Chuyên đề về Số chính phương

CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
“Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên”
1. Nhìn chữ số tận cùng: (số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9). 
Bài 1: Chứng minh số: không phải là số chính phương. 
Lời giải: Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 
lần lượt là 6; 9; 4; 1. Do đó số N có chữ số tận cùng là 8 nên N không phải là số chính phương. 
Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. 
2. Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2. 
Bài 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương. 
Lời giải: Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. 
Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương. 
Bài 3: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương. 
Lời giải: Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương. 
3. Dùng tính chất của số dư 
Bài 4: Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương. 
Lời giải: Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 mà thôi. Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương. 
4. “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp” 
Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn thì k không là số chính phương. 
Bài 5: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương. 
Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Thế là tất cả các cách làm trước đều không vận dụng được. 
Lời giải : Ta có nên 
Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương. 
Bài 6: Chứng minh không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. 
Lời giải: 
Ta có: 
Mặt khác : 
Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. 
Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2. 
=> A không là số chính phương. 
Bài 7: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.
Lời giải: 
a và b lẻ nên 
.
Không có số chính phương nào có dạng 
Do đó: không thể là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương
Lời giải: 
Gọi năm số tự nhiên liên tiếp đó là: 
Ta có: 
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó không thể chia hết cho 5
 không là số chính phương hay A không là số chính phương
Bài 9: Chứng minh rằng số có dạng trong đó không phải là số chính phương
Lời giải: 
Ta có: 
Với: thì: 
Và: 
Vậy: 
 không phải là một số chính phương.
CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1. Dựa vào định nghĩa. 
Bài 1: Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì là số chính phương. 
Lời giải : 
Ta có : 
Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương. 
Bài 2: Chứng minh số : là số chính phương. 
Lời giải : 
Ta có : 
Vậy : là số chính phương. 
Bài 3: Chứng minh tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Lời giải: 
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: . 
Ta có: 
Đặt: 
Vậy: 
Vì: nên: 
Vậy: là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng: là số chính phương: 
Lời giải: 
Ta có: 
 A là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Lời giải: 
Đặt: 
Vậy: 
Vậy A là số chính phương.
2. Dựa vào tính chất đặc biệt. 
 “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”.
Bài 6: Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 
thì và đều là số chính phương.
Lời giải :
Ta có: 
tương đương với 
hay: 
Gọi d là ước chung lớn nhất của và 
thì chia hết cho d
=> 8m + 1 chia hết cho d. 
Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 
=> m chia hết cho d. 
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d 
=> d = 1. 
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.