Đề cương ôn tập Hình học thi vào Lớp 10

Đề cương ôn tập hình học thi vào 10
Bài 1. (3,5 điểm)
	Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm M bên ngoài đường tròn, kẻ 2 tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB (C khác A và B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM.
a) Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng 
c) Gọi I là giao điểm của AC và ED, K là giao điểm của CB và DF. 
Chứng minh: IK // AB
d) Xác định vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R
Bài 2 Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh AB // EM.
3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. 
Chứng minh M là trung điểm HK.
4. Chứng minh 
Bài 3 Cho đường tròn (O), một dây AB và một điểm C ở ngoài tròn nằm trên tia AB. Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn , cắt dây AB tại D.Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I.Các dây AB và QI cắt nhau tại K.
	1) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp được.
	2) Chứng minh CI.CP = CK.CD
	3) Chứng minh IC là tia phân giác của góc ở ngoài đỉnh I của tam giác AIB
	4) Giả sử A,B,C cố định. Chứng minh khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. (3,0 điểm )
Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MNE không đi qua O (N nằm giữa M và E)
 a. Chứng minh MA2=MN.ME.
 b. Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh MN.ME = MH.MO, từ đó suy ra tg NHOE nội tiếp.
 c. Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OM và (O). Chứng minh NI là tia phân giác của .
Bài 5 .Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (R là một độ dài cho trước). Gọi C, D là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho C thuộc cung AD và = 1200. Gọi giao điểm của hai dây AD và BC là E, giao điểm của các đường thẳng AC và BD là F
a) Chứng minh rằng bốn điêm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tính bán kính của đường tròn đi qua C, E, D, F nói trên theoR.
c) Tìm giá trị lớn nhất của điện tích tam giác FAB theoR khi C, D thay đổi nhung vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán 
Bài 6. Cho (O) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm C sao cho AC < BC (CA). Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D, AD cắt (O) tại E (E A) .
a, Chứng minh BE2 = AE.DE.
b, Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp .
 c, Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH.
Bài 7. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn tâm O lấy điểm C (C không trùng với A, B và CA > CB). Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A, tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), DO cắt AC tại E.
a) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp.
b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh: .
c) BD cắt CH tại M . Chứng minh: EM//AB. 
Bài 8. (3 điểm) Cho (O; R) cố định và điểm A thay đổi nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (với B, C là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE với (O) (D nằm giữa A và E; DE không đi qua O). Gọi H là giao điểm của AO và BC. 
a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng AH.AO = AD.AE và tứ giác DEOH là tứ giác nội tiếp.
c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt các tia AB, AC lần lượt tại M, N. Tìm vị trí của điểm A ở ngoài (O) để diện tích tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn. Gọi C; D là 2 điểm di động trên nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt tại E và F (F nằm giữa B và E). a. Chứng minh 
b. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được.
c. Khi C; D di động trên nửa đường tròn. Chứng minh AC.AE = AD.AF có giá trị không đổi.
Bài 10 (3,0 điểm) 
 	Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD ().
a) 	Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn. 
b) 	Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.
c) 	Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.
d) 	Gọi S là diện tích tam giác ABD, S’ là diện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng:
Bài 11 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB. 
1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh: MN2 = NF.NA vả MN = NH.
3) Chứng minh: .
Bài 12 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB. 
1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh: MN2 = NF.NA vả MN = NH.
3) Chứng minh: .
Bài 13 (3.0 điểm). Cho đoạn thẳng và là một điểm nằm giữa và . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ vẽ hai tia , vuông góc với . Trên tia lấy một điểm ( khác ), đường thẳng vuông góc với tia tại cắt tia tại . Đường tròn đường kính cắt tại điểm thứ hai .
1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. 
2) Chứng minh .
3) Cho biết cố định. Xác định vị trí điểm trên đoạn thẳng sao cho diện tích hình thang vuông là lớn nhất.
Bài 14 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I. Chứng minh:
a) , từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.
b) Tam giác FBD đồng dạng với tam giác FEC
c) FI.FM = FD.FE.
Bài 15 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC < BC (CA). Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D, AD cắt (O) tại E (E A).
1. Chứng minh BE2 = AE.DE.
2. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H, DO cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp.
3. Gọi I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH.
 Bài 16. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cố định không đi qua O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A và B. Từ điểm M bất kỳ nằm trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O; R), B nằm giữa M và A, kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O; R) (P, Q là các tiếp điểm). I là trung điểm của AB
Chứng minh M, P, I, O, Q cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh AM.BM = PM2.
	c) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên đường thẳng d (M nằm ngoài đường tròn (O; R)) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua hai điểm cố định.
 d) Xác định vị trí của điểm M để tam giác MPQ đều.
Bài 17 .Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt AB, AD lần lượt tại E và F.
a. Chứng minh AB.AE = AD. AF;
b. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM ^ BD;
c. Đường tròn đường kính EF cắt (O) tại K AK cắt EF tại S. Chứng minh B, D, S thẳng hang.
Bài 18: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB< AC, d không đi qua tâm O)
a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC.
c) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 19: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm C nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA, CB và cát tuyến CMN với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm, M nằm giữa C và N). Gọi H là giao điểm của CO và AB.
Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp
Chứng minh 
Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt CA, CB theo thứ tự tại E và F. Đường vuông góc với CO tại O cắt CA, CB theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh 
Chứng minh: 
Bài 20: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC (M ¹ A; C). Hạ MH ^ AB tại H, tia MB cắt CA tại E, kẻ EI ^ AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BHKC là tứ giác nội tiếp;
b) AK.AC = AM2;
c) AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vị trí của điểm M trên cung AC;
d) Khi M chuyển động trên cung AC thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MIC đi qua hai điểm cố định.
Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I. Gọi H là hình chiếu của A lên OC; AH cắt BC tại M.
Chứng minh: Tứ giác ACDH nội tiếp và 
Chứng minh: Hai tam giác OHB và OBC đồng dạng với nhau và HM là tia phân giác của góc BHD
Gọi K là trung điểm của BD. Chứng minh: MD.BC = MB.CD và MB.MD=MK.MC
Gọi E là giao điểm của AM và OK; J là giao điểm của IM và (O) ( J khác I). Chứng minh: Hai đường thẳng OC và EJ cắt nhau tại tại một điểm nằm trên (O)
Bài 22:Cho đường tròn tâm O, dây BC cố định ,điểm A thuộc cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn, và Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Kẻ BE và CF vuông góc với AD (E, F thuộc AD). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC).
Chứng minh bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn. 
Chứng minh HE song song với CD.
Gọi M , I, K lần lượt là trung điểm của BC, EF, CE. CMR: M, I , K thẳng hàng và +CMF
Khi điểm A thuộc cung lớn BC, thỏa mãn BE=3CF. Tính: (BE.MI - 2MK.CF)