Các bài toán liên quan đến hàm số: Điểm thuộc đường - Đường đi qua điểm

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ
ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG - ĐƯỜNG ĐI QUA ĐIỂM
Bài toán: Cho (C) là đồ thị hàm số y = f(x) và một điểm A(xA ; yA). Hỏi (C) có đi qua A không
Phương pháp giải:
Đồ thị (C) đi qua A(xA ; yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng phương trình của (C) 
- A (C) yA = f(xA)
Do đ ó : T ính yA = f(xA)
N ếu f(xA) = yA th ì (C) đi qua A
N ếu f(xA) yA thì (C) kh ông đi qua A
LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
BÀI TOÁN 1:
Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA; yA) và có hệ số góc bằng k
Cách giải:
- Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là:
 y = ax + b (*)
+ Xác định a:
 Theo giả thiết ta có : a = k => y = kx + b
+ Xác định b : 
 (D) đi qua A(xA ; yA) ó yA = kxA + b => b = yA – kxA 
Thay a = k và b = yA – kxA vào (*) ta được phương trình của (D) 
BÀI TOÁN 2: 
Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB ; yB)
Cách giải:
- phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là :
 y = ax + b
(D) đi qua A và B nên ta có : 
Giải hệ phương trình tìm được a, b . Suy ra phương trình của (D)
BÀI TOÁN 3 :
Lập phương trình của đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (P) :
 y = f(x)
Các giải :
Phương trình của (D) có dạng : y = ax + b
Phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là :
 f(x) = kx + b (1) 
(D) tiếp xúc với (P) ó phương trình (1) có nghiệm kép ó = 0
Từ điều kiện này tìm được b .Suy ra hương trình của (D)
BÀI TOÁN 4 : 
Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(xA ; yA) và tiếp xúc với đường cong (P) :
 y = f(x) .
Cách giải :
- Phương trình đường thẳng của (D) là : y = ax + b
- Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :
 f (x) = ax + b (1)
(D) tiếp xúc với (P) ó phương trình (1) có nghiệm kép.Từ điều kiện này tìm ra được hệ thức giữa a và b (2)
Mặt khác : (D) đi qua A(xA ; yA) do đó ta có :
 yA = axA + b (3)
Từ (2) và (3) suy ra a và b suy ra phương trình của (D)
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài toán : Cho (C ) và (L) theo thứ tự là đồ thị của các hàm số:
 y = f(x)
 y = g(x)
Khảo sát sự tương giao của hai đồ thị.
Cách giải:
Toạ độ giao điểm của (C ) và (L) là nghiệm của hệ phương trình 
 (I)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (L) là:
 f(x) = g(x) (1)
Nếu (1) vô nghiệm ó (I) vô nghiệm ó (C) và (L) không có điểm chung
Nếu (1) có nghiệm kép ó (I) có nghiệm kép ó (C) và (L) tiếp xúc nhau
Nếu (1) có 1 nghiệm hoặc 2 nghiệm ó (I) có 1 hoặc 2 nghiệm ó (C) và (L) có 1 hoặc hai điểm chung.
BÀI TẬP
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A (-2 ; 2 ) và đường thẳng (D) : y = - 2(x + 1)
Hỏi điểm A có thuộc (D) không
Tìm a trong hàm số y = ax2 có đò thị (P) đi qua A
Giải:
a)Thay x = -2 vào vế phải của phương trình đường thẳng (D) ta có : y = -2(-2 + 1) = 2
Vậy điểm A(-2 ; 2) có thuộc đường thẳng (D)
b) Vì đồ thị (P) đi qua A nên ta có : 2 = a (-2)2 => a = 
Bài 2 : Cho parabol (P): y = x2 .Lập phương trình đường thẳng (D) song song với đường thẳng (D/ ) : y = 2x và tiếp xúc với (P)
Giải:
Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = ax + b
Đường thẳng (D) song song với đường thẳng (D/) nên a = 2 => y = 2x + b
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P) là:
 x2 = 2x + b x2 – 2x – b = 0 (1) 
(D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 1 + b = 0 => b = -1
Vậy phương trình đường thẳng (D) là: y = 2x - 1
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ cho 2 đường thẳng (d1) : y = 2x – 7 và (d2): y = - x- 1
Vẽ đường thẳng (d1) và (d2)
Tìm toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) bằng đồ thị. Rồi kiểm tra lại bằng phép tính
Giải:
HS tự vẽ
Gọi giao điểm của (d1) và (d2) là M khi đó hoành độ của điểm m là nghiệm của phương trình: 2x – 7 = - x- 1 x = 2
Tung độ của điểm M là y = - 2 – 1 = - 3
Vậy toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) l à : M(2 ;-3)
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(0; - 1) và B( 1; 2)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B
Điểm C(- 1;- 4) có nằm trên đường thẳng đó không
Giải:
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (D) : y = ax + b
 Đường thẳng (D) đi qua A và B nên ta có :
 Giải hệ phương trình ta được : a = 3 ; b = -1
 Vậy phương trình đường thẳng cần tìn là (D) : y = 3x – 1
Với x = -1 thì y = 3(-1) – 1 = - 4 .Do đó điểm C(- 1;- 4) nằm trên đường thẳng (D)
Bài 5: Với giá trị nào của m thì đường thẳng :
 (d1) : y = (m – 1)x ; (d2) : y = 3x – 1
song song với nhau
Cắt nhau
Vuông góc với nhau
Gi ải:
(d1) // (d2) m – 1 = 3 m = 4
(d1) cắt (d2) m – 1 3 m 4
(d1) vuông góc (d2) (m – 1).3 = -1 m = 
 Bài 6: Tìm giá trị của a để 3 đường thẳng : (d1): y = 2x – 5 ; (d2) : y = x +2 
 (d3) : y = ax – 12 . Đồng quy tại 1 điểm
Giải:
Ta thấy hai đường thẳng (d1) v à (d2) có hệ số góc khác nhau nên (d1) và (d2) chắc chắn cắt nhau. Gọi giao điểm của (d1) và (d2) l à M
Hoành độ của điểm M là nghiệm của phương trình : 2x – 5 = x +2 => x = 7 
Tung độ của M là y = 7 + 2 = 9 .Do đó M( 7 ; 9)
Đ ể 3 đ ường thẳng trên đồng quy tại 1 điểm thì dường thẳng (d3) phải đi qua điểm M(7 ;9)
 9 = a.7 – 12 a = 3 
Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( - 2;2) và đường thẳng (d1): y = -2(x+1)
Giải thích tại sao A nằm trên (d1)
Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị(P) đi qua A
Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1)
Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2); C là giao điểm của (d1) với trục tung .Tìm toạ độ giao điểm của B và C .Tính diện tích tam giác ABC
Giải:
 Câu 1) 2) xem bài 1
3) Gọi phương trình đường thẳng (d2) là : y = ax + b
Vì đường thẳng (d2) vuông góc với (d1) => a.(-2) = -1 => a = 
Mặt khác đường thẳng (d2) đi qua điểm A(- 2 ; 2) nên ta có x = -2 , y = 2
Thay a = ; x = -2 ; y = 2 vào y = ax + b ta có : 2 = (-2) + b => b = 3
Vậy phương trình đường thẳng (d2) là : y = x + 3
4) 
Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình : x2 = x + 3 .giải phương trình này ta được x1 = 2 ( chính là hoành độ của điểm A) x2 = 3 là hoành độ điểm B.Khi đó tung độ điểm B là y = .32 = .Vậy toạ độ của điểm B( 3 ; )
Toạ độ C(0 ; - 2)
Ta có AB = = = = 
 AC = = = 2
SABC = AB.AC = ..2 = (đvdt)
Bài 8 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số y = x2 và (D) là đồ thị hàm số 
 y = - x + 2
a) Vẽ (P) và (D)
b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép tính.
c) Tìm a và b trong hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị (d/) của hàm số này song song với (D) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 1
Giải:
a) Vẽ (P) và (D):
b)Dựa vào đồ thị ta có A( 2;4) , B( 1 ;2) .Kiểm tra bằng cách thay toạ độ của các điểm A và B vào 2 hàm số ta thấy đều thoả mãn.
c) Đường thẳng (d/) song song với đường thẳng (D) nên a = -1. Mặt khác (d/) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1 ,tức là (d/) đi qua điểm (-1; 1) => x = -1 , y = 1
Thay a = -1 . x = -1 , y = 1 vào phương trình của đường thẳng (d/) ta có :
 1 = (-1)(-1) + b => b = 0
Vậy phương trình của đường thẳng (d/) là : y = - x 
Bài 9: Cho hàm số : y = - x2 (P)
Vẽ đồ thị (P)
Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt .
Giải :
a)Lập bảng giá trị :
 x
-2
-1
0
1
2
y = -x2
-2
-
0
-
-2
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) : y = 2x + m và parabol(P)
 l à : - x2 = 2x + m x2 + 4x + 2m = 0 (1) 
Để (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
 > 0 4 – 2m > 0 m < 2 
Vậy với m < 2 thì đường thẳng (D) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài 10 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho đường thẳng (D) và parabol (P) có phương trình :
 (D) : y = k(x -1)
 (P) : y = x2- 3 x + 2
a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k , (D) và (P) luôn có điểm chung 
b) Trong trường hợp (D) tiếp xúc với (P) .Tìm toạ độ tiếp điểm.
Giải:
a)Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là:
 x2 – 3x + 2 = k(x -1) x2 – (3+ k)x +2 + k = 0 (1)
Phương trình (1) có : = ( 3 + k)2 – 4 ( 2 + k) = 9 + 6k + k2 – 8 – 4k = k2 + 2k + 1
 = (k + 1)2 0 với mọi k 
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi k .Do đó đường thẳng (D) và parabol (P) luôn có điểm chung
b) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 (k + 1)2 = 0 
 k = - 1 ,Khi đó phương trình (1) có nghiệm là x = = = 1 (Đây chính là hoành độ giao điểm của (D) và (P) ).Tung độ giao điểm là: y = 0
Vậy toạ độ tiếp điểm là : (1 ;0 )
Bài 11: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đường thẳng (D) của hàm số : y = (m-1)x – (m – 1)
Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.
Vẽ đồ thị (P) và (D) với a , m tìm được trên cùng hệ trục toạ độ.
Giải:
Đồ thị (P) đi qua điểm A(-2; 4) nên ta có : 4 = a.(-2)2 => a = 1 => (P) : y = x2 
Đề (P) tiếp xúc với (D) thì phương trình : (m -1)x – (m -1) = x2 có nghiệm kép
 x2 – (m -1)x + (m-1) = 0 có nghiệm kép
 = 0 (m -1)2 – 4(m-1) = 0 (m -1)(m-1- 4) = 0 (m – 1)(m – 5) = 0
*)Với m = 1 => x = = = 0 (đây là hoành độ tiếp điểm) , tung độ tiếp điểm là:
 y = 0.Vậy toạ độ tiếp điểm thứ là : (0 ; 0 ) Chính là gốc toạ độ. Khi đó đường thẳng (D) trùng với trục hoành Ox
*) Với m = 5 => x = = = 2 (là hoành độ tiếp điểm ) ,tung độ tiếp điểm là: 
 y = 4 . Vậy toạ độ tiếp điểm thứ 2 là : ( 2 ; 4)
b) Ta vẽ đồ thị hàm số : y = x2 . 
 Khi m = 1 đường thẳng (D) trùng với trục hoành
 Khi m = 5 đường thẳng (D) có phương trình là : y = 4x – 4
 Có đồ thị như sau :
Bài 12: Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2x + m
Vẽ P.
Tìm m để (D) tiếp xúc với (P)
(Hướng dẫn : xem bài 11)
Bài 13: Trong cùng hệ trục toạ độ gọi (P) và (D) lần lượt là đồ thị hàm số :
 y = - và y = x + 1
a) Vẽ (P) và (D) 
b) Dùng đồ thị hàm số để giải phương trình : x2 + 4x + 4 = 0
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có tung độ là – 4
Giải:
a) Vẽ (P) và (D):
Phương trình : x2 + 4x + 4 = 0 (1) - x2 = 4x + 4 - = x + 1
Đặt y = - => y = x + 1 là hai đồ thị hàm số đã vẽ ở câu a) Do đó nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giáo điểm của 2 đồ thi trên. Dựa vào đồ thị ta có: Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là – 2 .Nên nghiệm của phương trình đã cho là x = -2
Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = ax + b
Vì (d) // (D) => a = 1
Vì (d) cắt (P) tại điểm có tung độ bằng – 4 => hoành độ của đó là : x = 4 .Tức là đường thẳng (d) đi qua điểm ( 4; - 4 ) nên ta có :
 - 4 = 1. 4 + b => b = - 8.Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x – 8.
Bài 14: Cho hàm số : y = x2 và y = x + m 
Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x2 và độ thị (D) của y = x + m có 2 giao điểm phân biệt A và B
Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) tiếp xúc với (P)
Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo toạ độ của 2 điểm ấy. Áp dụng : Tìm m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm A và B ở câu a) là 3
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :
 x2  = x + m x2 – x – m = 0 (1)
 (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
 > 0 (-1)2 – 4.1.(-m) > 0 1 + 4m > 0 m > - 
Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm : y = ax + b
Vì (d ) (D) => a.1 = -1 => a = -1 => y = -x + b
Phương trình hoành độ giáo điểm của (d) và (P) là : x2 = - x + b x2 + x - b = 0 (2)
Phương trình (2) có : = 1 + 4b 
(d) tiếp xúc (P) phương trình (2) có nghiệm kép = 1 + 4b = 0 => b = - 
 Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = - x - 
Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB) (Hình vẽ)
 Khoảng cách giữa hai điểm xA , xB trên trục Ox bằng .Khoảng cách giữa hai điểm 
 yA , yB trên trục Oy bằng 
Trong tam giác vuông ABC ta có : AB2 = AC2 + BC2 
 = ( xB – xA)2 + (yB – yA )2
 => AB = 
 Theo câu a) ta có : Với m > - phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là:
 x1 = ; x2 = 
Với x1 = => y1 = 
 x2 = => y2 = 
Gọi A( ; ) và B( ; )
Áp dụng công thức trên ta có : 
 AB = 
 = = = 
 AB = 3 = 3 2+ 8m = 18 m = 2 
 Trả lời : m = 2 là giá trị cần tìm
Bài 15 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số : y = x2 , 
 (D) là đồ thị hàm số :y = x + 2 
a) Vẽ (D) và (P)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và bằng phép toán
Giải:
a)Vẽ (D) và (P)
b) Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm M(-2 ; 1) và N(4 ; 4)
Kiểm tra bằng phép tính :
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :
 x2 = x + 2 x2 – 2x – 8 = 0 (1)
Có : = 1 + 8 = 9 => = 3 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt : 
 x1 = 1 – 3 = - 2 ; x2 = 1 + 3 = 4
Do đó đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt ,có hoành độ giao điểm lần lượt là -2 , 4
Với x1 = - 2 => y1 = (-2)2 = 1 => M(-2 ; 1)
Với x2 = 4 => y2 = . 42 = 4 => N( 4 ; 4)
Bài 16: Cho parabol (P) : y = - và điểm M (1 ; -2)
Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc là m
Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi
Giải :
Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = mx + b 
Vì (D) đi qua M(1 ; -2) => -2 = m.1 + b => b = - m – 2
Vậy phương trình đường thẳng (D) cần tìm là : y = mx – m – 2
b)Ta có phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là :
 - = mx – m – 2 x2 + 4mx – 4m – 8 = 0 (1)
Phương trình (1) có: = 4m2 + 4m + 8 = 4m2 + 4m + 1 + 7 
 = (2m + 1)2 + 7 > 0 với mọi m
Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Do đó đường thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi.
Bài 17 : Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc cho parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (D) : y = mx – 2m – 1
Vẽ (P)
Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P) 
Giải :
Tự vẽ
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : - x2 = mx – 2m – 1 
 x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 (1) 
 (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 
 4m2 + 8m + 4 = 0 (2m + 2)2 = 0 2m + 2 = 0 m = -1
Vậy m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P)
Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng (D) luôn đi qua
Khi đó phương trình : y0 = mx0 - 2m – 1 có nghiệm với mọi m
 (x0 – 2)m – (y0 + 1) = 0 có nghiệm với mọi m
Suy ra điểm A( 2 ; -1).Thay x = 2 vào phương trình của (P) ta có y = - . 22 = - 1
Nên điểm A(2 ; -1) thuộc (P).Vậy đường thẳng (D) luôn đi qua điểm A( 2 ; -1) cố định thuộc (P)
Bài 18 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = x – 1
Vẽ (P) và (D)
Chứng tỏ (bằng phép toán ) (P) và (D) tiếp xúc nhau tại 1 điểm ,xác định toạ độ điểm này.
Bài 20 : Trong cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = và đường thẳng (D) đi qua điểm 
 I( ; -1) có hệ số góc m
Vẽ (P) và viết phương trình của (D) 
Tìm M sao cho (D) tiếp xúc với (P)
Tìm m sao cho (D) và (P) có 2 điểm chung phân biệt
Bài 21 : Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng y = x + 3
Xác định toạ độ giao điểm A, B của parabol và đường thẳng
Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Bài 22 : Cho hàm số : y = x2  (P) 
Vẽ đồ thị hàm số trên
Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : y = (m- 4)x + m + 1 cắt đồ thị hàm số trên tại điểm A có hoành độ bằng 2 .Rồi tìm toạ độ thứ 2 khác A 
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) và parsbol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Gọi y1 ; y2 là tung độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P) . Tìm m để y1 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
a) 
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2  = (m- 4)x + m + 1
 x2 – 2 (m – 4)x – 2m – 2 = 0 (*)
Vì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2 nên là nghiệm của phương trình (*) => 4- 2(m -4).2 – 2m – 2 = 0 4 – 4m +16 – 2m – 2 = 0 - 6m + 18 = 0
 m = 3
Vậy với m= 3 thì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2
Hoành độ giao điểm thứ 2 khác A là nghiệm thứ 2 của phương trình (*)
Theo Vi-et : x1.x2 = = -2m – 2 = -2.3 – 2 = -8. Mà x1= 2 => 2.x2 = - 8 => x2= - 4
Tung độ của điểm thứ hai là : y = .(-4)2 = 8
Vậy toạ độ giao điểm thứ hai khác A là (- 4 ; 8)
Phương trình (*) có : = (m – 4)2 + 2m + 2 = m2 – 6m + 18
 = (m – 3)2 +9 > 0 với mọi m
Suy ra điều phải chứng minh
Gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P) tương ứng với tung độ y1 ; y2 
y1 = (m -4)x1 + m + 1
y2 = ( m- 4)x2 + m + 1
 => y1 + y2 = ( m -4) (x1 + x2) + 2 m + 2 = (m – 4). 2(m – 4) + 2m + 2 = 2m2 – 14m + 34
 = 2(m2 – 7m + 17) = 2( m2  - 2.m + + ) = 2(m -)2 + 
 Suy ra : Min (y1 + y2 ) = khi m = 
Bài 23 :Cho đường thẳng (d) : y = 4x + m và parabol (P) : y = 2x2
Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm A , B và cắt trục tung Oy tại M . Sao cho MA = 3MB 
Giải :
Xét phương trình : 2x2 = 4x + m 2x2 – 4x – m = 0 (1)
(d) cắt (P) tại 2 điểm A và B phương trình (1) có 2 nghiệm 
 = 4 + 2m 0
 m -2
Hai giao điểm là : A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2) (ở đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) )
Theo Vi-et ta có : 
Theo giả thiết (d) trục Oy tại M sao cho MA = 3MB = 3. 
Với x2 = 3x1 => x1 + 3x1 = 2 => x1 = => x2 = 
=> x1x2 = . = => m = - (Không thoả mãn điều kiện m -2 )
Với x2 = - 3x1 => x1 – 3x1 = 2 => x1 = - 1 => x2 = 3
=> = x1.x2 = (-1) . 3 = -3 => m = 6 (Thoả mãn điều kiện m -2 )
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm
ChØ cã sù nç lùc cña chÝnh b¹n míi ®em l¹i thµnh c«ng