Chuyên đề Toán 9 - Nguyễn Thị Minh Phương

Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
Mục lục
1 Hàm số bậc nhất 3
1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Đồ thị hàm số y = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Viết phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Xác định tham số để đồ thị hàm số y = ax + b tạo với hai trục
toạ độ tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Xác định tham số để ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6 Xác định tham số để ba đường thẳng đồng qui . . . . . . . . . . 12
1.2.7 Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định . . . . 13
1.2.8 Xác định tham số để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường
thẳng y =ax + b có giá trị lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Hàm số bậc hai 21
2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Khái niệm hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Tính chất và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
MỤC LỤC
2.1.3 Cách vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Tương quan giữa đường thẳng và Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Dạng 1: Viết phương trình (P) đi qua một điểm cho trước . . . 24
2.2.2 Dạng 2: Tìm điểm M thuộc (P) thoả mãn điều kiện cho trước . 24
2.2.3 Dạng 3: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng . . . 25
2.2.4 Dạng 4: Chứng minh về vị trí tương đối giữa Parabol và đường
thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.5 Dạng 5: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt
phẳng toạ độ giữa Parabol và đường thẳng . . . . . . . . . . . . 29
2.2.6 Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến của Parabol thoả mãn điều
kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.7 Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao thoả mãn điều
kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.8 Dạng 8: Quỹ tích đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
Chương 1
Hàm số bậc nhất
1.1 Kiến thức cần nhớ
1.1.1 Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số
a) Khái niệm về hàm số
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta
luôn xác định được một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x
được gọi là biến số.
b) Đồ thị hàm số
- Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng
toạ độ được gọi là hàm số y = f(x).
c) Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị x thuộc R.
- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) cũng tăng lên thì hàm
số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến).
- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) lại giảm đi thì hàm số
y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).
Nói cách khác với x1 và x2 bất kì thuộc R:
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) đồng biến trên R.
- Nếu x1 f(x2) nghịch biến trên R.
3
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
1.1.2 Hàm số bậc nhất
a) Khái niệm về hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y = ax + b.
Trong đó a, b là các số thực cho trước và a 6= 0.
- Chú ý: khi b = 0 hàm số có dạng y = ax.
b) Tính chất
Hàm số y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0.
- Nghịch biến trên R khi a < 0.
1.1.3 Đồ thị hàm số y = ax + b
a) Đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0)
Đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0) là đường thẳng:
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
- Song song với đường thẳng y = ax nếu b 6= 0.
- Trùng với đường thẳng y = ax + b nếu b = 0.
• Chú ý:
+) Đồ thị hàm số y = ax + b(a 6= 0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b, b được
gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
+) Với a = 0, hàm số có dạng y = b. Đây không phải là hàm số bậc nhất. Đồ thị hàm
số này song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm B(0; b).
+) Đường thẳng d: x = x0 là đường thẳng song song với trục tung, cắt trục hoành tại
điểm N(x0; 0).
+) Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Oxy có dạng tổng quát là
d: ax + by = c với a2+ b2 6= 0.
b) Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 6= 0)
• Bước 1:
- Cho x = 0 thì y = b, ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
- Cho y = 0 thì x =
−b
a
, ta được điểm Q(
−b
a
; 0) thuộc trục Ox.
• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P, Q ta được đồ thị của hàm số y = ax+ b.
Ví dụ 1.1. Vẽ đồ thị hàm số y =
−1
2
x + 2.
4
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Hình 1.1:
Đồ thị hàm số đi qua A(4; 0), B(0;2).
1.1.4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a) Hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng y = ax + b (a 6= 0) và y = a’x + b’ (a’ 6= 0) cắt nhau khi và chỉ
khi a 6= a’.
Chú ý: khi a 6= a’ và b = b’ thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc do đó chúng cắt
nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ bằng b.
b) Hai đường thẳng song song
Hai đường thẳng y = ax + b (a 6= 0) và y = a’x + b’ (a’ 6= 0) trùng nhau khi và
chỉ khi a = a’ và b 6= b’.
c) Hai đường thẳng trùng nhau
Hai đường thẳng y = ax + b (a 6= 0) và y = a’x + b’ (a’ 6= 0) trùng nhau khi và
chỉ khi a = a’ và b = b’.
d) Hai đường thẳng vuông góc với nhau
Hai đường thẳng y = ax + b (a 6= 0) và y = a’x + b’ (a’ 6= 0) trùng nhau khi và
chỉ khi a.a’ = -1.
1.1.5 Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc là a.
- Khi a dương (a > 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn.
Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90◦.
- Khi a âm (a < 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù. Hệ
số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180◦.
5
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
- Chú ý: khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này ta cũng nói rằng a là
hệ số góc của đường thẳng y = ax.
1.2 Các dạng bài tập
1.2.1 Vẽ đồ thị hàm số
a) Vẽ đồ thị hàm số y = |ax + b|
Bước 1: Ta tiến hành phá dấu giá trị tuyệt đối của hàm số y = |ax + b|.
- y1 = |ax + b| = ax + b với x ≥ −b
a
.
- y2 = |ax + b| = ax + b với x <
−b
a
.
Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số y1 = |ax + b| = ax + b với x ≥ −b
a
, vẽ đồ thị hàm số
y2 = |ax + b| = ax + b với x <
−b
a
. Đồ thị của hàm số y = |ax + b| là hợp của hai
đồ thị trên.
Ví dụ 1.2. Vẽ đồ thị hàm số y = |x + 2|
Hướng dẫn.
y1 = |x + 2| = x + 2 với x ≥ -2.
y2 = |x + 2| = - x - 2 với x < -2.
Đồ thị hàm số y = x + 2 giao với trục Ox tại A(-2; 0), giao với trục Oy tại B(0; 2).
Hình 1.2:
Đồ thị hàm số y = - x - 2 giao với trục Ox tại A(-2; 0), giao với trục Oy tại C(0; - 2).
b) Vẽ đồ thị hàm số y = a|x| + b
Bước 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối của hàm số y = a|x| + b.
- y1 = a|x| + b = ax + b với x ≥ 0.
6
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
- y2 = a|x| + b = - ax + b với x < 0.
Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số y1 = ax + b với a ≥ 0, vẽ đồ thị hàm số
y2 = -ax + b với x < 0. Đồ thì hàm số y = a|x| + b là hợp của hai đồ thị trên.
Ví dụ 1.3. Vẽ đồ thị hàm số y = 2|x| + 2
Hướng dẫn.
y1 = 2|x| + 2 = 2x + 2 với x ≥ 0.
Hình 1.3:
y2 = 2|x| + 2 = - 2x + 2 với x < 0.
Đồ thị hàm số y1 = 2x + 2 giao với trục OX tại A(-1; 0), giao với trục Oy tại B(0; 2).
Đồ thị hàm số y2 = - 2x + 2 giao với trục OX tại C(1; 0), giao với trục Oy tại B(0; 2).
c) Xác định giao điểm của hai đường thẳng y = f(x) và y = g(x)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) ⇒ x0.
Thay x0 vào y= f(x) hoặc y = g(x) ⇒ y0 ⇒ M(x0; y0) là giao điểm của hai đường
thẳng.
Ví dụ 1.4. Tìm giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = x + 1 và (d2): y = 2x + 4
Hướng dẫn.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là: x + 1 = 2x + 4 ⇒ x = - 3.
Thay x = - 3 vào y = x + 1 ⇒ y = (-3) + 1 = - 2 ⇒ M(-3; -2) là giao điểm của hai
đường thẳng d1 và d2.
1.2.2 Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
(d1): y = a1x + b1
7
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
(d2): y = a2x + b2
a) Xác định tham số để hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng cắt nhau khi: a1 6= a2
Ví dụ 1.5. Xác định tham số m để đường thẳng y = (m + 1)x + 1
và y = (2m + 3)x + 3 cắt nhau.
Hướng dẫn.
Hai đường thẳng y = (m + 1)x + 1 và y = (2m + 3)x + 3 cắt nhau khi
m + 1 6= 2m + 3 ⇒ m 6= - 2.
b) Xác định tham số để hai đường thẳng song song
Hai đường thẳng song song với nhau khi:
 a1 = a2b1 6= b2
Ví dụ 1.6. Xác định tham số m để đường thẳng (d1) = (m + 1)x + m
và (d2) = (2m + 3)x + 2 song song với nhau.
Hướng dẫn.
Hai đường thẳng song song với nhau khi:
 m + 1 = 2m + 3m 6= 2 ⇒ m = - 2.
c) Xác định tham số để hai đường thẳng trùng nhau
Hai đường thẳng trùng nhau khi:
 a1 = a2b1 = b2
Ví dụ 1.7. Xác định tham số m để đường thẳng (d1) y = (m + 2)x + 2m
và (d2) y = (2m + 2)x + m trùng nhau.
Hướng dẫn.
Hai đường thẳng d1 và d2 trùng nhau khi: m + 2 = 2m + 22m = m ⇔
 m + 2 = 2m + 22m = 0 ⇒ m = 0.
d) Xác định tham số để hai đường thẳng vuông góc với nhau
Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi: a1.a2 = - 1.
Ví dụ 1.8. Xác định tham số m để đường thẳng (d1) = (m + 1)x + 1
và (d2) = 2x + 1 vuông góc với nhau.
Hướng dẫn.
Hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau khi: (m + 1).2 = -1 ⇔ 2m + 2 = -1
8
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
⇔ 2m = -3 ⇒ m = −3
2
.
e) Xác định tham số để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau trên trục tung
Giải hệ phương trình:
 a1 6= a2b1 = b2 ⇒ Giá trị của tham số.
f) Xác định tham số để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau trên trục hoành
Bước 1: Tìm giao điểm của d1 với trục hoành: A(−b1
a1
; 0).
Bước 2: Tìm giao điểm của d2 với trục hoành: B(−b2
a2
; 0).
Bước 3: Tìm điều kiện để a1 6= a2 và giải phương trình −b1
a1
= −b2
a2
.
g) Xác định tham số để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm có hoành độ là m
(hoặc tung độ là n)
Bước 1: Tìm điều kiện để a1 6= a2 (*).
Bước 2: Thay x = m (hoặc y = n) vào d1 hoặc d2 để tìm y = y0 (hoặc x = x0).
Bước 3: Thay x = m (hoặc y = n) và y = y0 (hoặc x = x0) vào đường thẳng còn lại
kết hợp với điều kiện (*) ta có điều kiện cần tìm.
Ví dụ 1.9. Cho hàm số y = 2mx + m -1 (m 6= 0) có đồ thị là d1
Tìm m để:
a) (d1) cắt đường thẳng y = x + 1 trên trục tung? trên trục hoành.?
b) (d1) cắt đường thẳng y = 3x - 2 tại điểm có hoành độ bằng 2?
c) (d1) cắt đường thẳng y =
1
2
x - 5 tại điểm có tung độ bằng - 3?
Hướng dẫn.
a) (d1): y = 2mx + m -1.
(d2): y = x + 1.
+) (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung.
⇔
 2m 6= 1m− 1 = 1 ⇔ m = 2.
+) (d1) cắt trục hoành tại điểm A(
1−m
2m
; 0).
(d2) cắt trục hoành tại điểm B(
−1
1
; 0).
(d1) cắt (d2) tại điểm nằm trên trục hoành ⇔ 1−m
2m
= -1 ⇔ m = - 1.
b) Gọi điểm có hoành độ bằng 2 là C(2; y0).
Vì C(2; y0) ∈ y = 3x - 2 nên y0 = 3.2 - 2 = 4 ⇒ C(2; 4).
Vì C(2; 4) ∈ (d1) nên 4 = 2m.2 + m - 1 ⇔ 5m = 5 ⇔ m = 1.
9
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
c) Gọi điểm có tung độ bằng - 3 là D(x0; -3).
Vì D(x0; - 3) ∈ y = 1
2
x - 5 nên - 3 =
1
2
x0 - 5 ⇒ D(4; - 3).
Vì D(4; - 3) ∈ (d1) nên - 3 = 2m.4 + m - 1 ⇔ m = −2
9
.
h) Xác định tham số để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm thuộc góc phần tư
Bước 1: Giải hệ phương trình:
 y = a1x + b1y = a2x + b2 ta được nghiệm (x0, y0).
Bước 2: Tìm điều kiện thoả mãn a1 6= a2 và:
• Nếu C thuộc góc phần tư thứ nhất:
 x0 > 0y0 > 0
• Nếu C thuộc góc phần tư thứ hai:
 x0 0
• Nếu C thuộc góc phần tư thứ ba:
 x0 < 0y0 < 0
• Nếu C thuộc góc phần tư thứ tư:
 x0 > 0y0 < 0
Ví dụ 1.10. Cho hai đường thẳng
(d): y = (m - 1)x + 2m và (4): y = mx + 2
Tìm m để (d) cắt (4) tại một điểm thuộc góc phần tư thứ hai.
Hướng dẫn.
Vì m -1 6= m (đúng với mọi m) ⇒ (d) cắt (4) ∀ m.
Tọa độ giao điểm A của (d) và (4) là nghiệm của hệ: y = (m− 1)x + 2my = mx + 2 ⇔
 x = 2m− 2y = mx + 2 ⇔
 x = 2m− 2y = 2m2 − 2m + 2
⇒ A(2m− 2; 2m2 − 2m + 2).
Vì A thuộc góc phần tư thứ hai nên: 2m− 2 0 ⇔ m < 1.
i) Xác định tham số để hai đường thẳng d1 và d2 cắt tại điểm có tọa độ nguyên
Bước 1: Giải hệ phương trình:
 y = a1x + b1y = a2x + b2 ta được nghiệm (x0, y0).
Bước 2: Tìm điều kiện để x0 ∈ Z, y0 ∈ Z và a1 6= a2.
Ví dụ 1.11. Tìm m để hai đường thẳng (d): y = mx + 1 và (d’): y = 2x + 3 cắt nhau
10
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
tại một điểm có toạ độ nguyên.
Hướng dẫn.
(d) cắt (d’) ⇔ m 6= 2.
Toạ độ giao điểm P của (d) và (d’) là nghiệm của hệ: y = mx + 1y = 2x + 3 ⇔
 x =
2
m− 2
y = 2x + 3
⇔

x =
2
m− 2
y =
4
m− 2 + 3
⇒ Tọa độ của P nguyên ⇔ m - 2 ∈ Ư(2) = {−1; 1;−2; 2}.
⇔ m ∈ {1; 3; 0; 4} .
1.2.3 Viết phương trình đường thẳng
a) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1, y1), B(x2, y2)
Bước 1: Thay toạ độ hai điểm A, B vào đường thẳng y = ax + b ta được hệ: y1 = a.x1 + by2 = a.x2 + b
Bước 2: Giải hệ phương trình ẩn a, b ta có: a = a0, b = b0.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1, y1), B(x2, y2) là: y = a0x + b0.
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(x0, y0) và có hệ số góc k
Thay toạ độ điểm M và a = k vào đường thẳng y = ax + b ta sẽ tìm được b.
1.2.4 Xác định tham số để đồ thị hàm số y = ax + b tạo với hai trục toạ
độ tam giác cân
Bước 1: Tìm giao điểm với trục hoành A(-
b
a
; 0), giao điểm với trục tung B(0; b).
Bước 2: Giải phương trình |b| = |-
b
a
| ta tìm được m.
Ví dụ 1.12. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx + m + 1 tạo với các trục toạ độ một
tam giác cân.
Hướng dẫn.
Giao điểm của đồ thị với trục Ox là: A(-
m
m + 1
; 0).
Giao điểm của đồ thị với trục Oy là: B(0; m + 1).
Đồ thị tạo với hai trục toạ độ thành một tam giác cân.
⇔ | − m
m + 1
| = |m + 1|.
11
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
• Trường hợp 1:
− m
m + 1
= m + 1⇔ - m - 1 = m2 + m ⇔ m2 + 2m + 1 = 0 ⇔ (m + 1)2 = 0.
⇔ m = - 1.
• Trường hợp 2:
− m
m + 1
= −m− 1⇔ - m - 1 = - m2 - m ⇔ m2 - 1 = 0
⇔ (m + 1)(m - 1) = 0 ⇔ m = - 1 hoặc m = 1.
1.2.5 Xác định tham số để ba điểm thẳng hàng
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AB (hoặc BC, AC).
Bước 2: Thay toạ độ điểm còn lại vào đường thẳng vừa lập ta tìm được giá trị của
tham số m.
Ví dụ 1.13. Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng: A(2; 1), B(−2; 2), C(1 + m;m).
Hướng dẫn.
Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 1), B(−2; 2):
Thay toạ độ điểm A, B vào đường thẳng y = ax + b ta được hệ phương trình: 2a + b = 1−2a + b = 2 ⇒

a = −1
4
b =
3
2
Phương trình đường thẳng đi qua A, B là (d) : y = −1
4
x +
3
2
.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ C ∈ (d).
⇒ m = −1
4
(1 + m) +
3
2
⇒ m = 1.
Vậy m = 1 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
1.2.6 Xác định tham số để ba đường thẳng đồng qui
Chú ý: Ba đường thẳng phân biệt gọi là đồng quy nếu chúng cùng đi qua một điểm.
Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm của hai trong ba đường thẳng. Giả sử điểm I là giao
điểm của (d1), (d2).
Bước 2: Chứng minh I nằm trên (d3) ⇒ (d1), (d2), (d3) đồng quy tại I.
Ví dụ 1.14. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng:
(d1) : y = 2x + 7; (d2) : y = −1
3
x +
7
3
; (d3) : y = − 2
m
x− 1
m
.
Tìm m để ba đường thẳng có một điểm chung.
12
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Hướng dẫn.
Gọi I = (d1) ∩ (d2)⇒ toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình: y = 2x + 7y = −1
3
x +
7
3
⇒ I(−2; 3).
(d1); (d2); (d3) đồng quy⇔ I(−2; 3) ∈ d3 ⇔ 3 = − 2
m
(−2)− 1
m
⇔ m = 1.
Vậy m = 1 thì ba đường thẳng đồng quy.
1.2.7 Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định
Bước 1: Giả sử đồ thị y = ax+b luôn đi qua điểm A(xo; yo) với mọi tham số m
Bước 2: Thay A(xo; yo) và y = ax+b ta được yo = axo + b(∗)
Bước 3: Biến đổi (∗) về dạng: A.m + B = 0 (A, B là các biểu thức chứa xo và yo)
(Xem m là ẩn; A, B là các hệ số thì phương trình A.m + B = 0 luôn luôn đúng khi
A = 0 và B = 0)
Bước 4: Giải hệ phương trình:
 A = 0B = 0 ta tìm được xo và yo
Ví dụ 1.15. Cho đường thẳng (d) : y = mx+2 (m là tham số). Tìm điểm cố định I
mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi tham số m
Hướng dẫn.
Gọi I(xo; yo) là điểm cố định của đường thẳng (d)⇔ I ∈ d,∀ m.
⇔ yo = mxo + 2 ∀ m.
⇔ mxo + (2− yo) = 0 ∀ m.
⇔
 xo = 02− yo = 0 ⇔
 xo = 0yo = 2 ⇒ I(0; 2).
Vậy điểm I(0; 2) là điểm cố định của đường thẳng (d) với mọi tham số m.
1.2.8 Xác định tham số để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng
y =ax + b có giá trị lớn nhất
Bước 1: Tìm điểm cố định A(x0; y0) mà đồ thị hàm số luôn đi qua.
Bước 2: Tìm giao điểm với trục tung B(0; b) và giao điểm với trục hoành C(-
b
a
; 0).
Bước 3: Vì khoảng cách từ O đến đường thẳng lớn nhất khi OA ⊥ BC. Nên áp dụng
hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC với đường cao OA có:
13
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
1
OA2
=
1
OB2
+
1
OC2
(*)
Tính OA, OB, OC và thay vào hệ thức (*) ta tính được m.
Chú ý:
+) Ở bước 3 ta có thể lập phương trình đường thẳng OA. Từ đó tìm điều kiện của
m để OA vuông góc với đường thẳng y = ax + b.
+) Ta có thể tính OA, OB, OC bằng định lý Pytago hoặc vận dụng công thức tính
khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
A(xa, ya), B(xb, yb) thì AB =
√
(xa − xb)2 + (ya − yb)2
Ví dụ 1.16. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng
(d): y = mx - m + 1 lớn nhất.
Hướng dẫn.
Tìm điểm cố định thuộc d: y = mx - m + 1.
Giả sử A(x0; y0) thuộc d: y = mx - m + 1 nên:
y0 = mx0 - m + 1 ⇔ m(x0 - 1) - y0 + 1 = 0.
⇔
 x0 − 1 = 0.−y0 + 1 = 0 ⇔
 x0 = 1.−y0 = 1
Vậy đường thẳng y = mx - m + 1 luôn đi qua điểm cố định A(1; 1).
⇒ OA = √2.
Gọi giao điểm của d với trục hoành là B(
m− 1
m
; 0).
Gọi giao điểm của d với trục tung là C(0; 1 - m).
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn nhất ⇔ d ⊥ OA tại A.
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OBC, đường cao OA có:
1
OA2
=
1
OB2
+
1
OC2
⇔ 1
(
√
2)2
=
1(
m− 1
m
)2 + 1(1−m)2 .
⇔ 1
2
=
m2
(m− 1)2 +
1
(m− 1)2 ⇔
m2 + 1
(m− 1)2 =
1
2
.
⇔ 2m2 + 2 = (m− 1)2 ⇔m2 = 2m + 1 = 0 ⇔ (m + 1)2 = 0.
⇔ m = 1.
14
Ng
uy
ễn
Th
ị M
in
h
Ph
ươ
ng
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
1.3 Bài tập
Bài tập 1:Cho hàm số y = (m + 4).x – m + 6 (d).
a) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến?
b) Tìm m biết đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ?
c) Tìm m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A ( -3, 2m)?
d) Tìm m để đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn? Góc tù?
e) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
3
2
.
f) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
1
2
.
Hướng dẫn.
a) Hàm số đồng biến ⇔ m+4 > 0 ⇔ m > -4.
Hàm số nghịch biến ⇔ m +4 < 0 ⇔ m < -4.
b) (d) đi qua gốc tọa độ có dạng y = ax => b = 0 ⇔ - m + 6 = 0 ⇔ m = 6.
c) (d) đi qua A ( - 3, 2m) ⇒ 2m = (m + 4).(-3) – m + 6 ⇒ m = -1.
⇒ (d): y = 3x + 7.
d) Nếu m + 4 > 0 ⇔ m > - 4 th ì (d) tạo với trục Ox một góc nhọn.
Nếu m + 4 < 0 ⇔ m < - 4 thì (d) tạo với trục Ox một góc tù.
e) (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng