Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9 (Phần Đại số mở rộng)

A- ĐỘC ĐÁO VỀ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1) Tìm a,b,c để phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x = 
 Giải
 X = => ( x + 1 )2 = 2 
 => x2 + 2x - 1 = 0.
Đồng nhất với phương trình đã cho => a = 1, b = 2, c = -1
2) Tìm a,b để phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm là x = .
Giải
Trục căn thức ta được x = 6 -
Biến đổi như bài 1, ta tìm được a = -12 và b = 1.
3) CMR x = là nghiệm của phương trình x4 - 10x2 + 1 = 0.
Giải 
 X = => x2 = 5 - 2
 => (5 - x2)2 = (2)2
 => x4 - 10x2 + 1 = 0. => ĐPCM.
4) CMR x = là nghiệm của phương trình 
 X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = 0
Giải 
 x = => (x - )3 = ( )3
 => x3 -3x2 + 6x - 2 = 2
 => (x3 + 6x - 2)2 = [(3x2 + 2) ]2
 => X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = 0 => ĐPCM
 * chú ý (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Em bảo anh đi đi- Sao anh không đứng lại!
Em bảo anh đừng đợi - Sao anh buồn, đi ngay!
Hãy cố gắng trở thành người có giá trị ( Anhxtanh)
5) CMR x = là nghiệm phương trình 2x2 - 2x - 1 = 0.
Giải
Biến đổi x = . 
Tiếp tục như các bài trên => ĐPCM
6) Tìm a,b,c,d để phương trình x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghiệm là 
 X = 1 + + 
Giải
 X = 1 + + => ( x - 1 )2 = ( + )2
 => x2 -2x + 1 = 5 + 2
 => ( x2 - 2x - 4)2 = ( 2)2
 => x4 - 4x3 - 4x2 + 16x - 8 = 0.
 Đồng nhất hệ số => a = b = -4, c = 16 và d = - 8. 
7) CMR x = - là nghiệm của phương trình
 X4 - 16x2 + 32 = 0.
Giải Gt => x2 = 8 - 2 - 2
 => = 
 => ()2 = ()2 = .= 8
 => X4 - 16x2 + 32 = 0 = ĐPCM
Em bảo anh chia tay - Sao anh không bối rối!
Em giận anh, em dỗi!- Sao anh không làm lành!
Đường là do đi lại nhiều mà thành. ( Lỗ Tấn)
8) Tìm a,b, c để phương trình ax4 + bx2 + c = 0 có nghiệm là 
 x = 
Giải 
Tương tự các bài trên , tính được a = 1, b = -24 và c = 104
9) CMR x = là nghiệm phương trình x9 - 3x6 + 3x3 - 3 = 0.
10) CMR x = là nghiệm của phương trình
 X4 - 4 x3 + 20x2 - 24 = 0.
11) Tìm các số hữa tỉ a,b để x = - 1 là nghiệm của phương trình
 X3 + ax2 + bx + 1 = 0.
Giải
Ta không áp dụng được chiến thuật "bình phương làm mất căn" như các bài trước được vì làm như vậy bậc cao nhất của x luôn chẵn trong khi phương trình bậc lẻ!
Thay giá trị đã cho của x vào phương trình ta có:
 ( - 1)3 + a( - 1 )2 + b( - 1) + 1 = 0.
 Biến đổi => ( 5 - 2a + b) + 3a - b - 6 = 0.
Vì a,b là số hữa tỉ và là số vô tỉ nên xảy ra đồng thời 5 - 2a + b = 0
 và 3a - b - 6 = 0.
 Từ đó tìm được a = 1, b = -3
12) Tìm các số hữa tỉ a,b để x = 2 + là nghiệm của phương trình
 X3 + ax2 + bx + 1 = 0. ( Tương tự ta được a = - 5, b = 3)
Sao anh ngốc thế anh- Em ghét anh quá thể!
Sao mà anh ngốc thế - Không nhìn vào mắt em!!
 (Định Hải)
- Điều kì diệu của một cây ăn quả, nằm lặng lẽ trong một hạt giống.
 ( Ching – Nin – Chu)
13) CMR x = + là nghiệm phương trình 
 X3 - 3x -18 = 0
 Giải 
Đặt a = , b = 
 => a + b = x , a.b = 1 và a3 + b3 = 18
 X3 = ( a + b)3 = a3 + b3 + 3ab( a + b ) = 18 + 3x
 => X3 - 3x -18 = 0 => ĐPCM
14) CMR là một số nguyên.
Giải
 Đặt x = 
 CM tương tự bài 13, ta có x là nghiệm của phương trình x3 + 5x - 6 = 0 (*) 
 Nhẩm nghiệm => x = 1 là nghiệm của pt (*).
 => phương trình (*) ó ( x - 1 )( x2 + x + 6 ) = 0
 Vì đa thức x2 + x + 6 không có nghiệm thực nên x = 1 là nghiệm duy nhất.
 => ĐPCM.
15) CMR: a) = 7 b) = -1 
Nhớ hôm hai đứa xa trường
Tớ giận đằng ấy, con đường nhiều mưa
Thế mà đằng ấy Ngố chưa!
Cứ nài nỉ tớ, đòi đưa tớ về 
 ( Kỷ niệm trong veo – Vân Khánh)
Trên núi cao có Ốc sên và chim đại bàng(Ban-zax)
16) CMR x = là nghiệm phương trình 2x3 - 4x2 + x + 1 = 0. (1)
Giải 
Tương tự bài 5 ta chứng minh được x là nghiệm pt 2x2 - 2x - 1 = 0 (2)
 Thực hiện phép chia đa thức (2x3 - 4x2 + x + 1) cho đa thức (2x2 - 2x - 1)
được thương là ( x - 1)
 => pt (1) (2x2 - 2x - 1) ( x - 1) = 0 
 => nghiệm của pt (2) cũng là nghiệm của pt (1). Theo bài 5, ta có ĐPCM
17) CMR x = là nghiệm của phương trình 
 X7 - 10x5 + x4 + x3 - 10x2 + 1 = 0. (1)
Giải 
Ta chứng minh được x = là nghiệm pt x4 - 10x2 + 1 = 0 ( 2 )
Đa thức vế trái của (1) chia hết cho đa thức vế trái của pt (2) 
=> Nghiệm của pt (2) cũng là nghiệm của pt ( 1) => ĐPCM
18) Tìm a, b, c để phương trình x3 - ax -1 có hai nghiệm là nghiệm của phương trình x2 - bx + c = 0
18) Tính giá trị của biểu thức A = 
 Với x là nghiệm của phương trình (1)
Giải Từ pt (1) => x2 -10x -1 = 0.
Thực hiện chia đa thức ở tử và mẫu của phân thức A cho ( x2 - 10x - 1) ta biến đổi được như sau: A = 
Mênh mông dưới mặt trời hồng
Làng em có một cánh đồng đầy hoa
Cánh cò bay lả bay la
Bay từ ruộng lúa bay ra cánh đồng!
Thành công là tất yếu của lao động( Anhx-tanh)
19) Cho x là nghiệm của phương trình x3 - x2 + x - 2 = 0.
 Chứng minh < 2
Giải 
Thực hiện như bài 18 ta tính được VT = 2 - < 2 ( ĐPCM)
B) MỞ RỘNG VỀ ĐỊNH LÍ VI-ÉT.
20) Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 có 4 nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4.
 Tính A = x1.x2.x3.x4 và B = x1+ x2 + x3 +x4
Giải
Đặt t = x2 => t > 0 vì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.
Thay vào pt ta được at2 + bt + c = 0 (*)
Pt bậc 4 của x có 4 nghiệm phân biệt nên pt (*) có 2 nghiệm dương t1,t2
thoả mãn t1.t2 = và t1 + t2 = 
Không mất tổng quát, giả sử x1 = , x2 = , x3 = -, x4 = -
=> A = x1.x2.x3.x4 = t1.t2 = và B = 0.
Quê hương là cầu tre nhỏ
Mẹ về nón lá nghiêng che
 Quê hương là đêm trăng tỏ
 Hoa cau rụng trắng thềm hè....
 ( Quê hương – Đỗ Trung Quân)
Tình yêu là những gì tinh hoa nhất của một nhân cách(Paxcal)
21) Cho phương trình x2 - 4ax + 2a2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2.
 CMR: (x1)2 + 4ax2 + 2a2 > 0.
Giải 
Pt đã cho có hai nghiệm phân biệt nên = 2a2 > 0 => a 0.
Ta có x1 là nghiệm của phương trình nên (x1)2 - 4ax1 + 2a2 = 0
=> (x1)2 + 4ax2 + 2a2 = ( (x1)2 - 4ax1 + 2a2 ) + 4ax1 + 4ax2 = 4a( x1 + x2 )
 = 4a. 4a = 16a2 > 0 ( vì a 0)
22) Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 - 5mx - 4m = 0.
 CMR: (x1)2 + 5mx2 - 4m > 0
23) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - x - 1 = 0
 Tính giá trị của biểu thức A = (x1)5 + 5x2.
Giải
 Ta thấy hệ số của hai nghiệm khác nhau, số mũ của hai nghiệm cũng khác nhau hoàn toàn! Các bạn học sinh nên chú ý phép biến đổi ở đây để thấy sự thú vị của bài toán.
Trong biểu thức A, số mũ của x1 là 5 nên cần phải đưa về mũ 1 ( cùng mũ với x2)
 X 1 là nghiệm phương trình nên (x1)2 - x1 - 1 = 0
 => (x1)2 = x1 + 1
 => (x1)4 = (x1)2 + 2x1 + 1 = (x1 + 1) + 2x1 + 1 = 3x1 + 2
 => (x1)5 = x1.(x1)4 = x1.( 3x1 + 2) = 3(x1)2 + 2x1 = 3.( x1 + 1) + 2x1
 = 5x1 + 3 
 => A = 5x1 + 3 + 5x2 = 5(x1 + x2) + 3 = 5 + 3 = 8
 Êm mềm sợi tóc mai – Như tơ trời tháng chín
 Long lanh vầng trăng sáng – Trong mắt em thu nào
 Mùa hoa ơi mùa hoa – Nồng nàn con đường vắng....
 ( Những mùa trăng ca múa)
Hướng về mặt trời, bóng tối sẽ lùi lại sau lưng.
24) Cho phương trình x2 - ax + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2.
Tìm a để (x1)3 + (a2 - 1)x2 + a = 0.
Giải 
Tính toán như trên ta tìm được các giá trị của a là 0, - 1, 1.
Các giá trị đó đều không thoả mãn điều kiện phương trình của x có hai nghiệm thực phân biệt.Vậy a = 
25) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - x - 1 = 0
 Tính giá trị của biểu thức A = (x2)11 + 89x1.
Giải
Tương tự bài 23 ta được A = 144. Chú ý rằng các bạn nên bình phương giá trị (x2)5
Làm như vậy sẽ nhanh được mũ cao hơn.
26) Gọi x1,x2,x3,x4 là tất cả các nghiệm của phương trình 
 (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 1 (1)
 Tính A = x1.x2.x3.x4 
Giải 
 Pt (*) ( x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 8) - 1 = 0.
 Đặt t = x2 + 8x + 7 
 => t2 + t - 1 = 0 (2)
Giả thiết => phương trình (2) có hai nghiệm t1 và t2 .
 Vi-et => t1.t2 = t1+ t2 = -1
 Ta có t1 = x2 + 8x + 7 => x2 + 8x + 7 - t1 = 0 (3)
 T2 = x2 + 8x + 7 => x2 + 8x + 7 - t2 = 0 (4)
Không giảm tổng quát , gọi x1, x2 là nghiệm của (3) => x1.x2 = 7 - t1
 x3,, x4 là nghiệm của ( 4) => x3.x4 = 7 - t2
A = x1.x2.x3.x4 = (7 - t1)( 7 - t2) = 49 -7(t1+ t2) + t1.t2 = 55
Tài năng, 1% ở bẩm sinh, 99% ở nỗ lực ( Ê- đi – sơn )
27) Giả sử pt ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 
 ax1 + bx2 + c = 0.
 CMR : a2c + ac2 + b3 - 3abc = 0
Giải
Giả thiết => x1 + x2 + = 0 ( Vì a khác 0)
 x1 - ( x1 + x2 ).x2 + x1.x2 = 0
 x1 - (x2)2 = 0
 Kết hợp với x1 + x2 = - và x1.x2 = 
Ta tính được x1 = và x2 = 
 Thay vào hệ thức x1 + x2 = - rồi biến đổi ta được a2c + ac2 + b3 - 3abc = 0
28) Tìm giá trị của m để phương trình (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện x1.x2.x3.x4 = m.
Giải
Pt ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = m
Đặt t = x2 + 5x + 4
 = > pt : t2 + 2t - m = 0 có hai ngiệm t1 và t2 => m > -1/2 
 Vi-et => t1+ t2 = -2 , t1.t2 = - m.
 Ta có t1 = x2 + 5x + 4 => x2 + 5x + 4 - t1 = 0 (3)
 T2 = x2 + 5x + 4 => x2 + 5x + 4 - t2 = 0 (4)
Không giảm tổng quát , gọi x1, x2 là nghiệm của (3) => x1.x2 = 4 - t1
 x3,, x4 là nghiệm của ( 4) => x3.x4 = 4 - t2
=>x1.x2.x3.x4 = (4 - t1)( 4 - t2) = 16 - 4(t1+ t2) + t1.t2 = 24 - m
Kết hợp với yêu cầu của bài toán ta tìm được m = 12. ( thoả mãn đk)
- Hoạt động tạo ra thói quen, thói quen tạo ra số phận. 
29) Tìm m để phương trình x(x -1)(x - 4)(x - 5) = m có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện:
 = 10.
Giải
Pt ( x2 - 5x )( x2 - 5x + 4) = m
 Đặt t = x2 - 5x 
 = > pt : t2 + 4t - m = 0 có hai ngiệm t1 và t2 => m > - 4
 Vi-et => t1+ t2 = - 4 , t1.t2 = - m.
 Ta có t1 = x2 - 5x => x2 - 5x + t1 = 0 (3)
 T1 = x2 - 5x => x2 - 5x + t2 = 0 (4)
Giả sử x1, x2 là nghiệm của (3) => x1.x2 = t1 , x1 + x2 = 5
 x3,, x4 là nghiệm của ( 4) => x3.x4 = t2, x3 + x4 = 5
ta có = - 10 = 10
 = 10
 (t1+ t2)/ (t1.t2) = 2 - 4/ (-m) = 2 => m = 2.
30) Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình x2 + x - 1 = 0.
Tính P = 
 Giải
Như các bài trước, ta tính được (x1)8 = 12 -20x1 + (x1)2 => P = 5
-Tương lai của các con là công trình của các bà mẹ. ( Napoleon) 
31) Tìm m để phương trình x3 - m(x + 1) + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt 
x1, x2 , x3 thoả mãn điều kiện (x1)3 + (x2)3 + (x3)3 = 3
Giải
Nhẩm nghiệm => x1 = - 1 là nghiệm của phương trình đã cho 
=> pt ( x + 1)(x2 - x + 1 - m) = 0 
 Theo đầu bài thì phương trình x2 - x + 1 - m = 0 có hai nghiệm x2 và x3
 => m > 3/4 
 Ta có x2 + x3 = 1, x2.x3 = 1 - m
 (x1)3 + (x2)3 + (x3)3 = 3
 - 1 + ( x2 + x3)( x22 - x3.x2 + x32) = 3
 ( x2 + x3)2 - 3x2.x3 = 4 
 => x2.x3 = - 1 => 1 - m = -1=> m = 2 ( thoả mãn điều kiện)
32) Tìm m để phương trình x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0 có 4 nghiệm 
phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện (x1)4 + (x2)4 + (x3)4 +(x4)4 = 4.
Giải 
ĐK của bài toán cho ta 2( t12 + t22) = 4
Với t1, t2 là nghiệm của phương trình t2 -2(m + 1)t + 2m + 1 = 0
=> m = 3 ( loại m = 0)
33) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2. 
 Đặt Sn = x1n + x2n . Chứng minh rằng aSn+2 + bSn+1 + cS = 0
Giải Cách 1: aSn+2 + bSn+1 + cS = 0 Sn+2 + Sn+1 + S = 0 ( vì a khác 0 )
 x1n+2 + x2n+2 - ( x1 + x2) (x1n+1 + x2n+1) + x1.x2(x1n + x2n) = 0
 0 = 0 ( Đúng) => ĐPCM
 Đẹp biết bao khi sống cho điều mình yêu mến. ( Kichelleu)
Cách 2: aSn+2 + bSn+1 + cS = a(x1n+2 + x2n+2) + b(x1n+1 + x2n+1) + c(x1n + x2n)
 = x1n( ax12 + bx1 + c) + x2n( ax22 + bx2 + c)
 = x1n . 0 + x2n . 0 = 0 ( ĐPCM)
34) Cho x = , y = . Tính x5 + y5.
Giải Đặt Sn = xn + yn
Ta có x.y = 1 và ( x+ y)2 = 36 = > S 1 = x + y = 6 
=> x, y là nghiệm của phương trình X2 - 6X + 1 = 0.
=> Sn+2 - 6Sn+1 + S = 0 ( Theo bài 33)
=> Sn+2 = 6Sn+1 - S 
Ta có ( x+ y)2 = 36 = > S 1 = x + y = 6 
 => S2 = x2 + y2 = ( x + y)2 -2xy = 34
 => S3 = 6S2 - S1 = 6.34 - 1 = 198
 => S5 = S2.S3 - x2.y2(x + y) = 34.198 - 6 = 6732
35) Tìm phương trình bậc 7 có các hệ số nguyên và có nghiệm là 
 X = 
Giải như trên ta được phương trình 10x7 - 70x5 + 140x3 -70x - 29 = 0
36) CMR ( 2 + )n có phần nguyên là số lẻ với mọi số nguyên dương n. 
Giải Đặt x = 2 + , y = 2 - 
 x + y = 4, x.y = 1 => x, y là nghiệm của phương trình X2 - 4X + 1 = 0
 Đặt Sn = xn + yn => Sn+2 - 4Sn+1 + S = 0 => Sn+2 = 4Sn+1 - S (1)
 S1 = x + y = 4
 S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 14 . Kết hợp (1) => Sn là chẵn với mọi n.
 Ta có 0 0 < yn < 1
 => xn + yn - 1 < xn < xn + yn 
 => Sn - 1 < xn < Sn
 => Phần nguyên của xn là Sn - 1. Vì Sn chẵn => ĐPCM.
37) Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá ( 2 + )8. Tương tự bài 36
Tiền có thể mua được chiếc giường nhưng chưa chắc mua được giấc ngủ.(NN Trung Hoa)
Một số bài toán hay:
1) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
 Chứng minh rằng: nếu a > 0 thì a + c > b.
 Đặt f(x) = ax2 + bx + c . Chứng minh a.f(x) > 0 => a > 0 thì f(-1) > 0.
 2) Cho . Tính giá trị của biểu thức A = x4 – 8046x2 + 2013
 3) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức ( Đặt a = 2011)
4) Trong hệ trục tọa độ xOy cho các điểm O(0; 0), A(0; 4) và B(6 ;0). Viết phương trình đường phân giác của góc OAB.
 Trên AB xác định tọa độ điểm C để AO = AC. Đường phân giác của AOB là đường qua A và vuông góc với OC.
5) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, trong đó a là độ dài cạnh huyền. Chứng minh rằng : a3 > b3 + c3 và 
6) Cho . Chứng minh rằng: 
7) Cho phương trình : x2 - a.x -.a2 = 0; (a 0) có hai nghiệm x1 và x2. 
 Tìm phần nguyên của biểu thức A = (x1)4 + (x2)4.
 Chúc các em học sinh tìm thấy nhiều niềm vui trong học tập, sáng tạo. Rất mong ý kiến trao đổi của mọi người về bài viết. Cảm ơn bạn yêu toán đã đọc bài viết này!