Toán 12 - Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian

pdf 32 trang Người đăng minhphuc19 Lượt xem 731Lượt tải 1 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán 12 - Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Toán 12 - Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 1 
Bài 5. Khoảng cách 
I. Kiến thức cần nhớ. 
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng. 
a. Định nghĩa 1: 
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng a) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, 
trong đó H là hình chiếu của M trên (P) (hoặc trên đường thẳng a). 
P
a
M
H
M
H
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ký hiệu là d(M; (P)). 
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a ký hiệu là d(M; a). 
b. Chú ý: 
* Trong các khoảng cách từ điểm M đến một điểm A bất kỳ thuộc (P) thì MH là khoảng cách ngắn nhất. 
* Trong các khoảng cách từ điểm M đến điểm A bất kỳ thuộc đường thẳng a thì khoảng cách MH ngắn nhất. 
Tức là ta có  ,MA MH A P   hoặc , .MA MH A a   
* Để tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng a ta chỉ cần dựng MH vuông góc với a, H thuộc a và 
điều tiếp theo là tính MH. 
* Để tìm khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) ta cần xác định hình chiếu vuông góc H lên (P). 
Bạn đọc thử suy nghĩ xem chúng ta có thể tìm hình chiếu H của điểm M lên (P) như thế nào? 
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai 
mặt phẳng song song. 
a. Định nghĩa 2: 
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng 
cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). 
Ký hiệu khoảng cách từ a đến mặt phẳng (P) song song với a là d(a; (P)). 
P
aM
H
A
* Chú ý: Trong các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của a đến một điểm bất kỳ của (P), khoảng cách MH = 
d(a; (P)) là nhỏ nhất. 
Ta có  , ,MA MH M a A P     , H là hình chiếu vuông góc của M lên (P). 
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 2 
b. Định nghĩa 3: 
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt 
phẳng kia. 
Ký hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là d((P), 
(Q)). 
Khi đó ta có d((P); (Q))=d(P; (P))=d(Q; (P)), với P thuộc (P) và Q 
thuộc (Q). 
* Chú ý: 
- Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc hai mặt 
phẳng (P) và (Q) song song thì khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là nhỏ nhất. 
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
a. Đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung. 
* Thuật ngữ: - Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, một đường thẳng c cắt và vuông 
góc với cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. 
- Nếu đường vuông góc chung c cắt a và b lần lượt tại A và B thì độ dài đoạn thẳng AB 
được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. 
b. Định nghĩa 4: 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai 
đường thẳng đó. 
c. Chú ý: 
- Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai đường thẳng chéo nhau a và b thì khoảng 
cách giữa hai điểm sao cho đoạn nối hai điểm này là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b là 
ngắn nhât. 
- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau theo định nghĩa ta phải dựng và tính độ dài đoạn 
vuông góc chung của hai đường thẳng đó. 
d. Nhận xét: 
1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 
một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa 
đường thẳng còn lại. 
2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 
hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 
* Dựa vào hai nhận xét trên ta có thể chuyển việc tính khoảng cách 
giữa hai đường thẳng chéo nhau về: 
- tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó (theo nhận xét (1)) 
- tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song theo nhận xét (2). 
Các bạn thấy rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách từ một đường thẳng đến một 
mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều thể chuyển về tính khoảng 
cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Cho nên có thể nói bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là bài toán quan trọng nhất của bài 
này. 
II. Các dạng toán thường gặp. 
P
Q
Q
P
a
b
B
A
P
b
a
Q
B
A
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 3 
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 
Phương pháp: Để tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ta hạ AH vuông góc với d tại H thì 
d(A; d)=AH. 
* Chú ý: Nếu có (P) qua A và vuông góc với a, (P) cắt d tại H thì AH 
=d(A; d). 
- Để dựng điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d, ta cần xác định điểm 
A và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng nào để dựng cho chính xác. 
Ví dụ 137. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = 
AB = 2a, ·  060 ;ABC SA ABCD  . 
a. Tính khoảng cách từ O đến SC. 
b. Tính d(O; SB) và d(D; SB). 
Hướng dẫn: 
a. bạn đọc thây ngay O và SC cùng nằm trong mặt phẳng (SAC) vì thế để tính khoảng cách từ O đến SC ta chỉ 
cần dựng hình chiếu vuông góc của O lên SC trong mặt phẳng này. 
b. Tương tự bạn đọc hãy tính khoảng cách từ O và D đến SB. 
Giải. 
a. Trong (SAC) dựng OI vuông góc với SC tại I. 
Ta có tam giác SAC vuông cân tại A nên · 045SCA  , suy ra tam giác OIC vuông cân tại I. 
Do đáy ABCD là hình thoi có · 060ABC  nên tam giác ABC đều suy ra 
AB=AC=BC=2a. 
Suy ra OI=IC
1 1
2
2 2
2 2 2 2
AC aOC a
    . 
b. Trong (SOB) dựng OH vuông góc với SB, H thuộc SB. Khi đó ta có 
OH=d(O; SB). 
Dễ dàng chứng minh được BD vuông góc với (SAC). Vì  SO SAC nên ta có BD SO SOB   vuông 
tại O. 
Tam giác ABC đều cạnh 2a nên 
2 3
3
2
a
OB a  . 
Tam giác SAO vuông tại A nên 2 2 2 24 5SO SA OA a a a     . 
Tam giác SOB vuông tại O có OH là đường cao nên ta có 
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 8 15 30
5 3 15 8 4
a a
OH OH
OH SO OB a a a
         
Vậy   30;
4
a
d O SB  . 
* Trong (SBD) dựng BK vuông góc với SB tại K. Ta có  ;DK d D SB . 
P
d
HA
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 4 
Ta có , / /OH SB DK SB OH DK   . Vì O là trung điểm của BD cho nên OH là đường trung bình của 
tam giác BDK suy ra  30 30 302 2. ,
4 2 2
a a a
DK OH d D SB     . 
2. Dạng toán 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Phương pháp: Để tính khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) ta làm như sau: 
* Nếu đã có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): Chúng ta chỉ cần dựng một đường thẳng a đi 
qua M và song song với d, a cắt (P) tại H thế thì MH = d(M; (P)). 
d
P
M
H
Q
P
H
M
* Nếu chưa có đường thẳng d vuông góc với (P) ta làm như sau: 
Bước 1: dựng mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng này gọi là 
d. 
Bước 2: Dựng MH vuông góc với d tại H, khi đó MH=d(M; (P)). 
 Chú ý: Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bạn đọc cần lưu ý một vài điều sau: 
1. Đối với tứ diện vuông hình chiếu của đỉnh góc tam diện vuông xuống mặt phẳng đối diện là trực tâm 
tâm của mặt đối diện đó. Cho nên khoảng cách từ đỉnh góc tam diện vuông đến mặt đáy chính là độ dài 
đoạn thẳng nối hai 
điểm này. 
Như hình vẽ d(O; (ABC))=OH. Và dễ dàng tính được OH dựa vào 
đẳng thức: 
2 2 2 2
1 1 1 1
OH a b c
   với a, b, c là độ dài các cạnh góc 
vuông của tam diện vuông đó. 
2. Sử dụng công thức tỉ số khoảng cách: 
Nếu đường thẳng d cắt (P) tại I, M và N thuộc d khi đó 
  
  
;
;
d M P MI
NId N P
 (1). 
* Nếu I là trung điểm của MN thì ta có 
d(M; (P))=d(N; (P)) (2). 
3. Chuyển tính khoảng cách từ điểm M khó tính khoảng cách sang một 
điểm khác dễ tính khoảng cách dựa vào kiến thức: Dựng đường thẳng d 
qua M, d //(P). Lấy các điểm trên d, chọn điểm nào mà việc tính khoảng cách dễ dàng hơn các trường hợp 
khác. 
* Chú ý: Công thức (1) và (2) cho ta chuyển việc tính khoảng cách từ điểm một điểm khó tính khoảng cách 
đến điểm dễ tính khoảng cách hơn. Thông thường trong nhiều bài toán ta thường chuyển khoảng cách từ 
điểm cần tìm về chân đường cao của các hình thường gặp. Bởi vì khi đó việc dựng đường vuông góc từ 
chân đường cao đến các mặt phẳng dễ dàng hơn dựng từ các điểm khác. 
Ví dụ 138. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy cạnh là 2a, tâm O, SA=4a. 
O
A
B
C
H
P
M
I
N
H
K
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 5 
M là trọng tâm của tam giác SAB. 
a. Tính d(M; (ABCD)) b. Tính d(O; (SAB)) c. d(A; (SCD)). 
Hướng dẫn: 
a. Bạn đọc thấy ngay rằng SO vuông góc với đáy (ABCD). Để tính khoảng cách 
Từ M đến (ABCD) bạn đọc chỉ cần dựng đường thẳng qua M và song song với SO cắt mặt đáy tại một điểm H. 
Tính MH và suy ra khoảng cách cần tìm. 
b. Để tính khoảng cách từ O đến (SAB) chúng ta chưa thấy có đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng 
(SAB), do đó chúng ta phải thực hiện theo TH2, chúng ta cần dựng một mặt phẳng đi qua O và vuông góc với 
(SAB). Cách dựng các mặt phẳng này chúng ta đã thực hiện rất nhiều lần ở bài toán tìm góc giữa hai mặt 
phẳng. Chúng tôi đề nghị bạn đọc tiếp tục thực hiện và tìm ra khoảng cách này. 
c. Bạn đọc thấy rằng AO cắt (SCD) tại C cho nên chúng ta sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để suy ra 
khoảng cách cần tìm dựa vào khoảng cách từ O đến (SCD). 
Giải. 
a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Do M là trọng tâm của 
tam giác cân SAB cân tại S nên M nằm trên SI. 
Trong mặt phẳng (SOI) dựng MH song song với SO, do SO vuông góc 
với (ABCD) nên MH  ABCD , suy ra   ,MH d M ABCD . 
Xét tam giác SOI có MH//SO nên 
1 1
3 3
MH IM
MH SO
SO SI
    . 
Do tam giác SOA vuông tại O, nên 
 22 2 216 2 14SO SA OA a a a     . 
Vậy    14;
3
a
d M ABCD  . 
b. Dễ thấy        ;SOI SAB SI SOI SAB   . Dựng OK vuông góc với SI suy ra 
    ;OK SAB OK d O SAB   . 
Trong tam giác SOI vuông tại O có OH là đường cao nên 
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 15 14
14 14 15
a
OK
OK SO OI a a a
       
14
15
OK a  . 
Vậy    14;
15
d O SAB a . 
c. Vì AO cắt (SCD) tại C nên ta có 
  
        
;
2 ; 2 ;
;
d A SCD AC
d A SCD d O SCD
OCd O SCD
    . 
Trong mặt phẳng (SOJ) dựng OL vuông góc với OJ thế thì OL vuông góc với mặt phẳng (SCD) suy ra OL = 
d(O; (SCD)). 
Dễ dàng chứng minh được rằng OL=OK , suy ra 
14
15
OL a . 
J
IO
C B
D A
S
KE
M
H
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 6 
Vậy       14; 2 ; 2 .
15
d A SCD d O SCD a  
 Lời bình: Một bài toán không khó nhưng chứa đựng tất cả nội dung phương pháp của dạng toán tính 
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đề nghị bạn đọc suy ngẫm thêm. 
* Chú ý: Chúng ta có thể tính khoảng cách từ A đến (SCD) theo cách sau: 
Do AB//CD nên AB//(SCD) suy ra d(A; (SCD))=d(AB; (SCD))=d(I; (SCD)). 
Ta có (SCD) và (SIJ) vuông góc với nhau, giao tuyến của hai mặt phẳng này là SJ. Trong (SIJ) dựng IE vuông 
góc với SJ thì IE=d(I; (SCD)). 
Công việc tiếp theo tính IE xin dành cho bạn đọc thực hiện. 
- Từ bài toán này chúng ta thấy rằng: Chân đường cao của hình chóp đều cách đều các mặt bên của hình 
chóp đó. 
Ví dụ 139. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy (ABCD) và 6SA a , đáy ABCD là nửa lục 
giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD=2a. 
a. Tính các khoảng cách từ A và B đến (SCD). 
b. Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến (SBC). 
c. Tính diện tích của thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) song song với (SAD) và cách (SAD) một 
khoảng bằng 
3
4
a
. 
Hướng dẫn. 
a. Trong ý (a), chúng ta thấy chưa có đường thẳng nào vuông góc với (SCD) nên chúng ta cần thực hiện theo 
trường hợp 2. Bạn đọc hãy dựng mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (SCD) để tính khoảng cách từ A đến 
(SCD). Tương tự cho việc tính khoảng cách từ B đến (SCD). 
b. Chú ý rằng AD//BC nên d(AD; (SBC))=d(A; (SBC)). Ta đã có A là chân đường vuông góc kẻ từ S của hình 
chóp. Bạn đọc hãy suy nghĩ cách tính khoảng cách từ A đến (SBC). 
c. Các bạn cần dựa vào điều kiện của bài toán ra là (P) cách (SAD) 
một khoảng bằng 
3
4
a
để tìm ra điểm mà (P) đi qua. Từ đó dựng 
được thiết diện cần tìm. 
Giải. 
a. Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 
AD=2a, nên ta có AD//BC, AB=BC=CD=a; AC CD và 
3AC a . 
   (doSA ;CD )
CD AC
CD SA ABCD ABCD
 

   
 CD SAC  . 
Dựng AH vuông góc với SC tại H, khi đó ta cũng có AH vuông góc với CD. 
Vậy AH=d(A; (SCD)). 
Tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, do đó: 
PQ
NM
A D
B C
S
H
I
E
F
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 7 
   2 22 2 2 2
1 1 1 1 1 1
26 3AH SA AC aa a
     . 
Suy ra 2 22 2.AH a AH a   
Vậy   , 2.d A SCD a 
 Gọi I là trung điểm của AD thì ta có BI//CD nên BI//(SCD). Từ đó suy ra 
     ; ; .d B SCD d I SCD 
Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên: 
  
  
; 1
2;
d I SCD ID
DAd A SCD
  . 
Suy ra      1 2; ; .
2 2
a
d I SCD d A SCD  
Vậy    2; .
2
a
d B SCD  
b. Ta có AD//BC suy ra AD//(SBC)      ; ;d AD SBC d A SBC  . 
Dựng AE BC tại E, ta có: 
  
BC AE
BC SAE
BC SA
 
 
 
. 
Dựng AF SE tại F, khi đó: 
    
AF SE
AF SBC
AF BC Do BC SAE
 
 
  
. 
Vậy      ; ;AF d A SBC d AD SBC  . 
Xét hai tam giác vuông AEB và SAE ta có 
·
 
0
2 22 2 2 2
3
.sin .sin 60
2
1 1 1 1 1 9
636
2
a
AE AB ABE a
AF SA AE aaa
  
    
 
 
 
. 
Suy ra 
2
2 6 6
9 3
a a
AF AF   . 
Vậy    6; .
3
a
d AD SBC  
c. Ta có 
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 8 
/ /
AE BC
AE AD
AD BC
 
 

; 
Mà AE cũng vuông góc với SA nên  .AE SAD 
 Và vì 
3
2
a
AE  , (P)//(SAD),    3(P);
4
a
d SAD  , (P) cắt hình chóp S.ABCD. Do đó (P) qua trung 
điểm K của AE. 
 Dễ dàng xác định được thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là tứ giác MNPQ, trong đó MN//AD 
(M, N là trung điểm của AB, CD); NP//SD (P là trung điểm của SC); MQ//SA (Q là trung điểm của SB). Ta có 
PQ là đường trung bình của tam giác SBC nên PQ//BC//AD. 
Vậy ta có 
 
 
/ /
/ /
MN PQ
MQ SA MQ ABCD MQ MN
SA ABCD


   
 
. 
Vậy thiết diện cần tìm MNPQ là hình thang vuông tại M và Q. 
  1 .
2MNPQ
S MN PQ MQ  . 
2 3
.
2 2 2
AD BC a a a
MN
 
   
1 6 1
; .
2 2 2 2
a a
MQ SA PQ BC    
Vậy 
21 3 6 6
.
2 2 2 2 2MNPQ
a a a a
S     
 
 Lời bình: Lại một lần nữa chúng ta gặp bài toán về nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn. Bạn đọc cần lưu 
ý một số tính chất của nửa lục giác đều này để sử dụng sau này. 
 Việc tính khoảng cách dựa vào tỉ số khoảng cách thật sự cho chúng ta thêm một sự lựa chọn hoàn hảo 
trong các bài toán tính khoảng cách mà bạn đọc gặp phải mà vẫn làm nên sự khó chịu cho nhiều bạn học sinh. 
Các bạn đã thấy bớt khó khăn ở các bài toán tính khoảng cách chưa? 
 Một lần nữa chúng ta cần nhớ nếu muốn sử dụng tỉ số khoảng cách hãy chuyển việc tính khoảng cách này 
về các khoảng cách đã biết hoặc chuyển về khoảng cách có liên quan đến chân đường cao của hình đó. Đó là 
lý do trong bài này chúng tôi chuyển việc tính khoảng cách của điểm B đến (SCD) qua tính khoảng cách từ 
điểm I đến (SCD) và từ đó chuyển qua tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A. 
Ví dụ 140. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. GỌi M, N, P lần lượt là trung điểm của 
AA’, AD, CC’. Gọi O là tâm của mặt ABCD. Tính d(B; (MNP)) và d(O; (MNP)). 
Hướng dẫn. 
Đây là bài toán tính khoảng cách liên quan đến hình lập phương. Các bạn lưu ý rằng việc tính khoảng cách khi 
liên quan đến hình lập phương có một sự thuận lợi rất lớn ở việc chúng ta có thể ghép được bài toán này vào 
sử dụng công thức tính khoảng cách của góc tam diện vuông. 
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 9 
 Chúng tôi đề nghị bạn đọc vẽ hình và suy nghĩ hướng giải 
quyết 
Giải. 
Ký hiệu (P) là mặt phẳng (MNP). 
Trước hết ta xác định các giao điểm E, F, G của (P) với 
các đường thẳng BC, BA, BB’. MN cắt DD’ tại R. PR cắt 
CD tại Q. Khi đó E, F lần lượt là các giao điểm của NQ với 
BC, BA. G là giao điểm của EP với BB’. 
Ta có 
3 3 3
, ;
2 2 2
a a a
BE BF BG   . 
Ta thấy tứ diện BEFG là tứ diện vuông đỉnh B nên ta 
có 
 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 4
;(P) 3d B BE BF BG BE a
          
2
2 3 3; ;
4 2
a a
d B P d B P    . 
* Gọi K là giao điểm của BO và NQ. Khi đó ta có BO cắt (P) tại K. Suy ra 
  
        
; 1 1 3
; ;
3 3 6;
d O P OK a
d O P d B P
BKd B P
     . 
Vậy    3;
6
a
d O P  . 
 Lời bình: Bạn đọc thấy rằng chúng tôi đã sử dụng kết quả của bài toán ở ví dụ 100 về tính chất quan trọng 
của tam diện vuông và công thức tỉ số khoảng cách để giải bài toán này. Chúng ta sử dụng thường xuyên kết 
quả này trong bài toán tính khoảng cách. Chúng tôi đề nghị bạn đọc ghi nhớ kết quả này để áp dụng cho các 
bài toán tiếp theo. 
* Bạn đọc lưu ý khi sử dụng công thức tỉ số khoảng cách trong bài toán này, tại sao chúng ta không chuyển về 
tính tỉ số khoảng cách từ điểm A hoặc C đến mặt phẳng (P) mà lại tính từ điểm C. Để giải thích điều này, bạn 
đọc hãy xét xem điểm B là điểm có tính chất gì khi gắn với (P). 
* Chú ý: bạn đọc cũng có thể tính khoảng cách từ B đến (P) như sau: 
 Ta thấy (BDG) và (P) vuông góc với nhau, giao tuyến của hai mặt phẳng này là OG. 
 Trong mặt phẳng (P) dựng BH vuông góc với OG tại H. Ta có 
   ;d B P BH . Bạn đọc tính BH và suy ra kết quả như trên. 
Ví dụ 141*. Cho tứ diện ABCD có AD=BC=a, AC=BD=b, AB=CD=c. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt 
phẳng (BCD). Từ đó suy ra tứ diện ABCD có bốn chiều cao bằng nhau. 
(Trích bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học lớp 11-Trần Văn Tấn) 
Hướng dẫn 
Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau nên là tứ diện gần đều. Chúng ta đã biết tứ diện gần đều là tứ 
diện trực tâm. 
K
O
G
T
E
U
F
Q
R
P
N
M
D
C
B
C'
A'
D'
B'
A
Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 
 [ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7 8 7 6 6 8 9 ] 
Page 10 
Bạn đọc lưu ý mọi tứ diện gần đều, đều “lồng” được vào một tứ diện vuông. Chúng ta có thể “lồng” tứ diện 
gần đều này vào tứ diện vuông như sau: 
Xét đáy BCD, ta dựng tam giác chứa tam giác này sao cho các đỉnh của tam giác BCD là các trung điểm của 
ba cạnh của tam giác mới này. Bạn đọc hãy chứng minh tứ diện gồm đỉnh A và ba đỉnh còn lại mới được dựng 
lên là một tứ diện vuông đỉnh A. Từ đó suy ra khoảng cách từ A đến 
(BCD). 
Giải. 
Xét tam giác B’C’ D’ nhận các điểm B, C, D lần lượt là trung điểm của 
các cạnh C’D’, B’D’, C’B’. Khi đó AD=BC=
1
' '
2
B C , do đó tam giác 
AB’C’ vuông tại A. 
Tương tự các tam giác AB’D’, AC’D’ cũng vuông tại A. Do đó tứ diện 
AB’C’D’ vuông tại A. 
Đặt AB’=x, AC’=y, AD’=z. 
Ta có: 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
' ' 4
' ' 4
' ' 4
x y B C a
y z C D c
z x B D b
   

  
   
Do đó 
 
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
x a b c
y a c b
z b c a
   

  

  
Mặt khác vì tứ diện AB’C’D’ vuông tại A nên 
      2 2 22 2
1 1 1 1 1
.
; ; ' ' ' x y zd A BCD d A B C D
    
Do đó   
2 2 2 2 2 2
;
xyz
d A BCD
x y y z z x

 
   
        
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
8
4 4 4
a b c a c b b c a
a b c a c b 

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoang_cach_trong_hinh_hoc_khong_gian_on_thi_dai_hoc.pdf