Đề đề xuất dự thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2010-2011 (Có đáp án)

PHềNG GD&ĐT
ĐỀ XUẤT DỰ THI HSG CẤP HUYỆN
Môn: Toỏn 7
NĂM HỌC: 2010-2011
(Thời gian làm bài: 120 phỳt)
Câu 1. (3điểm)
Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là: 
 ; ; 
Thực hiện phép tính:
A = 
Chứng minh rằng:
B = 
Câu 2. (1 điểm)
Tìm x, y biết : (2x – 5) 2008+ (3y + 4)2010 ≤ 0
Câu 3. (2 điểm)
Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b2 = ac và c2 = bd. 
Chứng minh rằng: 
Cho S =.
 Chứng minh rằng S khụng phải là số chớnh phương
Câu 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 900.
Chứng minh rằng:
NC = BM
NC BM.
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K. chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn thẳng MN.
 đáp án - biểu điểm-DƯƠNG QUANG
Câu 1. (3 điểm)
1) Trong ba số ; ; thì là số lớn nhất. 
Vậy nếu + > thì sẽ tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là ; ; 	(0,25 điểm)
 Thật vậy : > 	(0,25 điểm)
 > => + > 7 = > = 
2) (1 điểm)
A = 	(0,5đ)
A = 	(0,25 đ)
A = 	(0,25 đ)
3) (1 điểm)
Có 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 96.3 + 97.2+ 98.1
= (1 + 2 +3 ++ 96+97+98) + (1+2+3++ 96+97)++ (1+2)+1 	(0,5 điểm)
= + ++ + 	(0,25 điểm)
= 
=> B = = 	(0,25 điểm)
Câu 2. (1 điểm)
* Theo tính chất luỹ thừa bậc 2 ta có: 	(2x – 5)2008≥0	(0,25 điểm)
	 	(3y + 2x)2010 ≥ 0 
	=> (2x - 5)2008 + (3y + 4)2010 ≥ 0 	(1) 	(0,25 điểm)
* Mà ta có (2x -5)2008 +(3y+4)2010 ≤ 0 	(2) 
* Từ (1) và (2) ta có : (2x -5)2008 +(3y+4)2010 = 0 	(0,25 điểm)
ú 2x-5 = 0	ú	x = 5/2 
 3y +4 = 0 	y = - 4/3	(0,25 điểm)
 * Vậy x= 5/2 và y = -4/3 
Câu 3. (2 điểm)
a, Ta có b2 = ac và b,c ≠ 0 => 	(1) 	 	(0,25 điểm)
Tương tự ta có : 	(2) 
* Từ (1) và (2) ta có : 	(0,25 điểm)
* Đặt = k (k≠ 0, do a,b,c ≠ 0) 
Có k3 = 	(3) 	(0,25 điểm)
 	k3 = 	(4) 
 	* Từ (3) và (4) ta có 	(0,25 điểm)
b, S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b)
 = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c). 	(0,5 điểm) 
Vỡ 0 < a+b+c27 nờn a+b+c 37. Mặt khỏc (3; 37) =1 
nờn 3(a+b+c) 37 => S khụng thể là số chớnh phương. 	(0,5 điểm)
Câu 4. (4 điểm)
(GT-KL ; Vẽ hỡnh)	(0,5điểm)
1a) Ta có AN, AC nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB (gt)
NAB và CBA kề nhau.
Có NAB = 900 (gt) => Tia AB nằm giữa AN và AC. 
 CAB < 900 (gt) 
=> NAB + CAB < 1800
=> NAB + CAB = 900 + CAB = NAC 	(1)	(0,5 điểm)
Chứng minh tương tự có: 900 + CAB = NAC 	(2)	(0,25 đ)
* Từ (1) và (2) ta có NAC = BAM	
* Xét NAC và có:
T
 + AN = AB (gt)
 + NAC = BAM (cmt)	=> C = (c.g.c) 	(0,25 đ)
 + AC = AM (gt)
=> NC = BM (đpcm) 
1b) Gọi giao điểm của NC với BM là I, giao điểm của Ac với BM là T.
Ta có NAC = BAM (cmt)
=> CAN = AMB hay TCI = TMA 	(0,5 đ)
 Mà CTI = MTA (hai góc đối đỉnh) 
=> MAT = CIT (Tổng 3 góc trong tam giác bằng 1800) 	(0,5 đ) 
Mà MAT = 900 (gt) 
=> CIT = 900 hay NC BM (đpcm) 
2) * Gọi giao điểm của AK với BC là H. kẻ MP vuông góc với AK tại P
 Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q.
Chứng minh được NQA = AHB (cạnh huyền- góc nhọn)
=> NQ = AH (3) 	(0,5 đ)
* Chứng minh tương tự có MP = AH (4) 	(0,25 đ)
 Từ (3) và (4) ta có NQ = MP. 
* Chứng minh được NQK = MPK (g.c.g) => NK = MK. 	(0,5 đ)
 Mà N, M, K thẳng hàng (gt) 
=> K là trung điểm của MN (đpcm) 	(0,25 đ)
* Chú ý: Các cách làm khác đúng, phù hợp chương trình lớp 7 vẫn cho điểm tối đa theo từng bước.