Chuyên đề: Giới hạn dãy số - Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 1 
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN 
CHỦ ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
Da ̣ng 1: Ti ̀m giới hạn của da ̃y số 
I. Da ̃y sô ́ co ́ giới ha ̣n hữu ha ̣n 
1. Đi ̣nh nghi ̃a: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là L hay (un) dần tới L khi n 
dần tới vô cực (n ), nếu  lim 0. n
n
u L

  Kí hiệu: 
  nlim hay u khi n + .n
n
u L L

    
 Chú ý:    lim limn n
n
u u

 . 
2. Một số định lý: 
 Định lí 1: Giả sử lim nu L , khi đó: 
 33lim ,limn nu L u L  
 Nếu 0, 0nu n L    và lim nu L 
 Định lí 2: Giả sử lim , lim ,n nu L v M c const   
 lim( )n nu v L M   
 lim( )n nu v L M   
 lim( . ) .n nu v L M , lim . .nc u c L 
 lim ( 0)n
n
u L
M
v M
  
 Định lí 3: Cho 3 dãy số ( ), ( ), ( )n n nu v w . Nếu ,n n nu v w n   và 
lim lim limn n nu w L v L    
 Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm 
và bị chặn dưới thì có giới hạn. 
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 
S = u1 + u1q + u1q2 +  = 1
1
u
q
  1q  
II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 
1. Dãy số có giới hạn  : lim nu   mọi số hạng của dãy số đều 
lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. 
2. Dãy số có giới hạn  : lim nu   mọi số hạng của dãy số đều 
nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 2 
Chú ý: lim lim( )  n nu u 
3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực: 
o Qui tắc 1: 
lim nu lim nv lim .n nu v 
   
   
o Qui tắc 2: 
lim nu Dấu của 
lim nv L 
lim .n nu v 
   
   
o Qui tắc 3: 
lim 0nu L  
Dấu của L 
lim 0, 0n nv v  
Dấu của lim nv 
lim n
n
u
v
+   
-   
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 3 
Loại 1: Giới ha ̣n cu ̉a dãy sô ́ hữu tỉ 
Phương pháp: Xem xe ́t bậc cao nhâ ́t cu ̉a tư và mẫu. Sau đo ́, chia tử va ̀ 
mâ ̃u cho bâ ̣c cao nhâ ́t cu ̉a tử và mâ ̃u. Hoă ̣c cu ̃ng co ́ thê ̉ đă ̣t nhân tử cao 
nhâ ́t cu ̉a từ va ̀ mẫu đê ̉ được những giới ha ̣n cơ ba ̉n. Ti ́nh giới ha ̣n na ̀y. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
a. Ta có biến đổi: 
3
3 2 3
2 3
3
2
3 6
5
5 3 6
lim lim
4 74 3 7
3
n
n n n n
n n n
n
n n
 
     
   
  
 
3
2
3 6
5
5
lim
4 7 33
n n
n n
 

 
 
Vi ̀ khi n thi ̀ 
3
2
3
lim 0
6
lim 0
4
lim 0
7
lim 0
n
n
n
n



 


 


 

b. Ta có biến đổi: 
4 2
2 4
6 2 1
lim
1 5 3
n n
n n
 
 
 = 
4
4 2 2 4
2 4
4
4 2
2 1
6
6 2 1
lim lim
1 51 5 3
3
n
n n n n
n n
n
n n
 
     
   
  
 
2 4
4 2
2 1
6
lim
1 5
3
n n
n n
 

 
=-2 
Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: 
a. 
3 2
2 3
5 3 6
lim
4 3 7
n n
n n n
 
  
c. 
2
2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
b. 
4 2
2 4
6 2 1
lim
1 5 3
n n
n n
 
 
d. 
2
2
2 3 1
lim
1
n n
n
  

e. 
2
4 2017
lim
4 1
n
n n

 
f. 
 

n n
n
2 1 4
lim
3 2
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 4 
Vi ̀ khi n thi ̀ 
2
4
2
2
lim 0
1
lim 0
5
lim 0
n
n
n









c. Ta có biến đổi: 
2
2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
 
  
   
     
 
2
2 2
2
2
2
1 3
2
2 3
lim lim
2 13 2 1 3
n
nn n n
n n n
n n
 
  
  
 
  
 
2
2
1 3
2
2
lim
32 1
3
n n
n n 
Vi ̀ khi n thi ̀ 
2
2
1
lim 0
3
lim 0
2
lim 0
1
lim 0
n
n
n
n



 


 


 

d. Ta có biến đổi: 
2
2
2 3 1
lim
1
n n
n
  

2
2
2
2
3 1
2
lim
1
1
n
n n
n
n
 
   
 
 
 
 
2
2
3 1
2
lim
1
1
n n
n
  


2  
Vi ̀ khi n thi ̀ 
2
3
lim 0
1
lim 0
n
n



 

e. Ta có biến đổi: 
2
2
2 22
2017
4
4 2017 4 2017 4 2017 4
lim lim lim lim
31 114 1 4 4 14
n n n n
n n n nn n
n nn

  
   
         
 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 5 
Vi ̀ khi n thi ̀ 
2
2017
lim 0
1
lim 0
n
n



 

f. Ta có biến đổi: 
2
2 2
11 4
1 4
1 4 1 4 5
lim lim lim
3 2 23 2 3 33
n n
n n nn
nn
n n
 
 
  
   
 
Vi ̀ khi n thi ̀ 
2
1
lim 0
2
lim 0
n
n



 
 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
a. Ta có biến đổi: 
4 2
3
3 2
lim
2
n n
n
 

4
2 4
3
2
3 2
1
lim
2
1
n
n n
n
n
 
  
 
 
 
 
=
2 4
2
3 2
1
lim
2
1
n
n n
n
 
  
   

Vì lim .n   và 
2 4
2
3 2
1
lim 1
2
1
n n
n
 
  
  

b) Ta có biến đổi: 
Bài tập mẫu 2: Ti ́nh ca ́c giới ha ̣n sau: 
a. 
4 2
3
3 2
lim
2
n n
n
 

 c. 
 
 
4 2
3 2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n 
b) 
4 2
2
8 3 2 1
lim
3 4 2
n n n
n n
  
 
 d. 
4
3
3n 2n 5
lim
2n 4
  

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 6 
4 2
2
8 3 2 1
lim
3 4 2
n n n
n n
  
 
4 2
4
4 4 4 4
2
2
2 2 2
8 3 2 1
lim
3 4 2
n n n
n
n n n n
n n
n
n n n
 
   
 
 
  
 
2 3 4
2
2
3 2 1
8
lim 
3 4
2
n n nn
n n
 
   
  
  
 
   
Do 2lim n   và 
2 3 4
2
3 2 1
8
8 0 0 0n n nlim 4 0
3 4 0 0 22
n n
 
      
    
   
 
c. Ta có biến đổi: 
 
 
4 2
3 2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
 
      
     
 
4
4 2 2 4
3 2
3
3
1 3
2
2 3
lim lim
2 13 2 1 3
n
n n n n
n n n
n n
 
  
 
 
  
 
2 4
3
1 3
2
lim
2 1
3
n
n n
n n
Vì 
2 4
3
lim
1 3
2
2
lim 0
2 1 3
3
n
n n
n n
 

    
      
   
 
 . Nên 
 
  
   
 
  
 
2 4
3
1 3
2
lim
2 1
3
n
n n
n n
d. Ta có biến đổi: 
4
3
3n 2n 5
lim
2n 4
  

4
3 4 3 4
3
33
2 5 2 5n 3 3
n n n nlim lim n.
44
2n 2
nn
                
       
Do lim n   và 
3 4
3
2 5
3
3 0 0 3n nlim 0
4 2 0 22
n
 
      
    
 
 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 7 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
a. Ta có biến đổi: 
2 2 2
22
22 2 2
2 1 2 1
2 1 0
lim lim lim 0
2 42 42 4 11
n
n n n n n
n nn n
n nn n n
 

   
    
Vi ̀ khi n thi ̀ 
2
2
2
lim 0
1
lim 0
4
lim 0
n
n
n









b. Ta có biến đổi: 
3 3 2 3
33
33 3
5 1 5
5 0
lim lim lim 0
13 13 1 33
n
n n n n n
nn
nn n
 

   
 
Do : Vi ̀ khi n thi ̀ 
2
3
3
1
lim 0
5
lim 0
1
lim 0
n
n
n









Tri ́ch dâ ̃n: Qua 3 ba ̀i toa ́n ở trên dạng da ̃y sô ́ da ̣ng hữu ti ̉ ta rút ra nhâ ̣n 
xe ́t như sau. 
+ Nê ́u bâ ̣c của tử lớn hơn bâ ̣c cu ̉a mẫu thi ̀ giới ha ̣n đo ́ bă ̀ng  
+ Nê ́u bâ ̣c cu ̉a tử bă ̀ng bâ ̣c cu ̉a mẫu thi ̀ giới ha ̣n đo ́ bă ̀ng hê ̣ số bâ ̣c cao 
nhâ ́t cu ̉a tử trên hê ̣ sô ́ bậc cao nhâ ́t của mâ ̃u 
Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau: 
a. 
2
2 1
lim
2 4
n
n n

 
 b. 
3
5
lim
3 1
n
n


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 8 
+ Nê ́u bâ ̣c của tử bé hơn bâ ̣c của mâ ̃u thì giới ha ̣n đó bă ̀ng 0. 
Điê ̀u na ̀y râ ́t câ ̀n thiê ́t cho tất cả chúng ta gia ̉i ba ̀i toán giới ha ̣n da ̣ng hữu 
tỉ khi gia ̉i tră ́c nghiệm. Bởi vì một giới ha ̣n hữu tỉ khi nhìn va ̀o ta hoàn 
toa ̀n có thê ̉ biê ́t được kê ́t quả ngay lâ ̣p tức. Thật vâ ̣y những ba ̀i toán sau 
ca ́c em hoa ̀n toàn biê ́t được kê ́t quả một ca ́ch nhanh chóng va ̀ chính xa ́c. 
Thâ ̣t vâ ̣y, sử du ̣ng nhâ ̣n xe ́t đo ́ ta thực hiê ̣n nhanh ca ́c ba ̀i tâ ̣p trắc 
nghiê ̣m sau: 
Bài tập tră ́c nghiê ̣m tự luyện 
Bài tập 1: Giới ha ̣n 
3 22 3 1
lim
3 2
n n n
n
  

bă ̀ng: 
a. 
2
3
b. 0 c.  d. 3 
Đáp a ́n: C 
 Vì bâ ̣c cao nhâ ́t cu ̉a tử là bâ ̣c 3 co ́ hệ sô ́ dương va ̀ bậc cao nhâ ́t cu ̉a mẫu 
là bâ ̣c 1 nên giới ha ̣n na ̀y bă ̀ng  
Bài tập 2: Giới ha ̣n 
3 2 3 1
lim
4 2
n n n
n
   

bă ̀ng: 
a.  
b. 
1
4
 
c.  d. 0 
Đáp a ́n: A 
 Vì bâ ̣c cao nhâ ́t cu ̉a tử là bâ ̣c 3 co ́ hệ sô ́ âm và bâ ̣c cao nhâ ́t của mâ ̃u là 
bâ ̣c 1 nên giới ha ̣n na ̀y bă ̀ng  
Bài tập 3: Giới ha ̣n 
2
3
3 1
lim
2 1
n n
n
 

bă ̀ng: 
a. 
3
2
 b. 
1
4
 
c.  d. 0 
Đáp a ́n: D 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 9 
 Vì bâ ̣c cao nhâ ́t cu ̉a tử là bâ ̣c hai va ̀ bâ ̣c cao nhâ ́t cu ̉a mâ ̃u là bâ ̣c ba. 
Nên giới ha ̣n na ̀y co ́ giới ha ̣n bă ̀ng 0. 
Bài tập 4: Giới ha ̣n 
2
2
3 5 1
lim
2 3
n n
n n
  
 
bă ̀ng: 
a. 
3
2
 b. 
3
2
 
c. 0 d.  
Đáp a ́n: B 
Bậc cao nhất của tử la ̀ bậc hai có hê ̣ sô ́ bằng -3 và bậc cao nhất của mâ ̃u cũng la ̀ bậc 
hai có hê ̣ số bă ̀ng 2 . Nên giới hạn này bằng 
3
2
 
Bài tập 5: Giới ha ̣n 
4 2
3
5
lim
2 7
n n
n n
 

bă ̀ng: 
a. 4 
b. 
1
2
c.  d.  
Đáp a ́n: C 
 Ta co ́: 
4 2
3
5
lim
2 7
n n
n n
 

4
2 4
3
1 5
1
lim
7
2
n
n n
n
n
 
  
 
 
 
 
=
2 4
1 5
1
lim
7
2
n
n n
n
 
  
   

Vì lim .n   và 
2 4
1 5
1
1
lim
7 22
n n
n
 
  
  

Bài tập 6: Giới hạn 
2
2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
 bằng: 
a. 
2
3
b. 3 
c. 
1
2
 
d. 0 
Đáp a ́n: A 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 10 
 Bậc cao nhất của tử la ̀ bâ ̣c hai có hê ̣ số bằng 2 và bậc cao nhất của mâ ̃u cũng la ̀ bậc 
hai có hê ̣ số bă ̀ng 3 . Nên giới hạn này bằng 
2
3
Bài tập 7: Giới hạn 
3 2
2 1
lim
4 3
n
n n

 
 bằng: 
a.  b. 0 c. 2 
d. 
1
3
Đáp a ́n: B 
 Bậc cao nhất của tử la ̀ bâ ̣c 1 và bậc cao nhất của mâ ̃u la ̀ bậc ba có hê ̣ số bằng 3 . 
Nên giới hạn này bằng 0. 
Bài tập 8: Giới hạn 
3 2
3
3 2
lim
4
n n n
n
 

 bằng: 
a. 
3
4
 b. 
1
3
c.  d. 3 
Đáp án: D 
 Bậc cao nhất của tử là bậc ba co ́ hê ̣ sô ́ bằng 3 và bậc cao nhất cu ̉a mẫu cũng là bậc 
ba có hê ̣ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 3. 
Bài tập 9: Giới hạn 
4
2
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n  
bằng: 
a. 4 
b. 
1
2
c. 1 d.  
Đáp a ́n: C 
 Bậc cao nhất của tử là bậc bô ́n co ́ hê ̣ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu cu ̃ng là bậc 
bốn có hê ̣ số bằng 1 . Nên giới hạn này bằng 1. 
Bài tập 10: Giới hạn 
2
4
1
lim
2 1
n
n n

 
 bằng: 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 11 
a.
1
2
b. 0 c.  d. 1 
Đáp a ́n: B 
 Bậc cao nhất của tử la ̀ bâ ̣c hai và bậc cao nhất của mâ ̃u là bậc 4 nên giới hạn này 
bằng 0 
Bài tập 11: Giới hạn 
4 2
3 2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
 bằng: 
a.-3 
b. 
4
3
 c. 
1
2
 
d.  
Vì bâ ̣c cao nhâ ́t của tử la ̀ bâ ̣c 4 va ̀ bậc cao nhâ ́t cu ̉a mâ ̃u là bậc 3 nên giới hạn 
này bă ̀ng  
Bài tập 12: Giới hạn 
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
  
  
bằng: 
a. 2 b. 4 c.  d. 0 
Đáp a ́n: A 
 Sau khi biến đô ̉i ta có bậc cao nhất của tử là bậc nhất có tổng các hê ̣ sô ́ bằng 
4 và bâ ̣c cao nhất của mẫu là bậc nhất có tổng các hệ sô ́ bằng 2. Nên giới hạn 
này bă ̀ng 2. 
Thâ ̣t vậy ta cần chứng minh : 
     
  
   
       
2
2 2 2 2
2 2
22 2 2
4 1 2 1 1 1
4 2
4 1 2 1 4
lim lim lim 2
24 14 1 4 1 1 1
n n
n n n n nn n n
n n n n n n
n nnn n n
Bài tập 13: Giới hạn 
  
 
2
2
3 4
lim
2
n n
n n
 bằng: 
a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 
Đáp a ́n: B 
 Thực hiê ̣n tương tự câu trên 
Bài tập 14: Giới hạn 
 
 
32 6
4 2
1
lim
1
n n
n n
 bằng: 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 12 
a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 
Đáp a ́n: B 
 Thực hiê ̣n tương tự câu trên 
Bài tập 15: Giới hạn 
(2 1)( 3)
lim
( 1)( 2)
n n n
n n
 
 
 bằng: 
a.  
b. 
3
2
 c. 
2
3
d. 2 
Đáp a ́n: D 
Ta có biến đổi: 
   

   
2
2
(2 1)( 3) 2 7 3
lim lim
( 1)( 2) 3 2
n n n n n n
n n n n
Do đó: Bâ ̣c cao nhất của tử là bậc hai hệ sô ́ bă ̀ng 2. Bậc cao nhâ ́t cu ̉a mẫu là 
bậc hai hệ số bằng 1. Nên giới hạn này bă ̀ng 2. 
Bài tập 16: Giới hạn 
  
 
2 2
2
4 4 1
lim
3 1
n n n
n n
 bằng: 
a. 
3
3 1
 b. 
1
3 1
 c. 
1
3
 d. 
4
3
Đáp a ́n: A 
 Thực hiê ̣n tương tự như những ba ̀i trên. 
Bài tập 17: Giới hạn 
2
2
2
lim
4 2
n
n


 bằng: 
a. 1 
b. 
1
4
 c. 
1
2
d. -1 
Đáp a ́n: C 
 Thực hiê ̣n tương tự như những ba ̀i trên. 
Bài tập 18: Giới hạn 
33 8 1
lim
2 5
n
n


 bằng: 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 13 
a. 4 b.  
c. 
1
5
 
d. 1 
Đáp a ́n: D 
 Thật vâ ̣y, bâ ̣c cao nhâ ́t cu ̉a tử là bâ ̣c nhâ ́t hê ̣ số bă ̀ng 3 8 2 va ̀ bâ ̣c cao 
nhâ ́t cu ̉a mẫu la ̀ bâ ̣c nhâ ́t hê ̣ sô ́ bă ̀ng 2. Do đo ́, giới ha ̣n na ̀y co ́ giới ha ̣n 
bă ̀ng 1. 
Bài tập 19: Giới ha ̣n
4 24 3
lim
3 2
n n
n
 

 bằng: 
a. 
4
3
 b. 
1
3
c.  d. 4 
Đáp a ́n: C 
Bâ ̣c lớn nhâ ́t cu ̉a tử là 2 hê ̣ sô ́ bằng 4 2 , bâ ̣c lớn nhâ ́t cu ̉a mâ ̃u la ̀ bâ ̣c 
nhâ ́t nên giới ha ̣n na ̀y co ́ giới ha ̣n bă ̀ng  
Bài tập 20: Giới ha ̣n 
4 2
4 2
3 2 3 1
lim
1
n n n
n n
   
  
bă ̀ng: 
a. -3 b.  c. 2 d. 1 
Đáp a ́n: B 
 Bâ ̣c lớn nhâ ́t cu ̉a tử là bậc 4 hê ̣ sô ́ bằng -3, bâ ̣c cu ̉a mẫu la ̀ bậc 2 nên 
giới ha ̣n na ̀y bă ̀ng  
Bài tập 21: Giới ha ̣n 
2
3 1
lim
3 2 2
n
n n

 
 bă ̀ng: 
a. 3 b. 1 c. 3 d.0 
Đáp a ́n: A 
 Thực hiê ̣n tương tự như những ba ̀i trên 
Bài tập 22: Giới ha ̣n 
2
2
3 2 1
lim
4 2
n n
n n
 
 
 bă ̀ng: 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 14 
a. 
3
2
 b. 
3
4
 c. 
1
2
d.  
Đáp a ́n: D 
 Thực hiê ̣n tương tự như những ba ̀i trên 
Bài tập 23: Giới ha ̣n 
2
4 1
lim
3 2 1 2
n
n n n

  
 bă ̀ng: 
a. 
4
3
 b. 
4
3 2
c. 0 d. 2 
Đáp a ́n: B 
 Thực hiê ̣n tương tự như những ba ̀i trên 
Bài tập 24: Giới ha ̣n 
4 3 2
2
3 4
lim
3 2
n n n n
n
  

 bă ̀ng: 
a.  
b. 
3
3
c.  
d. 
1
3
 
Đáp a ́n: B 
 Thực hiê ̣n tương tự như những ba ̀i trên 
Bài tập 25: Giới ha ̣n 
1
lim
n n
n n
 

 bă ̀ng: 
a. 1 b.  c. -1 
d. 
1
2
Đáp a ́n: A 
 Thực hiê ̣n tương tự như những ba ̀i trên 
Bài tập 26: Giới ha ̣n 
3 38 4 2
lim
5 1
n n
n
 

bă ̀ng: 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 15 
a. 
8
5
b.  
c. 
2
5
 d. 
4
5
Đáp a ́n: C 
Thực hiê ̣n tương tự như những ba ̀i trên 
 Bài tập 27: Giới ha ̣n 
2 4
lim
1
n n n
n 
bă ̀ng: 
a.2 b. 4 c.  d. 0 
Đáp a ́n: D 
 Thực hiê ̣n tương tự như những ba ̀i trên 
Bài tập 28: Giới ha ̣n 
2
1 2 3 ...
lim
2 1
n
n n
   
 
bă ̀ng: 
a. 0 
b. 
1
4
 c. 
1
2
d.  
Đáp a ́n: B 
 Sử dụng phương pháp quy na ̣p toa ́n học ta có: 
 
 
 
2
2 2 22
1
11 2 3 ... 2lim lim lim lim
2 1 2 1 4 2 22 2 1
n n
n nn n n
n n n n n nn n

    
  
       
Áp dụng ca ́c nhâ ̣n xe ́t ở giới ha ̣n da ̃y hữu ti ̉ ta co ́ giới ha ̣n na ̀y bă ̀ng 
1
4
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 16 
Loại 2: Giới hạn cu ̉a dãy có căn thức. 
Phương pháp : Nê ́u da ̃y sô ́ có chứa căn thức mà không co ́ da ̣ng hữu tỉ đê ̉ 
xe ́t bâ ̣c, thi ̀ ta tiê ́n ha ̀nh nhân thêm lượng liên hiê ̣p đê ̉ tính giới ha ̣n. 
Nhưng đô ̀ng thời ca ́c em cũng sử dụng nhâ ̣n xe ́t ở tính giới ha ̣n hữu tỉ. 
 Lưu ý : 
+ Biểu thức nhân lượng liên hiê ̣p bậc hai :     2 2A B A B A B    
+ Biểu thức nhân lượng liên hiê ̣p bậc ba : 
   
  
2 2 3 3
2 2 3 3
A B A AB B A B
A B A AB B A B
    
    
Sau khi nhân thêm lượng liên hiê ̣p ta cu ̃ng co ́ thê ̉ sử du ̣ng nhâ ̣n xe ́t vê ̀ 
giới ha ̣n của da ̃y sô ́ hữu ti ̉ đê ̉ có thê ̉ tinh giới ha ̣n nhanh hơn. 
Hướng dẫn gia ̉i 
a. Ta có biến đổi: 
 
     
  
 
 
   
     
n n n n n n
n n n
n n n
n n n n
n n n n n n
n
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
lim 2 lim
2
2 2 2
lim lim lim 1
22 2 1 1 
b. Ta có biến đổi: 
Bài tập mẫu 1: Tính ca ́c giới ha ̣n sau: 
a.   n n n2lim 2 b.    2lim 2 3n n n 
c.   3 3lim 2n n d. 1lim
3 2 2 1n n  
e.  2lim 1 2 5n n n    f.  3 3 2 2lim 3 1 4n n n n    
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 17 
 
       
   
  
2 2
2
2
2 3 2 3
lim 2 3 lim
2 3
n n n n n n
n n n
n n n
   
 
     


   
 
     
 
2 2
2 2
22
2 3 2 3
lim lim
2 3 2 3
3
2
2 3 2
lim lim 1
1 12 32 3
1 11 1
n n n n
n n n n n n
n n
n
n nn n
2 2 3n n n   là biểu thức liên hợp của 2 2 3n n n   
c. Ta có biến đổi: 
 
   
 
2 233 3 3 33
3 3
2 233 33
2 2 2.
lim 2 lim
2 2.
n n n n n n
n n
n n n n
       
   
   
   
   
3 3
3 3
2 22 23 33 3 3 33 3
2 2
lim lim
2 2. 2 2.
n n n n
n n n n n n n n
   
 
       
 
2 233 33
2
lim 0
2 2.n n n n
 
   
d. Ta có biến đổi: 
  
 
1 3 2 2 1
lim lim
3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1
3 2 2 1
lim lim 3 2 2 1
3 2 2 1
n n
n n n n n n
n n
n n
n n
  

        
  
      
  
e. Ta có biến đổi: 
Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 18 
 
  
   
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
2
1 2 5 1 2 5
lim 1 2 5 lim
1 2 5
1 2 5 2 5
lim lim
1 2 5 1 2 5
2 5
lim 1
1 2 5
n n n n n n
n n n
n n n
n n n n n n
n n n n n n
n
n n n
       
    
   
      
 
       
 
  
   
 f. Ta có biến đổi: 
   
    
   
3 33 2 2 3 2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
lim 3 1 4 lim 3 1 4
lim 3 1 4
lim 3 1 lim 4
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
          
      
      
Đặt: 
 
 
3 3 2
1
2
2
lim 3 1
lim 4
L n n n
L n n n
    


   

Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiê ̣p bậc ba. 
 
   
 
 
 
3 3 2
1
2
3 3 33 2 3 2 3 2 2
2
3 33 2 3 2 2
3 2 3
2
3 33 2 3 2 2
2
2
3 33 2 3 2 2
lim 3 1
3 1 3 1 3 1
lim
3 1 3 1
3 1
lim
3 1 3 1
3 1
lim
3 1 3 1
L n n n
n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n
n n n n n n
n
n n n