Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c và diện tích của tam giác là t, thỏa mãn: . Chứng minh tam giác đó là tam giác vuông.
 Họ và tên thí sinh:...................................................................................
 Số báo danh: ............................Phòng.....................................................
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(4đ)
Cho biểu thức 
với 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các số hữu tỉ x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
a)
Với điều kiện ta có:
0.75
0.75
0.75
Vậy với điều kiện thì 
0.25
b)
Theo câu a, ta có: với 
Ta có: 
0.5
. Vì A nguyên nên A có thể là 2; 3; 4
0.5
Tìm được và kết luận các giá trị của x cần tìm là: 0; ¼ ; 1
0.5
Bài 2
(4đ)
Giải phương trình: 
Tìm cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn x2 – y2 + 7x = 0
a)
ĐKXĐ: 
0.25
Ta có: 
0.5
Nếu (loại)
0.5
Nếu (t/m)
0.5
Vậy S={0}
0.25
b)
Giả sử tồn tại cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn x2 – y2 + 7x = 0 (*)
 4x2 – 4y2 + 28x = 04x2 + 28x + 49 – 4y2 = 49 
0.25
(2x + 7)2 – (2y)2 = 49(2x – 2y + 7)(2x + 2y + 7) = 49
0.5
Vì x 0, y 0 2x + 2y + 7 > 0 2x – 2y + 7 > 0
Nên ta có: 2x + 2y + 7 2x – 2y + 7 > 0
0.25
Mà 49 = 1.49 = 7.7 là các cách viết số 49 thành tích của 2 số nguyên dương nên ta có : hoặc 
0.25
Giải 2 hệ trên tìm được các cặp số (x; y) là (0; 0); (9; 12)
0.5
Vậy các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn bài toán là (0; 0); (9; 12)
0.25
Bài 3 (5đ)
1) Cho hệ phương trình: (với m là tham số).
a) Giải hệ phương trình với m = 
b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
2) Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 2 (Với m > 1). Biết đồ thị của hàm số trên cắt hai trục tọa độ tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
1. a
Với m = ½ , giải đúng tìm được nghiệm 
1.0
1. b
Hệ đã cho tương đương với 
0.5
Lí luận tìm được m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
0.5
1.c
Giả sử với m hệ có nghiệm duy nhất (x; y) khi đó ta có 
0.5
+) Khi m0 ta có hệ thức (*)
+) khi m = 0 ta có: khi đó hệ thức (*) vẫn đúng
Vậy hệ thức cần tìm là 
0.5
2.
Cho x = 0 y = m + 2 A(0; m + 2) OA = 
Cho y = 0 x = B
0.5
AOB vuông tại O 
(vì m > 1 nên )
0.5
Có: 
0.5
Dấu “=” xảy ra khi m = – 2 (Loại); m = 4 (t/m). Vậy m = 4
0.5
Bài 4 (5đ)
Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh CB và CD lần lượt lấy hai điểm di động M và N sao cho CM=CN. Vẽ CF BN tại E (F AD).
a) Chứng minh năm điểm A, B, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
b) Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thứ hai là I. Chứng minh ΔIBF vuông cân
c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng FI tại K. Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng.
a)
Ta có ABF vuông tại A 
BF là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ABF (đl) 
A thuộc đường tròn đường kính BF.
0.5
Chứng minh tương tự ta có: E thuộc đường tròn đường kính BF 
0.25
CDFM là hcn M thuộc đường tròn đường kính BF 
0.5
 Năm điểm A, B, M, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BF. Tâm O của đường tròn này là trung điểm của BF.
0.25
b)
Ta có:   
0.5
 IF=IB
0.5
Mặt khác  (góc nt chắn nửa đường tròn). Vậy ΔIBF vuông cân.
0.5
c)
FBI = KBI () BF = BK
0.5
FBM = BKC (FB=BK, , FM=BC) 
0.5
Mà 
0.5
 D, C, K thẳng hàng.
0.5
Bài 5 (2đ)
Cho các cạnh của một tam giác là a, b, c; diện tích của tam giác đó là t thỏa mãn: (a+b+c)(a+b−c)=4t. Chứng minh đó là tam giác vuông.
Xét ABC có BC = a, AC = b, AB = c, SABC = t thỏa mãn :
(a+b+c)(a+b−c)=4t.
Gọi (O; r) là đường tròn nội tiếp ABC.
D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O)
trên AB, AC, BC.
0.5
thay vào giả thiết 
0.5
Mà a + b – c = CF + FB + CE + EA – AD – DB = CE + CE = 2CE
r = CE OE = OF = CE = CF = r tứ giác CEOF là hình thoi
0.5
Mà tứ giác CEOF là hình vuông
 ABC vuông tại C.
0.5