Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 31

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP  ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 ư LẦN 1 
THPT Chuyờn Nguyễn Quang Diờu  Mụn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( ) 3 2 2 1  1 1 
3 
y x mx m m x = - + - + +  (1). 
a)  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị  ( ) C  của hàm số (1) khi  2 m =  . 
b) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m  để  hàm số (1) đạt cực đại tại  1 x =  . 
Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh ( ) ( ) 2 3  3 log 1 log 2 1 2 x x - + - =  . 
Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 
3 
2 
2 
2 1 
5 4 
x 
I dx 
x x 
+ 
= 
- + ũ  . 
Cõu 4 (1,0 điểm). 
a) Cho số phức  z  thỏa món điều kiện ( )  2 2 3 z (4 ) (1 3 ) i i z i + + + = - +  . Tỡm phần thực và phần ảo của  z . 
b) Một chi đoàn cú 15 đoàn viờn trong đú cú 7 nam và 8 nữ. Người ta chọn ra 4 người trong chi đoàn đú để 
lập một đội thanh niờn tỡnh nguyện. Tớnh xỏc suất để trong 4 người được chọn cú ớt nhất 1 nữ. 
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp  . S ABCD  cú đỏy  ABCD  là hỡnh thoi cú cạnh bằng  3 a  ;  ∙  0 120 BAD =  và 
cạnh bờn  SA  vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Biết rằng số đo của gúc giữa hai mặt phẳng  ( ) SBC  và  ( ) ABCD 
bằng  0 60  . Tớnh theo  a  thể tớch của khối chúp  . S ABCD  và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng  BD  và  SC . 
Cõu 6  (1,0 điểm). Trong khụng  gian với hệ  tọa độ  Oxyz ,  cho mặt phẳng  ( ) : 2 3 1 0 P x y z - - + =  và điểm 
( ) 3; 5; 2 I - -  . Viết phương trỡnh mặt cầu tõm  I  và tiếp xỳc với mặt phẳng ( ) P  . Tỡm tọa độ tiếp điểm. 
Cõu  7  (1,0  điểm).  Trong  mặt  phẳng  với  hệ  tọa  độ  Oxy ,  cho  đường  trũn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 2 5 C x y - + - =  và 
đường thẳng ( ) : 1 0 x y D + + =  . Từ điểm  A  thuộc ( ) D  kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xỳc với ( ) C  tại  B 
và C . Tỡm tọa độ điểm  A  biết rằng diện tớch tam giỏc  ABC  bằng 8 . 
Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh 
( ) 
( ) ( ) 
2 2 2 
2 2 2 
2 2 4 1 1 
4 1 2 1 6 
x y y x x 
x y x x 
ỡ ù + + = + + ù ù ớ ù ù + + + = ù ợ 
. 
Cõu 9 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực khụng õm a, b, c thỏa món { } min , , c a b c =  . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
2 2 2 2 
1 1 
P a b c 
a c b c 
= + + + + 
+ + 
. 
ưưưưưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưưưưư 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tờn thớ sinh:..............................................; Số bỏo danh:.............................. 
Cảm ơn thầy Huỳnh Chớ Hào chủ nhõn  đó chia sẻ đến www.laisac.page.tl
SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP                                              ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
THPT Chuyờn Nguyễn Quang Diờu            ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 ư LẦN 1 
Mụn: TOÁN; Khối: A+B 
(Đỏp ỏn – thang điểm gồm 01 trang) 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
Cõu  Đỏp ỏn  Điểm 
1 
(2,0 điểm)  a.(1,0 điểm). ( ) 3 2 2 
1 
1 1 
3 
y x mx m m x = - + - + +  (1) 
Với  2 m =  , hàm số trở thành:  3 2 
1 
2 3 1 
3 
y x x x = - + + 
♥  Tập xỏc định:  D = Ă 
♥  Sự biến thiờn: 
ￚ Chiều biến thiờn:  2 ' 4 3 y x x = - +  ;  ' 0 1 y x = Û =  hoặc  3 x =  . 
0.25 
+ Hàm số nghịch biến trờn khoảng ( ) 1;3  ; 
+ Đồng biến trờn cỏc khoảng ( ) ;1 -Ơ  và ( ) 3;+Ơ  . 
ￚ Cực trị: 
+ Hàm số đạt cực tiểu tại  3 x =  ; yCT  (3) 1 y = =  ; 
+ Hàm số đạt cực đại tại  1 x =  ; yCĐ 
7 
(1) 
3 
y = =  . 
ￚ Giới hạn:  lim ; lim 
x x 
y y 
đ-Ơ đ+Ơ 
= -Ơ = +Ơ 
0.25 
ￚ Bảng biến thiờn:  0.25 
♥  Đồ thị:  0.25 
b.(1,0 điểm). Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m  để  hàm số  (1) đạt cực đại tại  1 x =  . 
ã Tập xỏc định:  D = Ă 
ã Đạo hàm:  2 2 ' 2 1 y x mx m m = - + - + 
0.25 
♥ Điều kiện cần: 
Hàm số đạt cực đại tại  1 x = ị  '(1) 0 y = 
0.25
Û  2  3 2 0 m m - + = Û 
1 
2 
m 
m 
ộ = 
ờ 
ờ = ở 
♥ Điều kiện đủ: 
Với  1 m =  , ta cú:  2 ' 2 1 = - + y x x  ,  ' 0 1 = Û = y x 
Bảng biến thiờn 
x -Ơ  1 +Ơ 
' y +  0 + 
y 
Từ BBT ta suy ra  1 m =  khụng thỏa. 
0.25 
Với  2 = m  , ta cú:  2 ' 4 3 = - + y x x  , 
1 
' 0 
3 
ộ = 
ờ = Û 
ờ = ở 
x 
y 
x 
Bảng biến thiờn 
x -Ơ  1  3 +Ơ 
' y +  0 -  0 + 
y  CĐ 
CT 
Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại  1 = x  . 
♥  Vậy hàm số đạt cực đại tại  1 x =  khi  2 m =  . 
0.25 
2 
(1,0 điểm) 
Giải phương trỡnh ( ) ( ) 2 3  3 log 1 log 2 1 2 x x - + - =  (1) 
♥  Điều kiện: 
1 1 0 
1 
2 1 0 
2 
x x 
x  x 
ỡ ạ ù ỡ ù - ạ ù ù ù Û ớ ớ ù ù - > > ù ợ ù ù ợ 
0.25 
♥  Khi đú: ( ) ( ) 3 3 1 log 1 log 2 1 1 x x Û - + - = 
( ) 3 log 1 2 1 1 x x ộ ự Û - - = ở ỷ 
( ) 1 2 1 3 x x Û - - =  (2) 
0.25 
ã Với 
1 
1 
2 
x < <  thỡ ( ) ( )( )  2 2 1 2 1 3 2 3 4 0 x x x x Û - - = Û + + =  : pt vụ nghiệm  0.25 
ã Với  1 x >  thỡ ( ) ( )( )  2  1 2 1 2 1 3 2 3 2 0 2 
2 
x x x x x x Û - - = Û - - = Û = - Ú = 
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm phương trỡnh đó cho là  2 x =  . 
0.25 
3 
(1,0 điểm)  Tớnh tớch phõn 
3 
2 
2 
2 1 
5 4 
x 
I dx 
x x 
+ 
= 
- + ũ  . 
♥  Ta cú: 
( ) ( ) 2 
2 1 2 1 3 1 
5 4 1 4 4 1 
x x 
x x x x x x 
+ + 
= = - 
- + - - - - 
0.25 
♥  Do đú: 
3 3 
2 2 
1 1 
3 
4 1 
I dx dx 
x x 
= - 
- - ũ ũ 
0.25 
3 3 
2 2 
3ln 4 ln 1 x x = - - -  0.25 
4 ln 2 = -  .  0.25 
4  a.(0,5 điểm). Cho số phức  z  thỏa món điều kiện ( )  2 2 3 z (4 ) (1 3 ) i i z i + + + = - +  . Tỡm phần
(1,0 điểm)  thực và phần ảo của  z . 
♥  Đặt  z a bi = +  , ( ) , a b ẻ Ă  ta cú: 
( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 3 z (4 ) (1 3 ) 2 3 (4 ) (1 3 ) i i z i i a bi i a bi i + + + = - + Û + + + + - = - + 
( ) ( ) 6 2 4 2 8 6 a b a b i i Û - + - = - 
0.25 
6 2 8 7 
4 2 6 17 
a b a 
a b b 
ỡ ỡ - = = ù ù ù ù Û Û ớ ớ ù ù - = - = ù ù ợ ợ 
♥  Vậy số phức  z  cần tỡm cú phần thực bằng  7  và phần ảo bằng 17 . 
0.25 
b.(0,5 điểm). Một chi đoàn cú 15 đoàn viờn trong đú cú 7 nam và 8 nữ. Người ta chọn ra 4 
người trong chi đoàn đú để lập một đội thanh niờn tỡnh nguyện. Tớnh xỏc suất để trong 4 
người được chọn cú ớt nhất 1 nữ. 
♥  Số phần tử của khụng gian mẫu là W = = 4 15 C 1365 
Gọi A là biến cố "trong 4 người được chọn cú ớt nhất 1 nữ” 
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là W = - = 4 4 A 15 7 C C 1330 
0.25 
♥  Vậy xỏc suất cần tớnh là  (A) 
W 
= = = 
W 
A  1330 38 P 
1365 39 
. 
0.25 
5 
(1,0 điểm) 
Cho hỡnh chúp  . S ABCD  cú đỏy  ABCD  là hỡnh thoi cú cạnh bằng  3 a  ;  ∙  0 120 BAD =  và 
cạnh bờn  SA  vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Biết rằng số đo của gúc giữa hai mặt phẳng 
( ) SBC  và  ( ) ABCD  bằng  0 60  . Tớnh theo  a  thể tớch của khối chúp  . S ABCD  và khoảng 
cỏch giữa hai đường thẳng  BD  và  SC . 
ã Do đỏy  ABCD  là hỡnh thoi cú cạnh bằng  3 a  ;  ∙  0 120 BAD =  nờn cỏc tam giỏc 
, ABC ADC  là cỏc tam giỏc đều cạnh  3 a  . 
Suy ra: 
( ) 
2 
2 3 . 3  3 3 
2 2 
4 2 ABCD ABC 
a  a 
S S D = = = 
ã Gọi  H  là trung điểm của  BC . Suy ra  AH BC ^  SH BC ị ^ 
Do đú ( ) ( ) ∙ ( ) ∙  ∙  0 ; ; 60 SBC ABCD AH SH SHA ộ ự = = = ở ỷ  . 
0.25 
ã  Xột tam giỏc  SAH  ta cú: 
( ) 
0 
3 . 3. 3  3 3 
. tan 60 
2 2 
= = = 
a  a 
SA AH 
ã  Vậy 
2 3 1 1 3 3 3 3 9 
. . . . 
3 3 2 2 4 
= = = ABCD 
a a a 
V S SA  . 
0.25 
ã  Gọi O AC BD = ầ  . Vỡ  DB AC ^  ,  BD SC ^  nờn ( ) BD SAC ^  tại O . 
ã  Kẻ OI SC ^ ị  OI  là đường vuụng gúc chung của  BD  và  SC . 
0.25
ã  Sử dụng hai tam giỏc đồng dạng  ICO  và  ACS  hoặc đường cao của tam giỏc 
SAC suy ra  được 
3 39 
26 
= 
a 
OI  . Vậy ( )  3 39 , 
26 
= 
a 
d BD SC  . 
0.25 
6 
(1,0 điểm) 
Trong  khụng  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  mặt  phẳng  ( ) : 2 3 1 0 P x y z - - + =  và  điểm 
( ) 3; 5; 2 I - -  . Viết phương trỡnh mặt cầu tõm  I  và tiếp xỳc với mặt phẳng ( ) P  . Tỡm tọa độ 
tiếp điểm. 
ã Bỏn kớnh mặt cầu ( ) 
2 2 2 
2.3 ( 5) 3.( 2) 1  18 
;( ) 
14 2 1 3 
R d I P 
- - - - + 
= = = 
+ + 
. 
0.25 
ã Phương trỡnh mặt cầu: ( ) ( ) ( ) 2 2 2  162 3 5 2 
7 
x y z - + + + + =  . 
0.25 
ã Tiếp điểm chớnh là hỡnh chiếu vuụng gúc H  của  I  xuống mặt phẳng ( ) P  đó cho 
ã Đường thẳng  IH  qua  I  và nhận PVT ( ) 2; 1; 3 n = - - 
r 
của mặt phẳng ( ) P  làm 
VTCP cú phương trỡnh là 
3 2 
5 
2 3 
x t 
y t 
z t 
ỡ = + ù ù ù ù = - - ớ ù ù = - - ù ù ợ
( ) t ẻ Ă 
0.25 
ã Tọa độ  H  là nghiệm của hệ phương trỡnh 
3 2 
5 
2 3 
2 3 1 0 
x t 
y t 
z t 
x y z 
ỡ = + ù ù ù ù = - - ù ớ ù = - - ù ù ù - - + = ù ợ 
ã Hệ này cú nghiệm 
9 3 26 13 
, , , 
7 7 7 7 
t x y z = - = = - = 
ã Do đú tiếp điểm  H  cú tọa độ là 
3 26 13 
; ; 
7 7 7 
H 
ổ ử ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 
. 
0.25 
7 
(1,0 điểm) 
Trong mặt phẳng  với  hệ  tọa độ  Oxy ,  cho đường  trũn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 2 5 C x y - + - = 
và đường thẳng ( ) : 1 0 x y D + + =  . Từ điểm  A  thuộc ( ) D  kẻ hai đường thẳng lần 
lượt tiếp xỳc với ( ) C  tại  B  và  C . Tỡm tọa độ điểm  A  biết rằng diện tớch tam giỏc 
ABC  bằng 8 . 
ã ( ) C  cú tõm ( ) 2;2 ,   5 I R =  , ( ) ( ) ; 1 A A a a ẻ D ị - - 
ã Từ tớnh chất tiếp tuyến ị  IA BC ^  tại  H  là trung điểm của  BC . 
Giả sử  , IA m IH n = = ( ) 0 m n > > 
2 2 2 , 5 HA m n BH IB IH n ị = - = - = - 
ã Suy ra: ( )  2 1  . . 5 8 
2 ABC 
S BC AH BH AH m n n D = = = - - =  (1) 
0.25 
ã Trong tam giỏc vuụng  IBA cú  2 
5 
. 5 . BI IH IA m n m 
n 
= Û = Û =  (2) 
0.25
Thay (2) vào (1) ta cú:  2 6 4 2 
5 
5 8 15 139 125 0 n n n n n 
n 
ổ ử ữ ỗ - - = Û - + - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 
( )( ) 2 4 2 1 14 125 0 n n n Û - - + = 
Suy ra  1, 5 n m = =  . 
0.25 
( ) ( ) 
( ) 
( ) 
2 2  2 
2; 3 2 
5 2 3 25 6 0 
3  3;2 
A a 
IA a a a a 
a  A 
ộ - ộ = ờ ờ = Û - + - - = Û + - = Û ị ờ ờ = - - ở ờ ở 
0.25 
8 
(1,0 điểm)  Giải hệ phương trỡnh 
( ) 
( ) ( ) 
2 2 2 
2 2 2 
2 2 4 1 1      (1) 
4 1 2 1 6            (2) 
x y y x x 
x y x x 
ỡ ù + + = + + ù ù ớ ù ù + + + = ù ợ 
. 
♥  Điều kiện:  0 x ³ 
Ta thấy  0 x =  khụng thỏa món phương trỡnh (2) 
Với  0 x >  thỡ ( ) ( ) 2  2 1 1 1 2 1 4 1 1 1 y y  x x 
ổ ử ữ ỗ ữ Û + + = + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 
(3) 
0.25 
♥  Xột hàm số ( ) 2 ( ) 1 1 f t t t = + +  , với  t ẻĂ . 
Ta cú 
2 
2 
2 1 
'( ) 1 0 
1 
t 
f t 
t 
+ 
= + > 
+ 
, với mọi  t ẻĂ . Suy ra ( ) f t  đồng biến trờn Ă . 
Do đú: ( ) ( )  1 1 3 2 2 f y f y 
x x 
ổ ử Û = Û = ỗ ữ 
ố ứ 
0.25 
♥  Thay 
1 
2y 
x 
=  vào phương trỡnh (2) ta được phương trỡnh: 
( ) 3 2 2 1 6 0 x x x x + + + - =  (4) 
Xột hàm số ( ) ( ) 3 2 2 1 6 g x x x x x = + + + -  với ( ) 0; x ẻ +Ơ 
Ta cú ( ) ( ) 
2 
2  5 1 ' 3 1 0, 0; 
x 
g x x x 
x 
+ 
= + + > " ẻ +Ơ  . 
Suy ra ( ) g x  đồng biến trờn ( ) 0;+Ơ 
Do đú: ( ) ( ) ( ) 4 1 1 g x g x Û = Û = 
0.25 
Với 
1 
1 
2 
x y = ị = 
♥  Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( ) ; x y  là  1 1; 
2 
ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 
0.25 
9 
(1,0 điểm) 
Cho cỏc số thực khụng õm a, b, c thỏa món { } min , , c a b c =  . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
2 2 2 2 
1 1 
P a b c 
a c b c 
= + + + + 
+ + 
. 
♥  Ta cú: 
2 2 
2 2 2 2 
4 2 
c c 
a c a ac a ac a 
ổ ử ữ ỗ + Ê + Ê + + = + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 
Tương tự ta cú 
2 
2 2 
2 
c 
b c b 
ổ ử ữ ỗ + Ê + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 
0.25 
♥  Do đú ta cú theo bất đẳng thức Cụưsi thỡ 
( ) 2 2 2 2 2 2 2 
1 1 1 1 8 
2 2 
a c b c  c c a b c 
a b 
+ ³ + ³ 
+ + ổ ử ổ ử + + ữ ữ ỗ ỗ + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ 
Vậy nờn ta cú 
0.25
( ) 2 
8 
P a b c 
a b c 
³ + + + 
+ + 
♥  Đặt  t a b c = + +  với  0 t > 
Xột hàm  số 
4 
8 
( ) f t t 
t 
= +  trờn (0; ) +Ơ  . Ta cú: 
5 
5 5 
32 32 
'( ) 1 0 2 
t 
f t t 
t t 
- 
= - = = Û =  . 
Bảng biến thiờn 
t  0                                 2 +Ơ 
( ) ' f t -  0 + 
( ) f t 
5 
2 
0.25 
♥  Dựa vào BBT suy ra 
( ) 
( ) ( ) 
0; 
5 
min 2 
2 
f t f 
+Ơ 
= =  . Do đú 
5 
2 
P ³  . Dấu đẳng thức xảy ra 
khi và chỉ khi  2 2 t a b = Û = =  và  0 c = 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 
5 
2 
, đạt được khi  2 a b = =  và  0 c = 
0.25 
Cảm ơn thầy Huỳnh Chớ Hào chủ nhõn  đó chia sẻ đến www.laisac.page.tl