Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Vũ Quang Hưng

Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 
PHẦN ĐẠI SỐ 
 Chuyền đề 1: Cỏc bài toỏn thực hiện phộp tớnh: 
1. Cỏc kiến thức vận dụng: 
- Tớnh chất của phộp cộng, phộp nhõn 
- Cỏc phộp toỏn về lũy thừa: 
an = . ....
n
a a a ; am.an = am+n; am : an = am –n (a  0, mn) 
(am)n = am.n; (a.b)n = an.bn ; ( ) ( 0)
n
n
n
a a
b
b b
  
 2. Một số bài toỏn : 
Bài 1: a) Tớnh tổng : 1+ 2 + 3 +. + n, 1+ 3 + 5 +. + (2n -1) 
 b) Tớnh tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..+ n.(n+1) 
 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2) 
 Với n là số tự nhiờn khỏc khụng. 
HD: a) 1+2 + 3 + ....+ n = n(n+1) 
 1+ 3+ 5+ + (2n-1) = n2 
 b) 1.2+2.3+3.4+ + n(n+1) 
 = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + ..+ n(n + 1)((n+2) – (n – 1))] : 3 
 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 ++ n(n+1)(n+2)] : 3 
 = n(n+ 1)(n+2) :3 
 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2) 
 = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4(5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + + n(n+1)(n+2)((n+3) – (n-1))]: 4 
 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4 
Tổng quỏt: 
Bài 2: a) Tớnh tổng : S = 1+ a + a2 +..+ an 
 b) Tớnh tổng : A = 
1 2 2 3 1
......
. . .n n
c c c
a a a a a a
   
với a2 – a1 = a3 – a2 =  = an – an-1 = k 
HD: a) S = 1+ a + a2 +..+ an aS = a + a2 +..+ an + an+1 
 Ta cú : aS – S = an+1 – 1  (a – 1) S = an+1 – 1 
 Nếu a = 1  S = n 
 Nếu a khỏc 1, suy ra S = 
1 1
1
na
a
 

b) Áp dụng 
1 1
( )
.
c c
a b k a b
  với b – a = k 
Ta cú : A = 
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ..... ( )
n n
c c c
k a a k a a k a a
      
 = 
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( ...... )
n n
c
k a a a a a a
      
 = 
1
1 1
( )
n
c
k a a
 
Bài 3: a) Tớnh tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2 
 b) Tớnh tổng : 13 + 23 + 33 + ..+ n3 
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
HD: a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6 
 b) 13 + 23 + 33 + ..+ n3 = (n(n+1):2)2 
Bài 3: Thực hiện phép tính: 
 a) A = 
1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
    
    
 b) 
   
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 9 32 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .142 .3 8 .3
B
 
 

HD: A = 
9
28

; B =
7
2
Bài 4: 
1, Tớnh: P = 
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
   

   
2, Biết: 13 + 23 +.......+ 103 = 3025. 
Tớnh: S = 23 + 43 + 63 +....+ 203 
Bài 5: 
a) Tính 115
2005
1890
:
12
5
11
5
5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1


















A 
b) Cho 
20052004432 3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
3
1
B 
Chứng minh rằng 
2
1
B . 
Bài 6: 
a) Tớnh : 




















7
2
14
3
1
12:
3
10
10
3
1
4
3
46
25
1
230.
6
5
10
27
5
2
4
1
13
 b) Tính 
1 1 1 1
...
2 3 4 2012
2011 2010 2009 1
...
1 2 3 2011
P
   

   
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = . 
2012 2010 1
1 1 .... 1 2011
1 2 2011
MS         
2012 2012
2012 .... 2011
2 2011
     = 
1 1 1 1
2012( ...... )
2 3 4 2012
    
c) 
10099...4321
)6,3.212,1.63(
9
1
7
1
3
1
2
1
)10099...321(








A 
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức: 
50
31
.
93
14
1.
3
1
512
6
1
6
5
4
19
2
.
3
1
615
7
3
4.
31
11
1

































A 
 b) Chứng tỏ rằng:
2004
1
2004
1
...
3
1
3
1
2
1
1
2222
B 
Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức: 
25
13
:)75,2(53,388,0:
25
11
4
3
125505,4
3
4
4:624,81
2
2
2
2






























A 
b) Chứng minh rằng tổng: 
2,0
2
1
2
1
....
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
20042002424642

 nn
S 
 Chuyờn đề 2: Bài toỏn về tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau: 
1. Kiến thức vận dụng : 
 - . .
a c
a d b c
b d
   
 -Nếu 
a c e
b d f
  thỡ 
a c e a b e
b d f b d f
 
  
 
 với gt cỏc tỉ số dều cú nghĩa 
- Cú 
a c e
b d f
  = k Thỡ a = bk, c = d k, e = fk 
2. Bài tập vận dụng 
Dạng 1. Vận dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức 
Bài 1: Cho 
a c
c b
 . Chứng minh rằng: 
2 2
2 2
a c a
b c b



HD: Từ 
a c
c b
 suy ra 2 .c a b 
 khi đú 
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
 

 
 = 
( )
( )
a a b a
b a b b



Bài 2: Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả món b2 = ac. Chứng minh rằng: 
c
a
 = 
2
2
( 2012 )
( 2012 )
a b
b c


HD: Ta cú (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac 
 = a(a + 2.2012.b + 20122.c) 
 (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 
 = c(a + 2.2012.b + 20122.c) 
Suy ra : 
c
a
 = 
2
2
( 2012 )
( 2012 )
a b
b c


Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
Bài 3: Chứng minh rằng nếu 
d
c
b
a
 thì 
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35





HD: Đặt 
a c
k
b d
  a = kb, c = kd. 
Suy ra : 
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
a b b k k
a b b k k
  
 
  
 và 
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
c d d k k
c d d k k
  
 
  
 Vậy 
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35





Bài 4: Biết 
2 2
2 2
a b ab
c d cd



 với a,b,c, d  0 Chứng minh rằng : 
a c
b d
 hoặc 
a d
b c
 
HD: Ta cú 
2 2
2 2
a b ab
c d cd



= 
2 2
2 2
2 2
2 2
ab a ab b
cd c cd d
 
 
 
2
2
2
( )
( )
( )
a b a b
c d c d
 

 
(1) 
2 2
2 2
a b ab
c d cd



= 
2 2
2 2
2 2
2 2
ab a ab b
cd c cd d
 
 
 
2
2
2
( )
( )
( )
a b a b
c d c d
 

 
(2) 
Từ (1) và (2) suy ra : 2 2( ) ( )
a b a b
a b a b c d c d
a b b ac d c d
c d d c
 
   
  
    
  
Xột 2 TH đi đến đpcm 
Bài 5: Cho tỉ lệ thức 
d
c
b
a
 . Chứng minh rằng: 
22
22
dc
ba
cd
ab


 và 
22
222
dc
ba
dc
ba










HD: Xuất phỏt từ 
d
c
b
a
 biến đổi theo cỏc 
hướng làm xuất hiện 
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
( )
ab a b a c a b a b
cd c d b d c d c d
  
    
  
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222 






Tính 
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M











 
HD: Từ 
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222 






 Suy ra : 
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
           
       
 
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
           
   
Nếu a + b + c + d = 0  a + b = -(c+d); (b + c) = -(a + d) 
  
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M











 = -4 
Nếu a + b + c + d  0  a = b = c = d 
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M











 = 4 
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
Bài 7: a) Chứng minh rằng: 
Nếu 
cba
z
cba
y
cba
x




 4422
 Thì 
zyx
c
zyx
b
zyx
a




 4422
b) Cho: 
d
c
c
b
b
a
 . Chứng minh: 
d
a
dcb
cba








3
HD: a) Từ 
cba
z
cba
y
cba
x




 4422
 
2 2 4 4a b c a b c a b c
x y z
     
  
 
2 2(2 ) 4 4
2 2
a b c a b c a b c a
x y z x y z
     
  
 
 (1) 
2( 2 ) (2 ) 4 4
2 2
a b c a b c a b c b
x y z x y z
     
  
 
 (2) 
4( 2 ) 4(2 ) 4 4
4 4 4 4
a b c a b c a b c c
x y z x y z
     
  
 
 (3) 
Từ (1);(2) và (3) suy ra : 
zyx
c
zyx
b
zyx
a




 4422
Bài 8: Cho 
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x







chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên. 
zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yx
P











 
HD: Từ 
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x








y z t z t x t x y x y z
x y z t
       
   
  1 1 1 1
y z t z t x t x y x y z
x y z t
       
       
 
x y z t z t x y t x y z x y z t
x y z t
           
   
 Nếu x + y + z + t = 0 thỡ P = - 4 
 Nếu x + y + z + t  0 thỡ x = y = z = t  P = 4 
Bài 9: Cho 3 số x, y, z khỏc 0 thỏa món điều kiện : 
y z x z x y x y z
x y z
     
  
 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức : B = 1 1 1
x y z
y z x
   
     
   
Bài 10: a) Cho cỏc số a,b,c,d khỏc 0. Tớnh 
 T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 
 Biết x,y,z,t thỏa món: 
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
2 2 2 2 2 2 2 2
x y z t x y z t
a b c d a b c d
  
   
  
 b) Tỡm số tự nhiờn M nhỏ nhất cú 4 chữ số thỏa món điều kiện: 
 M = a + b = c +d = e + f 
 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và 
14
22
a
b
 ;
11
13
c
d
 ;
13
17
e
f
 
c) Cho 3 số a, b, c thỏa món : 
2009 2010 2011
a b c
  . 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: M = 4(a - b)(b – c) – (c – a)2 
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
 Một số bài tương tự 
Bài 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 
2012 2012 2012 2012a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
           
   
Tính 
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M











 
Bài 12: Cho 3 số x, y, z, t khỏc 0 thỏa món điều kiện : 
y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt
x y z t
           
   (n là số tự nhiờn) 
 và x + y + z + t = 2012. Tớnh giỏ trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t 
 Dạng 2: Vận dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để tỡm x,y,z, 
Bài 1: Tỡm cặp số (x;y) biết :  
1+3y 1+5y 1+7y
12 5x 4x
HD: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
     
     
   
1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=> 
2 2
5 12
y y
x x

 
 với y = 0 thay vào khụng thỏa món 
 Nếu y khỏc 0 
=> -x = 5x -12 
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đ-ợc: 
1 3 2
12 2
y y
y

  

 =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 
1
15

Vậy x = 2, y = 
1
15

 thoả mãn đề bài 
Bài 3: Cho 
a b c
b c a
  và a + b + c ≠ 0; a = 2012. 
Tớnh b, c. 
HD: từ 1
a b c a b c
b c a a b c
 
   
 
  a = b = c = 2012 
Bài 4: Tỡm cỏc số x,y,z biết : 
1 2 3 1y x x z x y
x y z x y z
     
  
 
HD: Áp dụng t/c dóy tỉ số bằng nhau: 
1 2 3 2( ) 1
2
( )
y x x z x y x y z
x y z x y z x y z
       
    
   
 (vỡ x+y+z  0) 
Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đú tỡm được x, y, z 
Bài 5: Tỡm x, biết rằng: 
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
  
  
HD: Từ 
1 2 1 4 1 6 2(1 2 ) (1 4 ) 1 2 1 4 (1 6 )
18 24 6 2.18 24 18 24 6
y y y y y y y y
x x
          
   
  
 Suy ra : 
1 1
1
6 6
x
x
   
Bài 6: Tìm x, y, z biết: zyx
yx
z
zx
y
yz
x





 211
 (x, y, z 0 ) 
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
HD: Từ 
1
1 1 2 2( ) 2
x y z x y z
x y z
z y x z x y x y z
 
      
       
 Từ x + y + z = 
1
2
 x + y = 
1
2
- z, y +z = 
1
2
- x, z + x = 
1
2
 - y thay vào đẳng thức 
ban đầu để tỡm x. 
Bài 7: Tìm x, y, z biết 
216
3
64
3
8
3 zyx
 và 122 222  zyx 
Bài 8: Tỡm x, y biết : 
2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
   
  
 Chuyờn đề 3: Vận dụng tớnh chất phộp toỏn để tỡm x, y 
1. Kiến thức vận dụng: 
- Tớnh chất phộp toỏn cộng, nhõn số thực 
- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế 
- Tớnh chất về giỏ trị tuyệt đối : 0A  với mọi A; 
, 0
, 0
A A
A
A A

  
- Bất đẳng thức về giỏ trị tuyệt đối : 
 A B A B   dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B   dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 
 ( 0)
A m
A m m
A m

    
; ( )
A m
A m hay m A m
A m

    
 
 với m > 0 
- Tớnh chất lũy thừa của 1 số thực: A2n  0 với mọi A; - A2n 0 với mọi A 
Am = An m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ) hoặc A =  B (nếu n chẵn) 
 0< A < B  An < Bn; 
2. Bài tập vận dụng 
Dạng 1: Cỏc bài toỏn cơ bản 
Bài 1: Tỡm x biết 
 a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013 
 b) 
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x   
   
HD: a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013 
 x(1 + 2 + 3 + .+ 2011) = 2012.2013 
2011.2012
. 2012.2013
2
x  
2.2013
2011
x  
 b) Nhận xột : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 
 Từ 
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x   
   
( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008
2011 2010 2009 2008
x x x x       
    
2012 2012 2012 2012
2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
( 2012)( ) 2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
2 : ( ) 2012
2011 2010 2009 2008
x x x x
x
x
   
     
      
      
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
Bài 2: Tỡm x nguyờn biết 
 a) 
1 1 1 1 49
....
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99x x
    
 
 b) 1- 3 + 32 – 33 + .+ (-3)x = 
10069 1
4

Dạng 2: Tỡm x cú chứa giỏ trị tuyệt đối 
 Dạng : x a x b   và x a x b x c     
 Khi giải cần tỡm giỏ trị của x để cỏc GTTĐ bằng khụng, rồi so sỏnh cỏc giỏ trị 
đú để chia ra cỏc khoảng giỏ trị của x (so sỏnh –a và –b) 
Bài 1: Tỡm x biết : 
 a) 2011 2012x x   b) 2010 2011 2012x x    
HD: a) 2011 2012x x   (1) do VT = 2011 0,x x   
 nờn VP = x – 2012 0 2012x   (*) 
Từ (1) 
2011 2012 2011 2012( ụ )
2011 2012 (2011 2012) : 2
x x v ly
x x x
    
       
 Kết hợp (*)  x = 4023:2 
 b) 2010 2011 2012x x    (1) 
 Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy) 
 Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) 
 Nếu x 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy) 
 Vậy giỏ trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2 
 Một số bài tương tự: 
Bài 2: a) Tìm x biết 431  xx 
b) Tìm x biết: 426 22  xxx 
c) Tìm x biết: 54232  xx 
Bài 3: a) Tìm các giá trị của x để: xxx 313  
b) Tỡm x biết: 2 3 2x x x    
Bài 4: Tỡm x biết: 
 a) 1 4x   b) 2011 2012x   
Dạng: Sử dụng BĐT giỏ trị tuyệt đối 
Bài 1: a) Tỡm x ngyờn biết : 1 3 5 7 8x x x x        
 b) Tỡm x biết : 2010 2012 2014 2x x x      
HD: a) ta cú 1 3 5 7 1 7 3 5 8x x x x x x x x                (1) 
 Mà 1 3 5 7 8x x x x        suy ra (1) xẩy ra dấu “=” 
Hay 
1 7
3 5
3 5
x
x
x
 
  
 
 do x nguyờn nờn x {3;4;5} 
 b) ta cú 2010 2012 2014 2010 2014 2012 2x x x x x x            (*) 
 Mà 2010 2012 2014 2x x x      nờn (*) xẩy ra dấu “=” 
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
Suy ra: 
2012 0
2012
2010 2014
x
x
x
 
 
 
 Cỏc bài tương tự 
Bài 2: Tỡm x nguyờn biết: 1 2 ..... 100 2500x x x       
Bài 3: Tỡm x biết 1 2 ..... 100 605x x x x       
Bài 4: Tìm x, y thoả mãn: x 1 x 2 y 3 x 4       = 3 
Bài 5: Tỡm x, y biết: 2006 2012 0x y x    
HD: ta cú 2006 0x y  với mọi x,y và 2012 0x   với mọi x 
 Suy ra : 2006 2012 0x y x    với mọi x,y mà 2006 2012 0x y x    
 
0
2006 2012 0 2012, 2
2012 0
x y
x y x x y
x
 
       
 
Bài 6: Tìm các số nguyên x thoả mãn. 
2004 4 10 101 990 1000x x x x x          
 Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ 
Bài 1: Tỡm số tự nhiờn x, biết : 
 a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 
HD: a) 5x + 5x+2 = 650 5x (1+ 52) = 650  5x = 25 x = 2 
b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162  3x – 1 = 27  x = 4 
Bài 2: Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y biết: 
 a) 2x + 1. 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 
HD: a) 2x + 1. 3y = 12x  
2
1
1
2 3
2 3
2 3
x y
x y x
x x
 

   
 Nhận thấy : (2, 3) = 1  x – 1 = y-x = 0  x = y = 1 
 b) 10x : 5y = 20y  10x = 102y  x = 2y 
Bài 3: Tỡm m, n nguyờn dương thỏa món: 
 a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 
HD: a) 2m + 2n = 2m +n  2m + n – 2m – 2n = 0  2m (2n – 1) –(2n – 1) = 1 
  (2m -1)(2n – 1) = 1 
2 1 1
1
2 1 1
n
m
m n
  
  
 
 b) 2m – 2n = 256  2n (2m – n - 1) = 28 
Dễ thấy m  n, ta xột 2 trường hợp : 
 + Nếu m – n = 1  n = 8, m = 9 
 + Nếu m – n  2 thỡ 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đú VT chứa TSNT khỏc 2, 
mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này khụng xẩy ra : vậy n = 8, m = 9 
Bài 4: Tỡm x, biết:    
1 11
7 7 0
x x
x x
 
    
HD: 
   
   
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
 

   
     
 
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
 
 
 
1 10
8
6
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1
7 1 7 0
10
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x

 
 
 

 

 
  
   
  
     
 







Bài 5: Tỡm x, y biết: 20122011 ( 1) 0x y y    
HD: ta cú 2011 0x y  với mọi x,y và (y – 1)2012  0 với mọi y 
 Suy ra: 20122011 ( 1) 0x y y    với mọi x,y. Mà 20122011 ( 1) 0x y y    
  
2011 0
2011, 1
1 0
x y
x y
y
 
  
 
 Cỏc bài tập tương tự: 
Bài 6: Tỡm x, y biết : 
 a) 20125 (3 4) 0x y    b) 2 2(2 1) 2 8 12 5.2x y x      
 Chuyờn đề 4: Giỏ trị nguyờn của biến, giỏ trị của biểu thức: 
 1. Cỏc kiến thức vận dụng: 
 - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 
 - Phõn tớch ra TSNT, tớnh chất của số nguyờn tố, hợp số, số chớnh phương 
 - Tớnh chất chia hết của một tổng, một tớch 
 - ƯCLN, BCNN của cỏc số 
 2. Bài tập vận dụng: 
* Tỡm x,y dưới dạng tỡm nghiệm của đa thức 
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 
 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 22 23)2004(7 yx  
 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 
 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000  17.3.x = 2.(1000 – 13 y) do 3;17 là số NT nờn x 2 
mà x NT x = 2. Lại cú 1000 – 13y 51 , 1000 – 13y > 0 và y NT  y = 
 b) Từ 22 23)2004(7 yx  (1) 
do 7(x–2004)2 0 2 223 0 23 {0,2,3,4}y y y       
Mặt khỏc 7 là số NT 213 7y  vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1) 
 suy ra : x= 2005,y =4 hoặc x = 2003, y = 4 
c) Ta cú xy + 3x - y = 6  (x – 1)(y + 3) = 3 
1 1
3 3
x
y
 

 
hoặc 
1 1
3 3
x
y
  

  
hoặc 
1 3
3 1
x
y
 

 
 hoặc 
1 3
1 1
x
y
  

  
d) x2-2y2=1 2 2 21 2 ( 1)( 1) 2x y x x y       
do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2, mặt khỏc y nguyờn tố 
1 2 3
1 2
x y x
x y y
   
  
   
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bỡnh – Kim Sơn 
Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toỏn 7 
Bài 2 a) Tỡm cỏc số nguyờn thỏa món: x – y + 2xy = 7 
 b) Tỡm ,x y biết: 2 225 8( 2012)y x   
HD: a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7  (2x - 1)(2y + 1) = 13 
 b) Từ 2 225 8( 2012)y x    y2  25 và 25 – y2 chia hết cho 8, suy ra y = 1 
hoặc y = 3 hoặc y = 5, từ đú tỡm x 
Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên d-ơng của x và y, sao cho: 
1 1 1
x y 5
  
 b) Tìm các số a, b, c nguyên d-ơng thoả mãn: 
 baa 553 23  và ca 53  
HD: a) Từ 
1 1 1
x y 5
   5 (x + y) = xy (*) 
5
5
5
x
xy
y

  

 + Với x chia hết cho 5, đặt x = 5q (q là số tự nhiờn khỏc 0) thay vào (*) suy ra: 
 5q + y = qy 5q = (q – 1) y . Do q = 1 khụng thỏa món, nờn với q khỏc 1 ta cú 
5 5
5 1
1 1
q
y Z q
q q
      
 
Ư(5), từ đú tỡm được y, x 
 b) baa 553 23   a2 (a +3) = 5b – 5, mà ca 53   a2. 5c = 5(5b – 1 – 1) 
1
2
1
5 1
5
b
c
a



  . Do a, b, c nguyờn dương nờn c = 1(vỡ nếu c >1 thỡ 5b – 1 - 1 khụng 
chia hết cho 5 do đú a khụng là số nguyờn.). Với c = 1 a = 2 và b = 2 
Bài 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 
22 2 25 2013 5p p q   
HD: 
2 22 2 2 2 25 2013 5 2013 25 25 2013 25 (25 1)p p p p p pq q q           
Do p nguyờn tố nờn 2 22013 25q và 2013 – q2 > 0 từ đú tỡm được q 
Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên