Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 6,7,8 cấp huyện môn Toán

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 4,0 điểm) a. Tỡm x, y biết: = và x + y = 22
 b. Cho và . Tớnh M = 
 c.Tính giá trị của đa thức sau, biết x + y – 2 = 0
	 M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006
 d. Cho và a + b + c 0. Tớnh 
Bài 2: ( 3,0 điểm)
	Thực hiện tớnh:
a. P = 
 b. Tớnh : 
 c. Cho dóy tỉ số bằng nhau:
 Tớnh 
Bài 3: ( 4,0 điểm)
	Tỡm x biết:
a. 
b. 
 c. Tỡm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117
d. Tìm để Aẻ Z và tìm giá trị đó. A = . 
Bài 4: ( 4,0 điểm)
	Cho tam giỏc ABC cú B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D.
a. Chứng minh BEH = ACB.
	b. Chứng minh DH = DC = DA.
	c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giỏc AB’C cõn.
	d. Chứng minh AE = HC.
Bài 5(2đ) : Tỡm giỏ trị lớn nhất của cỏc biểu thức sau:
 a) P = b) Q = 
Bài 6 (4Đ) Cho tam giỏc ABC cú gúc A khỏc 900, gúc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ cỏc điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.
Chứng minh : Tam giỏc ADE cõn tại A
Tớnh số đo cỏc gúc AIC và AKB ?
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (2,0 điểm)
ị=
ị
ịị
; (1)
(1) 
(1) 
ị:=:
ị 
c. Biến đổi mỗi đa thức theo hướng làm xuất hiện thừa số x + y – 2 
M = (x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y) + (x+y -2) + 1 
 = x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008
 =x2.0 – y.0 + 0 + 2008 = 2008
Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tớnh:
2S = 
2S-S = 
S =
S 
P = 
+ Hướng dẫn giải :
- Ta cú : ( nhớ rằng )
Mặt khỏc : 
 1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 
	 = 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2)
Từ (1) và (2) ta cú : 
.
HD : Từ 
 Suy ra : 
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) 
 = -4
Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d = 4
Bài 3: ( 2,0 điểm)
HD: A = = 
Bài 4: ( 4,0 điểm)
Cõu a: 0,75 điểm
Hỡnh vẽ:
BEH cõn tại B nờn E = H1
0,25
A
B
C
H
E
D
B’
1
2
1
ABC = E + H1 = 2 E
0,25
ABC = 2 C ị BEH = ACB
0,25
Cõu b: 1,25 điểm
Chứng tỏ được DDHC cõn tại D nờn DC = DH.
0,50
DDAH cú:
 DAH = 900 - C
0,25
 DHA = 900 - H2 =900 - C
0,25
 ị DDAH cõn tại D nờn DA = DH.
0,25
Cõu c: 1,0 điểm
DABB’ cõn tại A nờn B’ = B = 2C
0,25
B’ = A1 + C nờn 2C = A1 + C
0,50
ị C = A1 ịAB’C cõn tại B’
0,25
Cõu d: 1,0 điểm
 AB = AB’ = CB’
0,25
 BE = BH = B’H
0,25
Cú: AE = AB + BE
 HC = CB’ + B’H
ị AE = HC
0,50
 Bài 6 *Phõn tich tỡm hướng giải 
 - Xột TH gúc A < 900 
 a) Để cm ∆ ADE cõn tại A 
 cần cm : AD = AH = AE
( Áp dụng t/c đường trung trực)
b) Dự đoỏn CI IB , BK KC
 Do IB, KC tia phõn giỏc gúc ngoài của ∆ HIK
nờn HA là tia phõn giỏc trong. Do nờn HC
là tia phõn giỏc ngoài đỉnh H . Cỏc tia phõn giỏc gúc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nờn IC là tia phõn giỏc của gúc HIK , do đú IB IC , Chứng minh tượng tự 
 ta cú BK KC
 - Xột TH gúc A>900
*Khai thỏc bài toỏn : 
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đú ta cú ∆ AD’E’ cõn tại A và gúc DAC cú