Tổng hợp đề thi học sinh giỏi Toán 9 hay

doc 48 trang Người đăng khoa-nguyen Lượt xem 1016Lượt tải 1 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp đề thi học sinh giỏi Toán 9 hay", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tổng hợp đề thi học sinh giỏi Toán 9 hay
Đề số 1
 Câu 1: (2đ)
 Rút gọn biểu thức : A = 
 Câu 2: (2đ)
 Giải phương trình : x2 +3x +1 = (x+3) 
 Câu 3: (2 đ) Giải hệ phương trình 
 Câu 4: (2đ)
 Cho PT bậc hai ẩn x :
 X2 - 2 (m-1) x + 2 m2 - 3m + 1 = 0
 c/m : PT có nghiệm khi và chỉ khi 0 Ê m Ê 1
 Gọi x1 , x2 là nghiệm của PT . c/m
 Ê 
 Câu 6: (2đ) : Cho parabol y = và đườn thẳng (d) : y =
 a/ Vẽ (P) và (d)trên cùng hệ trục toạ độ .
 b/ Gọi A,B là giao điểm của (P) và (d) trên cùng hệ toạ trục toạ độ Oxy. Tìm M trên của (P) sao cho SMAB lớn nhất .
 Câu 7: (2đ)
 a/ c/m : Với " số dương a 
 thì 
 b/ Tính S = 
 Câu 8 ( 4 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB , dựng nửa đường tròn (O,AB) và ( O’,AO) , Trên (O’) lấy M ( M ≠ A, M ≠ O ). Tia OM cắt (O) tại C . Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O’).
a/ Chứng minh rằng tam giác AMD cân .
b/ Tiếp tuyến C của (O) cắt tia OD tại E. Xác định vị trí tương đối của đương thẳng EA đối với (O) và (O’).
c/ Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.
d/ Tại vị trí của M sao cho ME // AB hãy tính OM theo a .
 Câu 9 ( 1 điểm ): Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều
Đáp án đề số 1.
Câu 1:( 2 điểm): 
Rút gọn : A= 
 = = 
 = = = = 
 Câu 2: (2điểm)
 Phương trình về dạng ( (0,5đ) => (0,5đ) => => (0,75đ)
 Câu 3: ( 2điểm)
 Giải hệ phương trình Do 
(2) (0,5đ)
 ú (0,5đ)ú 
 ú (x,y) = (0,5đ)
 Câu 4: (2điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
 (0,5đ)Amin ú Maxú Min
ú x = 0 (0,75đ)Vậy A nhỏ nhất = (0,75đ) Khi x = 0
 Câu 5: (2đ)
 Phương trình : 
* Có nghiệm : ú ³ 0
 ú Ê 0 ú
 b/ Khi 0 Ê m Ê 1 . Theo định ly viét ta có .
 -> Q = 
 ->Vì Ê mÊ 1 ú Ê m -Ê => Ê
 Do đó Q = 
 Câu 6: (2điểm)
 a/ Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ đúng , chính xác .
 b/ HS. Xác định được phương trình đường thẳng (d’) có phương trình : y = 
 (d’) tiếp xúc với (P)ú
 PT : Có nghiệm kép ú Có nghiệm kép 
 ú Hoành độ tiếp điểm x =1 ú y=
 Do đó ta có tiếp điểm M( -1 ; 1/4) dễ dàng c/m với vị trí này SMAB là nhỏ nhất 
 Câu 7 : (2 điểm )
 a/ Ta có : 
 Mà Do đó 
b/ áp dụng c/m câu a ta có : 
 S = S = 
 Câu 8 : (4điểm) 
 Vẽ hình viết giả thiết : cân đối sạch đẹp (0,5đ) 
 a/ Ta có tam giác OAC cân tại O
 Có nên => MD =AD 
 Hay tam giác DAM cân tại D (0,5đ) 
 b/ Ta c/m được 
 => (0,5đ)
 Hay Chứng tỏ EA là tiếp tuyến 
 của (o) và (o’) (0,5đ)
 c/ Giả sử AM cắt (o) tại N’ vì :
 nên (0,5đ) 
 => là nội tiếp 
 Do đó N’ =N hay A, M, N thẳng hàng (0,5đ)
 d/ Dựng MKOA vì EM //AB nên cân tại M và là hình chữ nhật (0,5đ)
 Đặt ME = MO = x 
 Ta có = (0,25đ)
 ú ú (0,25đ)
 Câu 9: (2điểm)
 Gọi x, y, z lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a,b,c của tam giác 
 Nhận xét : Đường cao của tam giác luôn lớn hơn đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó : tức là 2< x ; 2 < y ; 2< z (0,25 đ)
 Vì x ,y, z z nên x ³ 3 ; y³ 3 ; z³ 3 (0,25đ)
 => Ê (1) (0,5đ)
 Mặt khác : (2) (0,5đ)
 Từ (1) và (2) => x = y= z Hay tam giác ABC đều (0,5đ)
Đề Số 2
Câu1 (6 điểm): 
a) Chứng minh biểu thức: 
A = - - 
không phụ thuộc vào x.
b) Chứng minh nếu a, b, c và a', b', c' là độ dài các cạnh của hai tam giác đồng dạng thì:
 + + = 
c) Tính: B = + 
Câu2 (4 điểm):
 Giải các phương trình: 
a) 10 x3 - 17 x2 - 7 x + 2 = 0
b) + = 4
Câu3 (2 điểm): 
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2.
Chứng minh: (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > 2
Câu 4 (2 điểm):
 Chứng minh khi m thay đổi, các đường thẳng có phương trình:
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 5 (6 điểm):
Cho điểm M nằm trên đường tròn (O), đường kính AB. Dựng đường tròn (M) tiếp xúc với AB. Qua A và B, kẻ các tiếp tuyến AC; BD tới đường tròn (M).
a) Chứng minh ba điểm C; M; D thẳng hàng.
b) Chứng minh AC + BD không đổi.
c) Tìm vị trí của điểm M sao cho AC. BD lớn nhất.
 đáp án đề số 2
Câu 1 : 
a) Đặt = a ta có A = = 
 Biểu thức A không phụ thuộc vào x. (2 điểm)
b) Vì a; b; c và a'; b'; c' là độ dài các cạnh của hai tam giác đồng dạng 
nên = = . Đặt = = = k ta có: a = ka'; b = kb'; c = kc'.
Khi đó, + + = 
(Vì đều bằng (a' + b' + c') )	 (2 điểm) 
c) B = + = + 
= + = - 2 + - 1 = + - 3 (2 điểm)
Câu 2 :
 a) 10 x3 - 17 x2 - 7 x + 2 = 0 (x - 2) (2x + 1) (5x - 1) = 0
Phương trình có ba nghệm là x = 2; x = - 0,5; x = 0,2. (2 điểm)
b) + = 4
 + = 4
Dùng phương pháp xét khoảng hoặc sử dụng tính chất: 
(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi AB 0) 
Ta có tập nghiệm của phương trình là: S = {x\ - 1,5 x 0,5} (2 điểm)
Câu 3 :
Do a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a < b + c 
 2a < a + b + c, mà a + b + c = 2 nên 2a < 2 a < 1.
Tương tự, ta có b < 1; c < 1
 (a - 1) (b - 1) (c - 1) < 0
 abc - ab - ac - bc + a + b + c - 1 < 0
 abc - ab - ac - bc < - 1 (Do a + b + c = 2)
 2ab + 2ac + 2bc - 2abc > 2 
 (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > 2 (Đpcm) (2 điểm)
Câu 4: 
Vì (x = 3; y = - 6) thoả mãn phương trình (2m - 1) x + my + 3 = 0 
với mọi m nên khi m thay đổi, các đường thẳng có phương trình: 
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định. (2 điểm) 
Câu 5 : 
 A E B 
 D
 M
C
 C 
 + Ghi gỉa thiết, kết luận đầy đủ, đúng, gọn. Vẽ hình chính xác (0,5 điểm)
a) Góc CMD = 2. góc AMB = 1800 ba điểm C; M; D thẳng hàng. (2 điểm) 
b) Gọi tiếp điểm của đường tròn (M) với AB là E thì 
AC + BD = EA + EB = AB mà AB không đổi nên AC + BD không đổi. (1,5 điểm) 
c) Ta có AC.BD = AE. EB = EM2.
 AC. BD lớn nhất khi EM lớn nhất. 
Khi đó, M là điểm chính giữa của cung AB. (2 điểm)
Đề số 3
Bài 1: 	 (2 điểm)
Chứng minh: 
	-1 = - + 
Bài 2: 	(2 điểm)
Cho + = 5 ab (2a > b > 0)
Tính số trị biểu thức: M = 
Bài 3:	 (2 điểm)
 Chứng minh: nếu a, b là các nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và c,d là các nghiệm của phương trình: x2 + qx + 1 = 0 thì ta có:
(a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2
Bài 4:	 (2 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình 
Tuổi anh và em cộng lại bằng 21. Hiện tại tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi của anh, em.
Bài 5:	 (2 điểm)
Giải phương trình: x4 + = 2006 
Bài 6: 	(2 điểm)
Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - và đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1.
1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P)
3. Chứng tỏ (d) luôn đi qua điểm cố định A ẻ (P)
Bài 7: 	(2 điểm).
Cho biểu thức A = x – + 3y - + 1
Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt được.
Bài 8: 	(4 điểm).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF, A,E ẻ (O); B, F ẻ (O’)
a. Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh:
∆ AOM ∾ ∆ BMO’
b. Chứng minh: AE BF
c. Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng.
Bài 9: 	(2 điểm).
Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước là d và góc nhọn giữa đường chéo bằng .
Đáp án đề số 3
Bài 1: 	 (2 điểm)
Đặt a = thì:
 -1 = - + 
- 1 = 1- + 	(0,5 điểm)
 9(a-1) = (1 –a + +a2)3
Biến đổi tương đương được a3 = 2 (đúng) 	(1 điểm)
Suy ra điều phải chứng minh 	(0,5 điểm)
Bài 2: 	(2 điểm)
+ Từ: 4a2 + b2 = 5ab => 16a4 – 8a2b2 + b4 = 9a2b2 (*)	(0,5 điểm)
+ Từ: M = kết hợp (*) suy ra được: M2 = 	(0,5 điểm)
+ Từ: M = kết hợp (2a > b > 0) suy ra: M > 0 	(0,5 điểm)
Tính được: M =	(0,5 điểm)
Bài 3:	 (2 điểm)
Theo hệ thức Viet ta có:
(I) 	(0,5 điểm)
(a – c)(b –c)(a+d)(b+d) (*)
Kết hợp (I) và (*) suy ra: (a –c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 – p2 	(1,5 điểm)
Bài 4:	 (2 điểm)
Gọi tuổi em hiện tại là (0 < x < 21) 	(0,25 điểm)
Thì tuổi anh hiện tại là 21 – x 
Thời điểm anh bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh là x, tuổi em là 
(21 - x). 	(0,75 điểm)
Ta có phương trình 
x - (21 - x) = 21 - x – x
Giải đượ x = 9 (thoả mãn điều kiện)	(0,75 điểm)
Tính được: Tuổi anh: 21 –9 = 12 
Đáp số:
12 tuổi
 (0,25 điểm)
9 tuổi.
Bài 5:	 (2 điểm)
x4 + = 2006
 x4 = 2006 - 
 x4 + x2 + = x2 + 2006 - +
 = ( - )2
 x2 + = 	(0,5 điểm)
 * x2 + > 0 nên: x2 + = - 	(0,25 điểm)
* Biến đổi tương đương được: x4 + x2 – 2005 = 0 (1)
Đặt x2 = y ( y³ 0) . (1) y2 + y – 2005 = 0 (2) 	(0,5 điểm)
Giải (2) được: y1 = : y2 = (loại) 	(0,25 điểm)
Suy ra: x1 = 
 x2 = 	(0,5 điểm)
Bài 6: 	(2 điểm)
 a. Vẽ đồ thị (0.5 đ)
b. Khi (d) tiếp xúc với (P) ta có phương trình:
- = mx – 2m – 1 
 x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 
và = 0 
Tính được m = -1. Suy ra: m = - 1 thì (d) tiếp xúc (P) 	(0,75 điểm)
c. Giả xử (d) đi qua điểm cố định A (x0, y0) thuộc (P) thì:
y0 = mx0 – 2m –1 đúng với m
Tính được:
x0 = 2 
Vậy (d) luôn đi qua điểm A(2; -1) thuộc (P) (0,75 điểm)
Y0 = -1 
Bài 7:	 (2 điểm)
 Điều kiện: x ³ 0; y ³ 0 để ; ; Có nghĩa 	(0,25 điểm)
A = x - 2 + 3y – 2 + 1
Biến đổi đồng nhất được:
A = ( - - 1)2 + ( 2 - 1)2 - 	(0,75 điểm)
Suy ra được: min A = - 
x = 
(thoả mãn đ/k)
y = 
(thoả mãn đk) (1điểm)
Bài 8: 	(4 điểm).
Vẽ hình đúng, ghi GT, KL sạch, đẹp 	(0,5 điểm)
a. Chỉ ra được AOM ∾ DBMO’ (g.g)	 (0,5 điểm)
b. Chỉ ra được 
BF ^ O’M 
=> BF OM
(0,5 điểm)
OM ^ O’M 
 Chỉ ra được 
AE ^ OM 
=> AE ^BF
BF OM
Điều phải chứng minh	(0,5 điểm)
c, Gọi H là giao điểm của AE và OM
 K là giao điểm của BN và MO’ 
áp dụng hệ thức lượng cho hai tam giác vuông AOM và BMO’. Ta có:
OA2 = OH . OM 
 MB2 = MK . MO’ 
=>
 = . (0,5 điểm)
Kết hợp: AOM ∾ DBMO’(chứng minh câu a) suy ra được: 
 = => = => = (Do chứng minh được: MK = HN)
 Chỉ ra được: OHN ∾ OMO’ (c.g.c) 	(1,0 điểm)
Tính được: ONH + HNE +FNO’= 1800	
Suy ra: O, N, O’ thẳng hàng. 	(0,5 điểm)
Bài 9: 	(2 điểm).
x
Giả sử hình chữ nhật ABCD đã dựng được thoả mãn yêu cầu bài toán: 
AB – AD = d
góc nhọn AOD = à
+ Thể hiện được trên hình vẽ 
= 1350; EBD = 
1. Cách dựng: 
- Dựng EDB có EB = d, BED 
B
d
E
A
a
O
D
(0,5 điểm)
- Dựng tia BE
- Lấy O là trung điểm của BD, dựng DOx = à tia BE cắt Ox tại điểm A. 
( Ox và điểm E nằm về 1 phía so với bờ BD).
- Dựng điểm C đối xứng với A qua O
Nối AD, DC, BC được hình chữ nhật ABCD (1 điểm)
2. Chứng minh: 
Chỉ ra được ABCD là hình chữ nhật
Chỉ ra được: AB - AD = d
 DOA = à
Kết luận: ABCD là hình chữ nhật cần dựng 	(0,5 điểm)
đề số 4
Câu 1(2đ) : Giải PT sau : 
	a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0 
	b, = 2 
Câu 2(2đ): a, Thực hiện phép tính : 
 b, Rút gọn biểu thức : 
	B = Với a + b + c = 0
Câu 3(3đ) : a, Chứng minh rằng : 
	5
	b, Tìm GTNN của P = x2 + y2+ z2
	Biết x + y + z = 2007 
Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba trong kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 . Biết : 
Nếu đưa 1 em từ giải nhì lên giải nhất thì số giải nhì gấp đôi giải nhất .
Nếu giảm số giải nhất xuống giải nhì 3 giải thì số giải nhất bằng 1/4 số giải nhì 
Số em đạt giải ba bằng 2/7 tổng số giải .
Câu 5 (4đ): Cho ABC : Góc A = 900 . Trên AC lấy điểm D . Vẽ CE BD.
a, Chứng minh rằng : ABD ECD.
b, Chứng minh rằng tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp được .
c, Chứng minh rằng FD BC (F = BA CE) 
d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a . Tính AC, đường cao AH của ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. 
Câu 6 (4đ): Cho đường tròn (O,R) và điểm F nằm trong đường tròn (O) . AB và A'B' là 2 dây cung vuông góc với nhau tại F .
a, Chứng minh rằng : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 
b, Chứng minh rằng : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 
c, Gọi I là trung điểm của AA' . Tính OI2 + IF2 
Đáp án đề số 4
Câu 1(2đ) : 
a, PT đã cho (x-1)(x-2)(x2+1) = 0 (0,5đ)
Do x2+1 > 0 với mọi x => x-1 =0 và x-2 = 0 (0,25đ)
 x = 1; x = 2 (0,25đ)
b, + =2 ĐKXĐ : x-1 (0,25đ)
 + =2 (1)
Nếu - 1 0 x + 1 1 x0 thì 
(1) 2 = 2 =1 x = 0 (0,25đ)
Nếu x < 0 thì 2 = 2 (luôn đúng) (0,25đ)
vậy -1 x 0 là nghiệm của PT . (0,25đ)
Câu 2 : (2đ)
a, (0,25đ)
= (0,25đ)
= (0,25đ)
= 2 - - 2 - 3= -4 (0,25đ)
b, Vì a + b + c = 0 a = - b - c a2 = b2 + 2bc + c2 (0,25đ)
 a2 - b2 - c2 = 2bc 
b2 - c2 - a2 = 2ac 
c2 - a2 - b2 = 2 ab (0,25đ)
B = (0,5đ)
Câu 3 :(3đ)
a, 5< 1 + + + .... + < 10 (0,25đ)
 đặt S = 1 + + + .... + 
Ta có S > + + .... + = .50 = 5 (0,5đ)
Mặt khác có : 1 = < 
....
 = (0,5đ)
Cộng 2 vế ta được :
S < 
= 2{(}
= 2 = 10(2) (0,5đ)
Từ (1) và (2) 5< S < 10 (đpcm). (0,25đ)
b, Tìm GTNN P = x2 + y2 + z2 biết x + y + z = 
áp dụng BĐT Bu Nhiacốpxki ta có :
(x + y + z)2 (x2 + y2 +z2) .(12+12+12) (0,5đ)
 x2 + y2 + z2 = 669 (0,25đ)
Vậy GTNN của P là : 669 (0,25đ)
Câu 4(3đ): Gọi số giải nhất, nhì, ba lần lượt là x,y,z 
Ta có ĐK : x,y,z N (0,5đ)
Theo đề ra ta có :
	2(x+1) = y - 1 
	4(x-3) = y +3 (0,5đ)
	z = 
	2x - y = - 3 (1)
	4x - y = 15 (2) (0,5đ)
	(x+y) (3)
Lấy (2) - (1) ta được 2x = 18 x = 9 (0,25đ)
Thay x = 9 vào (1) y = 2.9 + 3 = 21 (0,25đ)
Thay x = 9, y = 21 vào (3) (3) (9+21)
 z = =12 (0,5đ)
Vậy : 	x = 9 
	y = 21 (0,25đ)
	z = 12 (0,25đ) Đáp số : Số giải nhất là 9 
	Số giải nhì là 21
	Số giải ba là 12 
Câu 5(5đ) : Vẽ hình cân đối . GT- KL (0,5đ) E C 
(1đ)a, ABD và ECD có : 	
 E = A = 900 K
 ADB = EDC (đồng dạng) 
 ABD ECD F A B
(0,5đ)b, Tứ giác ABCE nội tiếp vì BAC = BEC = 1v
(1đ)c, FBC có : CA và BE là 2 đường cao. Giao điểm D của chúng là trực tâm của tam giác .
 FD BC tại K .
(2đ)d, ABC tại A , có B = 600 nên là nửa tam giác đều có BC = 2a .
Đường cao AH và nửa cạnh là AB . Do đó : 
AC = 
AB = BC = a 
 AHB tại H có B = 600 nên là nửa tam giác đều có AB = a đường cao AH, nửa cạnh BH .
 AH = 
 KEB tại K (chứng minh trên) có B = 600
KFB = 300. Do đó AFD là nửa tam giác đều .
FD = 2AD = 2a 
Vì FAD = FED = 1 nên ADEF nội tiếp đường tròn đường kính FD = 2a .
 R = a
Câu 6 (5đ): Vẽ hình cân đối , viết GT- KL (0,5đ)
a, Vẽ OH AB ; OK A'B' 
Xét 2 vuông OHB và OKA' có 
AB2 = 4R2 - 4 OH2 
A'B'2 = 4R2 - 4OK2 
 AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 (1,5đ)
b, Chứng minh vuông FAA' vuông FBB' có 
	AA' 	= FA2 + FA'2 
	BB'2 	= FB2 + FB'2 
 AA'2 + BB'2 = FA2 + FA'2 + FB2 + FB'2 
 = 4R2 
Tương tự với vuông FAB' vuông FBA' có 
A'B2 + AB'2 = AA'2 + BB'2 = 4R (2đ)
c, Xét vuông FAA' có : IF = 
Do đó IO2 + IF2 = R2 (1đ)
đề số 5
Câu1: Cho hàm số: y =+ 
a.Vẽ đồ thị hàm số
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị x tương ứng
c.Với giá trị nào của x thì y 4
Câu2: Giải các phương trình:
a = 4
b + = -5 – x2 + 6x
c + x-1
Câu3: Rút gọn biểu thức:
a A = (-1)
b B = ++....+ +
Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M ở bên trong hình vẽ thoả mãn MAB=MBA=150
Vẽ tam giác đều ABN ở bên ngoài hình vẽ.
a Tính góc AMN . Chứng minh MD=MN
b Chứng minh tam giác MCD đều
Câu5: Cho hình chóp SABC có SASB; SASC; SBSC.
Biết SA=a; SB+SC = k.. Đặt SB=x
a Tính Vhchóptheo a, k, x
b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn nhất.
đáp án đề số 5
 Câu1: ( 4điểm)
 Câu a: (2đ) 
 4 – 2x nếu x 1
 * Đưa được về hàm số y= 2 nếu 1x3 ( 1đ )
 2x – 4 nếu x3
 * Vẽ được đồ thị hàm số như hình vẽ : 1 điểm
 Câu b: 1điểm
 Dùng đồ thị tìm được 
 Min y = 2 1x3 
 Câu c: 1 điểm
 Dùng đồ thị biết y4 x0; x4
 Câu2: Mỗi pt giải đúng: 1,5 điểm
 a/ = 4
 = 4
 = 4 ( 0,5đ)
 3 –2x = 4 hoặc 3 – 2x =-4
	x = -1/2 hoặc x= 7/2( 0,75đ)
Trả lời nghiệm của pt (0,25đ) 
b/ += -5 –x2+6x
Viết được: =1
 =3 (0,75đ)
 -5 –x2+6x= -(x-3)2 + 4 4
 =1 
Để pt có nghiệm thì =3 x=3(1đ)
 -5 –x2+6x = 4
 Nghiệm của pt là: x=3 (0,25đ)
 c/ = x-1
 =x-1
 = x-1 ( Vì 0 do x1
 (1-) = 0
 x =1; x=2 ( Thoả mãn đk) ( 1đ)
 Nghiệm của pt là x=1;x=2 (0,25đ)
 Câu3: (4điểm)
 a Biến đổi được A = (-1)(+1)=2 (2đ)
 b Đưa ra được đẳng thức vận dụng và CM
 =-(0,75đ)
 áp dụng: 
 B= + +
 = -+-+ ... + -
 =-= (1,25đ)
Câu4: (3,5điểm)	 B	 C
 Câu a:(2đ)
 * CM được DAMN=DBMN(c.c.c)
 Để suy ra AMN = 1/2 AMB=1/2 (1800 – 2MAB) N M
 Hay AMN = 1/2(1800-2.150) = 750 (1đ)
 CM được DAMN=DAMD(c.g.c) ( 1đ) A D
 Để suy ra MD =MN
 Câub: (1,5đ)
 DBMN=DBMC(c.g.c)
 Suy ra : MC = MD
 DMCD cân tại M
 Tính được góc MCD = 600 để suy ra DMCD đều
Câu5: (4điểm)
Câu a: (2đ)
 Vì SA^ SB, SA^ SC A
 Nếu SA ^ mp(SBC)( 1đ)	 B
	 SA là đường cao của hình chóp a x
Ta có: V = 1/3SA. 1/2SB.SC (1đ)
=1/6ax(k-x)
Câu b: ( 2đ)	 S
Ta thấy: x + ( k-x) = k không đổi
Nên x( k-x) lớn nhất khi và chỉ khi x= k-x
x= k/2 ( 1đ)
Khi đó thể tích hình chóp lớn nhất bằng	 C
MaxV = 1/6 . a.k/2.k/2 = 1/24ak2
Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi SB = SC = k/2 ( 1đ)
Chú ý: Mọi cách giải thích khác đều được điểm tối đa
đề số 6
Câu 1(2đ)
Cho x = 
Tính giá trị của biểu thức : 	A = x3 + 3x – 14
Câu 2(2đ) :
	Cho phân thức : 	B = 
Tìm các giá trị của x để B = 0.
Rút gọn B.
Câu 3(2đ) : Cho phương trình : x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b
	 phương trình :	 x2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm là b và c
 (1)
	Chứng minh hệ thức : (b-a)(b-c) = pq – 6
 (2)
Câu 4(2đ) : Cho hệ phương trình : 	(m là tham số)
Giải và biện luận hệ theo m.
Với giá trị nào của số nguyên m hệ có nghiệm (x,y) với x, y là các số nguyên dương.
Câu 5(2đ) : Giải phương trình : 
Câu 6(2đ) : Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho tam giác ABC có các đường cao có phương trình là : y = -x + 3 và y = 3x + 1. Đỉnh A có toạ độ là (2;4). Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Câu 7(2đ) : Với a>0 ; b>0 cho trước và x,y>0 thay đổi sao cho : 
	. Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 8(2đ) : Cho tam giác vuông ABC (Â= 900) có đường cao AH. Gọi trung điểm của BH là P. Trung điểm của AH là Q. 
Chứng minh : AP CQ. 
Câu 9(3đ) : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn ( M khác A, B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn tâm M.
Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O).
Chứng minh tổng AC+BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD
Lờy điểm N có định trên (O) . Gọi I là trung điểm cuả MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tính quỹ tích của P.
Câu 10(1đ) : Hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm đường cao SH của hình chóp.
	Chứng minh rằng : AOB = BOC = COA = 900.
đáp án đề số 6
Câu 1: Từ : x = 
 : x3=7+5- 3.1.x.
 	x3 = 7+5
 x3 = 
 x3 = 14 – 3x
 x3 + 3x – 14 = 0 Vậy A = 0
Câu 2: 1. (1,5đ) :
* Đk XĐ : x2 + 2x – 8 0 (x-2)(x+4) 0 x 2 và x-4
* Để B = 0 thì 
 xét : x5 – 2x4 + 2x3 – 4x2 –3x +6 =0 (x-2)(x4+2x2-3) = 0
 (x-2)[(x2+1)2 – 4] = 0 (x-2)(x2+3)(x-1)(x+1) = 0
 x = 2 ; x = 1 ; x = -1.
 Kết hợp với điều kiện thì : x = 1
 Vậy để B = 0 thì x = 1.
(0,5đ) :
 B = 
Câu 3: Theo định lý Vi ét ta có : và 
 (a+b)(b+c) = p.q
 ab + ac + b2 + bc = pq
 b2 – bc – ab + ac = pq – 2ab – 2bc
 (b-c)(b-a) = pq - 6 
Câu 4: (1đ) :
 1. Ta có : x = 4 – my. Thay vào Pt (1) ta có : (4-m2)y = 10 – 5m.
Với m 
 Ta có : 
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất : ; 
Với m = 2 hệ trở thành : 
Hệ này có vô số nghiệm.
Với m = -2 hệ trở thành : 
Hệ này vô nghiệm.
(1đ) :
* Khi hệ có nghiệm duy nhất : ; 
 Để y nguyên dương thì m+2 là ước nguyên dương của 5
 khi m = -1 x = 9 và y = 5 ( thoả mãn đk)
 khi m = 3 x = 1 và y = 1 ( thoả mãn đk )
* Khi m = 2 hệ có vô số nghiệm thoả mãn x + 2y = 4
 x = 4 – 2y mà x > 0 4 – 2y > 0 y < 2
 mà y nguyên dương y = 1 và x = 2
Câu 5: ĐkXĐ : x 
 phương trình đã cho tương đương với : 
 (1)
Đặt : u = Đk : 
khi đó (1) 
 (2)
Ta có bảng sau :
u
- 2 3 +
 - u + 2 0 u – 2 
 u - 2
 - u + 3
 -u + 3 0 u – 3
PT
- 2u + 5 = 1
 1 = 1
 2u – 5 = 1
Nghiệm
 u = 2
 u = 3
Nghiệm của phương trình (2) là tức là x sao cho
 Vậy phương trình đã cho là : 
Câu 6: Ta thấy A không thuộc hai đường cao có phương trình đã cho vì toạ độ của A không nghiệm đúng hai phương trình đã cho . Suy ra hai đường cao này phải kẻ tại B và C.
Giả sử đường cao BH có phương trình : y = - x + 3
 đường cao CK có phương trình : y = 3x + 1
* Cạnh AC BH và qua A(2;4) nên phương trình có dạng :
 y = ax + b trong đó : a = 1 và 4 = 2a + b suy ra b = 2
 : (AC) : y = x + 2
 AC và CK cắt nhau tại C nên toạ độ điểm C là nghiệm của hệ :
* Cạnh AB CK và qua A(2,4) nên phương trình có dạng :
 y = ax + b trong đó : a.3 = -1 
 và 4 = 2a + b 
 (AB) : y = 
 AB và BH cắt nhau tại B nên toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:
* Từ toạ độ điểm B và C ta có phương trình của BC có dạng :
 y = ax + b trong đó : a, b thoả mãn :

Tài liệu đính kèm:

  • docTong_hop_de_thi_hsg_toan_9_cuc_hay.doc