Các dạng toán chương I Hình học lớp 9

đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu? 
CÁC DẠNG TOÁN CHƯƠNG I HÌNH HỌC LỚP 9
Hướng dẫn giải 
Dạng 1: Giải tam giác vuông
Bài 1: Giải tam giác vuông ABC vuông tại A, biết AB = 30cm, và C = 300.
 * ABC = 900 – C = 900 – 300 = 600 
 * AC = AB.cotC = 30.cot300 = 30 (cm) 
 * 
Bài 2: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 5 cm, C = 300 
* B = 900 – 300 = 600
* AB = BC.sinC = 5. 0,5 = 2,5cm	 
* AC = BC.cosC = 5. cm
Bài 3: Giải tam giác DEF vuông tại D biết: DE = 9cm; góc F = 470.
	 Xét tam giác DEF vuông tại D ta có:
	 * E = 900 – F = 900 – 470 = 430.
	 * (cm)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Giải tam giác vuông biết BC = 32cm; AC = 27cm 
(Độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, góc làm tròn đến độ)
Tính: AB = 17,176(cm) 
Tính: góc C 320 ; 
 Góc B 580 
Dạng 2: Dựng góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác
Bài 5: Dựng góc a biết . Rồi tính độ lớn của góc a.
O
A
B
1đv
2đv
5đv
Cách dựng:
- Chọn một đoạn thẳng làm đơn vị.
- Dựng tam giác vuông OAB có: Ô = 900 ; OA = 2đv ; AB = 5đv. 
Có: OBA là góc cần dựng.
Chứng minh: sinOBA = sin= 
Tính: 
Bài 6: Dựng góc biết 
- Dựng góc vuông xOy, chọn một đoạn thẳng làm đơn vị 
- Trên tia Ox, dựng điểm A sao cho OA = 3 đơn vị.
- Dựng cung tròn (A;4) cắt tia Oy tại B
Nối AB ta được góc OAB là góc cần dựng
Chứng minh: Ta có: cos = 
Dạng 3: So sánh
Bài 7: Đổi tất cả các TSLG sang cot hoặc tan
Sắp xếp: Cot730, tan250, cot500, cot220, tan700	 
Bài 8: 
Ta có: cos 480 = sin 420 ; cos 620 = sin 280	
Khi góc nhọn tăng dần từ 00 đến 900 thì sin tăng dần nên:
	 sin 250 < sin 280 < sin 420 < sin 480 < sin 750	
 Do đó: sin 250 < cos 620 < cos 480 < sin 480 < sin 750	
Bài 9: Theo đề bài : cot 100; tan380 ; cot 360 ; cot 200
 hay cot 100; cot 520 ; cot360 ; cot 200 
 mà cot 100 cot 200 cot 360 cot520 
Sắp xếp theo thứ tự giảm dần: cot 100 ; cot 200 ; cot 360 ; tan380 
Dạng 4: Tính tỉ số lượng giác
 Bài 10:
 Các tỉ số lượng giác của góc B:
Bài 11: cos = ; tg = ; cotg = 
Bài 12: Ta có: tana = 2 
Mặt khác: sin2a + cos2a = 1 
Nên (2cosa)2 + cos2a = 1 5cos2a = 1 cosa =
Vậy: sina = 2; cosa = ; cota =
Bài 13: Tính: = 2 
Dạng 5: Tính độ dài cạnh và số đo góc 
Bài 14: 
 a) Tìm x trên hình vẽ sau
 x2 = 4.9 x = 6
b) Cho B = 500, AC = 5cm. Tính AB
4,2 
c) Tìm x, y trên hình vẽ 
 62 = 3x x = 36:3 = 12
Áp dụng định lý Pitago, ta có: 
y2 = 62 + x2 = 62 + 122 
= 36 + 144 = 180 
 y = ≈ 13,4
Bài 15: Cho ABC có AB = 5cm; AC = 12cm; BC = 13cm
Giải: a) Chứng minh ABC vuông tại A và tính độ dài đường cao AH;
 * Ta có: 52 + 122 = 132 
 AB2 +AC2 = BC2 
 Vậy: ABC vuông tại A 
 * AH = = (cm) 
 b) Ta có: 
 * AHB vuông tại H mà HEAB tại E 
 nên: AH2 = AE.AB 
 * AHC vuông tại H mà HFAC tại F 
 nên AH2 = AF.AC 
 Do đó: AE.AB = AF.AC. 
c) Xét AEF và ABC
 Ta có: AE.AB = AF.AC 
 Mà góc A chung 
 Nên AEF ~ ACB (c-g-c) 
Bài 16: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 3,6cm ; HC = 6,4cm
a) Tính độ dài các đoạn thẳng: AB, AC, AH.
b) Kẻ HEAB ; HFAC. Chứng minh rằng: AB.AE = AC.AF.
Giải:
a) * BC = HB + HC = 3,6 + 6,4 = 10(cm)
 * AC2 = BC.HC = 10.3,6 = 36 AC = 6cm
 * AB2 = BC.HB = 10.6,4 = 64 AC = 8cm
 * AH = = 4,8 (cm)
b) AH2 =AB . AE
 AH2 =AC . AF
 AB.AE = AC.AF
Bài 17: Cho hình chữ nhật ABCD. Từ D hạ đường vuông góc với AC, cắt AC ở H. Biết rằng AB = 13cm; DH = 5cm. Tính độ dài BD.
Giải:
Ta có : AB = CD = 13 cm
* HC2 = CD2 – DH2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144
 HC = 12 (cm)
* DH2 = AH.HC 
 AH = 52 : 12 = 25 : 12 = ( cm)
Suy ra : BD = AC = AH + HC = (cm) ≈ 14,08cm 
Bài 18: Cho ABC vuông ở A có AB = 3cm, AC = 4cm, đường cao AH.
a) Tính BC, AH.
b) Tính góc B, góc C.
 c) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE.
Giải:
a) - Tính được BC = 5cm 
 - Áp dụng hệ thức: b.c = ah ta có: 3.4 = AH.5 
 nên AH = 2,4cm 
b) Tính được sinB = nên góc B 530
 Do đó : góc C 370 
c) Theo tính chất đường phân giác ta có: 
 Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: 
 thay số : EC = cm 
 Tính được EB = cm 
Bài 19: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 4, BH = 3. 
Tính tanB và số đo góc C. 
Giải: 
Ta có: tanB = 
 B 5308’ C 36052’ 
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 300, AB = 6cm
a) Giải tam giác vuông ABC.
b) Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của ABC. Tính diện tích AHM.
Giải:
a) Giải tam giác vuông ABC.
* góc C = 600 
* Ta có: ≈ 3,46 (cm) 
* ≈ 6,93 (cm) 
b) Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác ABC.
 Tính diện tích AHM.
Xét tam giác AHB, ta có : 
≈ 5,2 (cm) 
HM = HB – MB = 3 – 2 = (cm) 
Diện tích tam giác AHM: SAHM = = ≈ 2,6cm2 
Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 6cm, HC = 8cm.	
a/ Tính độ dài HB, BC, AB, AC
b/ Kẻ . Tính độ dài HD và diện tích tam giác AHD.
Giải:
a/ * AH2 = BH.HC 	
 * BC = BH + HC = 12,5cm	
 * AB = 7,5cm	
 * AC = 10cm 	
b/ * AC. HD = AH. HC 	
 * AD = 3,6cm 	
 * 	
Bài 22: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 10cm, 
a) Tính độ dài BC?
b) Kẻ tia phân giác BD của góc ABC (D AC). Tính AD?
(Kết quả về cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Giải:
a/ 
40o
10 cm
1
b/ BD là tia phân giác của góc ABC
 B1 = 
Bài 23: Trong tam giác ABC có AB = 12cm, B = 400, C = 300, đường cao AH. 
Hãy tính độ dài AH, HC?
 * AH = AB.sinB = 12. sin400 
 * HC = 
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông ở A ; AB = 3cm ; AC = 4cm.
 	a) Giải tam giác vuông ABC?
 	b) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE.
	 c) Từ E kẻ EM và EN lần lượt vuông góc với AB và AC. Hỏi tứ giác AMEN là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác AMEN.
Giải:
Bài 25 Tìm x, y có trên hình vẽ sau :
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
	 AH2 = BH. CH 	
 hay: x2 = 9. 25
	 suy ra: x = 15	
 Ngoài ra: AC2 = CH . BC	
 hay: y2 = 25 . 34 = 850
	 Do đó: y 29,155	
Bài 26: Cho tam giác ABC, BC = 15cm, góc B = 340, góc C = 400. Kẻ AH vuông góc với BC (H Î BC). Tính độ dài đoạn thẳng AH.
Giải:
Kẻ CK AB
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc vào CKB 
vuông tại K, ta có:
CK = BC. sinB = 15. sin 340 8,388 (cm)	 
KCB = 900 – KBC = 900 – 340 = 560.	
 Do đó: KCA = KCB – ACB = 560 – 400 = 160. (hoặc KAC = 400 + 340 = 740) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc vàoCKA ( AC = 8,762 (cm))
vuông tại K: CK = AC.cosKCA AC = (cm)
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc vàoACH vuông tại H:
AH = AC.sinACH 8,726.sin 400 5,609 (cm)
Bài 27: Cho ABC vuông ở A có AB = 3 cm, AC = 4 cm, đường cao AH.
a) Tính BC, AH.
b) Tính góc B, góc C.
c) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE.
a) (Py-ta-go).
 B 530; C = 900 – B 370
b) AE là phân giác góc Â, nên: 
c) Tứ giác AMNE có: A = M = N = 900 Þ AMNE là hình chữ nhật.
Có đường chéo AE là phân giác Â Þ AMEN là hình vuông ; 
Dạng 6: Rút gọn và chứng minh
Bài 28: Cho là góc nhọn. Rút gọn biểu thức:
	A = sin6+ cos6 + 3sin2 – cos2
Giải: 
Bài 29: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = a ; HC = b.
	 Chứng minh rằng: 
Bài 30 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB. Tia DM và tia CB cắt nhau ở N. Chứng minh rằng :
 Giải Kẻ DE vuông góc với DN cắt đường thẳng BC tại E. 
Chứng minh được DM = DE cho 0,5đ
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DEN suy ra:
Bài 31: Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có 2 cạnh là a và b, góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng đó là thì diện tích của tam giác đó bằng: S = 
Giả sử có AB = a, AC = b và góc nhọn giữa 2 đường thẳng AB và AC là . Kẻ đường cao BH. Xét tam giác vuông ABH thì BH = ABsin. 
Do đó: SABC = AC.BH = AC.ABsin = ab sin.
Bài 32: Cho tana + cota = 3. Tính giá trị của biểu thức A = sina.cosa
Cho tana + cota = 3 
mà = 1 nên A = sina. cosa = 
Dạng 7: Bài toán thực tế
Bài 33: Một con mèo ở trên cành cây cao 6,5m. Để bắt mèo xuống cần phải đặt thang sao cho đầu cầu thang đạt độ cao đó, khi đó góc của hình thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 6,7m.
Giải: sin = 0,9701 75058’
Bài 34: Một máy bay đang bay ở độ cao 10km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất.
a) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng 30 thì cách sân bay bao nhiêu kilômét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh?
b) Nếu cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu? 
Giải: a) 191km
 b) 1054’