Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

Trường THCS Liên Châu 
Câu1(3điểm).Choa,b,clà ba số thực dương, thoả mãn điều kiện: . Hãy tính giá trị của biểu thức .
Câu 2. (5điểm)
1) Cho: . Chứng minh: .
2)Cho và 5a - 3b - 4 c = 46 . xác định a,b,c 
3) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Câu 3. (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = với x là số nguyên
Câu 4. (7 điểm) 
 Cho =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : 
 a ) K là trung điểm của AC.
 b ) KMC là tam giác đều
 c)Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM.
Câu 5. (3 điểm)
Cho biết(x-1).f(x)=(x+4) .f(x+8) với mọi x .Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 2 nghiệm
Trường THCS Liên Châu
Câu
Nội dung
Điểm
Vì a,b,c là các số dương nên a+b+c0,ta có:
= = 1
mà = 2=> =2
Vậy B ==8
1)Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: 
Do đó: 
1
1
Câu2(5 đ)
2)=
=> a = -3 ; b = -11; c = -7.
0,5
0,5
3)Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
 số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b,c
Ta có: 	(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:
	(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc
đầu
Vây: c’ – c = 4 hay 
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
0,25
0,5
0,5
0,75
0,75
0,25
Câu 3
(2điểm)
a) Ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi 	
1
0,75
0,25
Câu 4
(7điểm)
V ẽ hình , GT - KL 
a, ABC cân tại B do và BK là đường cao BK là đường trung tuyến
 K là trung điểm của AC 
b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )
 BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC BH = AC
 Ta có : BH = CM (BHM =MCB ) mà CK = BH = AC CM = CK MKC là tam giác cân ( 1 )
Mặt khác : = 900 và = 300
 = 600 (2)
Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều
c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
AK = 
Mà KC = AC => KC = AK = 
KCM đều => KC = KM = 
Theo phần b) AB = BC = 4; AH = BK = 2; HM = BC (BHM =MCB)Suy ra AM=AH+HM=6
0,5
1,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
Câu 5
(3điểm)
Vì (x-1).f(x)=(x+4).f(x+8) với mọi x nên:
+khi x=-4 thì -5.f(-4)=0.f(4)=>f(-4)=0.vậy x= -4 là 1 nghiệm của f(x)
+khi x=-12 thì -13.f(-12)=-8.f(-4) = >f(-12)=f(-4)=0.vậy x=-12 là 1 nghiệm của f(x)
Do đó f(x) có it nhất 2 nghiệm là -4 va -12 
1,25
1,25
0,5
TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
Bài 1: (5,0 điểm) Cho a,b,c,d là 4 số khác 0, thoả mãn điều kiện: b2 = ac; c2 = bd; 
b3 + c3 + d3 ≠ 0Chứng minh rằng: 
2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. 
Bài 2: (6,0 điểm)1) Cho hai đa thức: 
	. Tính A+B; A-B
2) Cho đa thức f(x) = (m - 2)x + 2m - 3 
a)     Tìm nghiệm của f(x) khi m = 1.
b)    Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm là -4.
c)     Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
Bài 3: (2,0 điểm) Tìm GTNN của biểu thức 
Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tính và 
d) Từ H kẻ . CMR: 
--------------Hết----------------
Bài
Nội dung
Điểm
Từ giả thiết: b2 = ac; c2 = bd Þ 
Ta có: (1)
Lại có: (2)
Từ (1) và (2): Þ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c
Ta có: 	(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:
	(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu
Vây: c’ – c = 4 hay 
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
0,5 đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
Bài 2
(6 điểm)
1.A + B =18xy2 – 9x2y + 10y2 + 11x + 6 ; A - B = -8xy2 + 3x2y + 4y2 + x  – 4
2.a)khi m = 1 : 
f(x) = (1 – 2)x + 2.1 – 3 = –x – 1f(x) = 0=>–x – 1 = 0=>x = – 1
vậy : nghiệm của f(x) là – 1 khi m = 1
b) khi f(x) có nghiệm là -4 ,ta có :
(m – 2)(-4) + 2m – 3 = 0=>–2m + 5 = 0=> m = 
c) f(x) có nghiệm khi : f(x) = 0
(m – 2)x + 2m – 3 = 0=>(m – 2)x + 2m – 3 = 0=>(m – 2)x = –2m + 3
+ Nếu m – 2 = 0 => m = 2ta được : 0.x = -1 < 0 vô lí , f(x) không có nghiệm.
+ Nếu m – 2 ≠ 0 => m ≠ 2=>x = 
x nguyên khi : m -  2 Î Ư(1) = {-1, 1}.
m – 2 = -1 => m = 1 => x = -2 -(-1) = -1
m – 2 = 1 => m = 3 => x = -2 -1 = -3
vậy: m = 1 thì x = -1; m = 3 thì x = -3
1đ
1đ
Bài 3
(2 điểm)
 A= 2 khi và chỉ khi và 
Vậy Min(A) = 2 khi x=2014
0.5đ
0.5đ
Bài 7
(7 điểm)
Vẽ đúng hình và ghi GT, KL được 0,5đ
K
H
E
M
B
A
C
I
F
Q
J
a/ Xét và có :
 AM = EM (gt )	
 = (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên : = (c.g.c )	0,5 điểm
 AC = EB	
Vì = = 
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE .	
b/ Xét và có : 
AM = EM (gt )
= ( vì )
AI = EK (gt )
Nên ( c.g.c ) Suy ra = 	
Mà + = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) + = 180o 
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	0,5 điểm
c/ Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o 
 = 90o - = 90o - 50o =40o = - = 40o - 25o = 15o là góc ngoài tại đỉnh M của 
 Nên = + = 15o + 90o = 105o (định lý góc ngoài của tam giác ) 
d/Tam giác BHE vuông tại H nên BE>HE; EF<HE, do đó trên BE tồn tại điểm Q nằm giữa B và F sao cho QE=HE.Ta có cân tại E nên
Mà 
Kẻ 
Ta có: 
Suy ra HF = JH, BQ>BJ
Do đó: FH+BE = FH+BQ+QE > JH+BJ+HE = HB+HE
Vậy FH+BE > HB+HE
1đ
0.5đ
1đ
0.5đ
1đ
1đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
 PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
 Trường THCS Thanh Thùy 
 Bài 1 ( 5 điểm) 
 Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A
Cho =. Chứng minh rằng := 
 Bài 2 ( 4 điểm) a) Cho ===
CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên
 A=+++
 b)Chứng minh rằng: B = +++.++< 
Bài 3:(2 điểm)Cho đa thức f(x) = x14 – 14x13 + 14x12 -  + 13x2 – 14x + 14
 Tính f(13)
 Bài 4:(7 điểm)Cho tam giác ABC có AB<AC. Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng :
 a) BE = CF	 b) AE = c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c
Bài 5:Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đóM = 
 TRƯỜNG THCS THANH THÙY
TT
Ý
Nội dung
Điểm
Bài 1
(.5điểm)
1a
Ta có = 24 : 45 : 10Giả sử số A được chia thành 3 phần x,y,z
Theo đề bài ta có x,y,z cùng dấu
Và = 9 = 32
 x2 = 242. 32 = 722 x = 72
 Hs tính tương tự y = 135 ; z = 30
 . Vậy A = 237 hoặc A = - 237 
0.5
0,5
0.5
1.0
0,5
1b
Ta có = ( 1)Lại có (2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
0.5
0.75
Bài2
(.4điểm)
2a
Ta có ==== 
 Suy ra 3x = y+z+t ; 3y = z+t+x; 3z = t+x+y; 3t = x+y+z
Từ đó HS suy ra được x+y = (z+t); y+z = (t+x)
 Z+t = (x+y); t+x = (y+z)
Khi đó tính được A = 4 Vậy A có giá giá trị nguyên
0.5
1,5
0,5
2b
B = +++.++
3B = 1+ +++.+3B – B = 1 - hay 2B = 1 - 
Suy ra B = < Vậy B < 
0.5
0.5
0,5
Bài 3
(2 điểm)
Ta có f(x) = x14–(13+1).x13 +(13+1).x12 - +(13+1).x2–(13+1).x+(13+1)
 = x14- (x+1).x13 +(x+1).x12 - + (x+1).x2 – (x+1).x + (x+1)
 = x14 – x14- x13 + x13 +x12 -  +x3 + x2 – x2 – x + x +1
 = 1
 ( Vì thay 14 = 13 + 1 = x+1 ) . Vậy f(13) = 1
0,5
1,0
0,5
Bài 4
(5 điểm)
4a
 Vẽ hình đúng A 
Kẻ BI song song AC ( I È F)
Chứng minh được 1 2
 BIM = CFM (g.c.g) F 
 BI = CF (1) B 
 N M C 
 E	I
CM được BEI cân tại B BE = BI (2)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
0.25
1,0
0,25
1,0
0,5
4b
CM được ANE = AN F (g.c.g) AE = A F
Ta có AE = AB + BE ; A F = AC – C F AE+A F = AB + BE + AC – C F
 Hay 2 AE = AB +AC ( do AE = A F; BE = FC) AE = 
0.5
0.5
0.75
0,5
4c
Từ câu b) AE = Chứng minh được BE = Vậy BE = 
Bài 5
(2 điểm)
 M = = 
M nhỏ nhât khi và chỉ khi nhỏ nhất
Xét x 4 thì > 0
Ta chỉ xét x < 4 thì nhỏ nhất lớn nhất 
Nên suy ra 4 – x =1( vì mẫu nguyên,dương nhỏ nhất) 
 Vây x = 3 khi đó Min M = -11
THCS TAM HƯNG
Bài 1 (3đ) Tìm x sao cho
a, 	b, 
Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn
a, 	b, 
Bài 3 (4đ) a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:
b, Cho x+y – z = a-b; x - y + z = b – c ; -x+y + z = c – a. Chứng minh : x+y+z=0
Bài 4 (4đ) a, Cho đa thức 
Tính giá trị của đa thức tại x=1999
b, Cho đa thức chứng tỏ rằng: nếu 
Bài 5 (5đ)
a,Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE 
1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD vuông góc với BK 
2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.
b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: 
ĐÁP ÁN
Bài 1 (3đ)
a, - Chỉ rõ được 	 (0.25đ)
- Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng 	
b, Lý luận để có (0.25đ)
Xét đủ 2 trường hợp 
- Trường hợp có 1 số âm tính được 	(0.75đ)
- Trường hợp có 3 số âm tính được 	(0.75đ)
- Kết luận đúng (0.25đ)
Bài 2: Ta có 
Lý luận tìm được 	 
b, Biến đổi được 	 (1đ)
Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp)	 (0.75đ)
Kết luận được: 	 (0.25đ)
Bài 3: Từ giả thiết suy ra 	(0.5đ)
Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có 	
Mặt khác ta có	
Suy được điều cần chứng minh	(0.25đ)
b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh	(2đ)
Bài 4 (0.75đ)
Thay 1999=x ta được (0.75đ)
Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998	(0.5đ)
b, Tính 
 (0.5đ)
Bài 5 (5đ)
a1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết 	 (1đ)
2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của (1đ)
b,Xét 2 trường hợp
* Trường hợp điểm thì ta có	 	
* Trường hợp 
	- Gọi I là trung điểm của BC	 (0.75đ)
	- Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ)
 Vì 	
* Chứng minh được 	
- Điểm C nằm trong chứng minh được (0.5đ)
- Chứng minh 	 (0.25đ)
- Suy ra 	(0.5đ)
Trường THCS Dân Hoà
 Câu 1: (5 điểm) Cho chứng minh rằng:a) 	b) 
Câu 2 : (6điểm) 
a) Các số a,b và c làm cho giá trị các biểu thức bằng nhau . Tính giá trị đó?
b)Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Câu 3 : (2 điểm)
Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị lớn nhất .Tìm Giá trị lớn nhất đó
Câu 4 (7điểm)
Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. vẽ BH ^ Ay, CM ^Ay, BK ^ AC. Chứng minh rằng:
a, K là trung điển của AC.	b, BH = 	c, đều
HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC TOÁN 7
Câu 1 (5 điểm): 
Từ suy ra 	khi đó = 	 1đ
 b) Theo câu a) ta có: từ 
hay vậy 	
Câu 2
a)(3 điểm)Giả sử = x , 
 Khi đó a+b = cx, b+c= ax, c+a = bx 0,5
 Cộng các đẳng thức ta có 2(a+b+c) =(a+b+c )x 0,5
 Đẳng thức này chia làm 2 trường hợp:
 1) Nếu a+b+c ≠ 0 , khi đó x = -1 0,5
 2) Nếu a+b+c = 0, khi đó x = 2 0,5
 Vậy giá trị của biểu thức là 2 hay -1 0,5
b)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) 0,5
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) Từ (1) = k 
Do đó (2) 0,5
k = 180 và k = 0,5
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. 0,5
+ Với k =, ta được: a = ; b =; c =
Khi đó ta có só A =+( ) + () = . 0,5 
Câu 3 : (2điểm)A = 1 + 0,5 	
AMax Û 14 – x > 0 và nhỏ nhất Þ 14 – x = 1 Þ x = 13. 
 Vậy x = 13 thoả mãn điều kiện bài toán khi đó A Max= 2001 0,5
 Câu4 (7điểm) 
Vẽ được hình, ghi GT, KL được 0,5đ
a, DABC cÓ Â1 =Â2 (Az là tia phân giác của  )
 (Ay // BC, so le trong)	
Þ => ABC cân tại B ( 1đ)
mà BK ^ AC Þ BK là đường cao của tam giác cân D c©n ABC
Þ BK cũng là trung tuyến của D cân ABC (0,5đ)
hay K là trung điểm AC
b, Xét D vuông ABH và D vuông BAK.
Có AB là cạnh huyền (cạnh chung)
 Â1 =Â2 ( AZ là phân giác)
Þ D vuông ABH = D vuông BAK (cạnh huyền góc nhọn ) (1đ)
Þ BH = AK mà AK = (1đ)
c, DAMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) Þ MK là trung tuyến thuộc cạnh huyền Þ KM = AC/2 (2) (1đ)
Tõ (10 vµ (2) Þ KM = KC Þ DKMC c©n. ( 0.5đ) 
Mặt khác DAMC cã , Â1 =300 => =900-300=600	 (0,5đ)Þ DAMC ®Òu (1®)
TRƯỜNGTHCS TÂN ƯỚC
Câu 1: (5 điểm) Cho Chứng minh rằng:
a) (a + 2c) . (b + d) = (a + c) . (b + 2d)	b) 
Câu 2: (6 điểm)
a) Tìm nghiệm của đa thức sau: x2 + 8x + 25.
b) Cho ba số dương . Chứng minh:
Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4: (7 điểm) 
Cho r ABC vuông tại A, đường cao AH trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên đia đối của tia CD, lấy điểm I sao cho CI = CA. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC.
TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC
Câu 1: (5 điểm)
 a) Vì (1); (2)
Từ (1) và (2) 	(1đ)
b)(2)
 (1) (Theo t/c DTSBN) (1đ)
Từ (1) (2) 	
Câu 2: (6 điểm)
a) x2 + 8x + 25 = x2 + 4x + 4x + 16 + 9 = x (x + 4) + 4 (x +4) + 9
 = (x + 4) (x + 4) + 9 = (x + 4)2 + 9 	(2đ)
Vì (x + 4)2 ³ 0 với " x Þ (x + 4)2 + 9 > 0 với "x 
Þ Đa thức x2 + 8x + 25 Vô nghiệm 	(1đ)
b) Vì 0£ x £ y £ z £ 1 Þ x - 1 £ 0, y - 1 £ 0
 Þ (x - 1) (y - 1) ³ 0 Þ xy + 1 ³ x + y Þ £ Þ £ 	(1) 	(1đ)
 Chứng minh tương tự : £ (2) 	; £ (3)
Cộng từng vế của (1) (2) (3) ta có :
 + + £ + + 	(4)	(0,5đ)
 Mà £ Þ £ 	
 Chứng minh tương tự £  ; £ 	(1đ)
 Þ + + £ £ 2	(5)	0,5đ)
Từ (4) (5) Þ đpcm
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất
Dấu “=” xảy ra Û (2x - 2) . (2013 - 2x) ³ 0Vậy min A = 2011 Û 1£ x£ 1006,5	(1đ)
Câu 4: (7 điểm)
 I	
 (Vẽ hình đúng 0,5đ) A	
	 B H M 	C
Gọi giao của AB và EI là F	
 r ABM = rDCM (cgc) Þ Þ BF//DI	D	(2đ )
 Þ = = 900 Þ ID ^ AC	(1đ)
 BF // DI Þ = 
 IE // AC Þ = 
Þ rCAI = r FIA (gcg) Þ IC = AF = AC 	(1,5đ)
 Mà = (đối đỉnh) Þ = (cùng phụ với )
 Þ = 	Þ r AFE = r CAB (gcg)	Þ AE = BC
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
Câu 1:( 5điểm): Cho chứng minh rằng:
a) b) 	b) 
Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết:
Câu 3:(4 điểm)a).Chứng minh rằng : .
	b) Tìm số nguyên a để: là số nguyên.
Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Câu 5: (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=300, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều.
b) AH = CE.
c) EH song song với AC.
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
Câu 1:( 5điểm)
a) Từ 
 b) Từ suy ra khi đó (0,5 điểm )= 	 ( 1 điểm)
 c) Theo câu b) ta có: 	từ 
 	hay 	 vậy 	
Câu 2: (2điểm)Tìm các số x;y biết.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 =>
=> -x = 5x -12=> x = 2. Thay x= 2 vào trên ta được 
 (0,5điểm)
=>1+ 3y = -12y=> 1 = -15y=> y = 	Vậy x = 2, y = thỏa mãn đề bài.
Câu 3:(4 điểm)a). 	§Æt : A = 
	Ta cã :
* A < = = (0,75điểm)
* A > .	 (0,75điểm)
Vậy: 	(0, 5điểm)
b.	 Ta cã : = =
= là số nguyên (1 điểm)
Khi đó (a + 3) là ước của 14 mµ ¦(14) = .
Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. (1 điểm)
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A < 0 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất 
 ( 1 điểm)	
Vậy nhỏ nhất bằng khi x=0 	 (0,5 điểm)
Suy ra GTLN của A =khi x=0 	 (0,5 điểm) 
Câu 5: (7 điểm)
Vẽ hình ghi GT,KL (0,5điểm) 
 Chứng minh:
a) (2điểm)
 Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân ở A.Lại có : B = 900 – 300 = 600 nên tam giác ABD là tam giác đều.
b) (2 điểm)
 (cạnh huyền –góc nhọn)Do đó AH=CE
c) (2,5 điểm)
(cmt)nên HC=EA
cân ở D vì có 
 cân ở D.
Hai tam giác cân ADC và DEH có (hai góc đối đỉnh).
do đó Ở vị trí so le trong, suy ra EH // AC. 
 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC - TT KIM BÀI
Câu 1 : (........................ điểm)	
(1) Cho tỉ lệ thức 
Cmr : ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa)
a) 	b) 
(2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và . Biết là số nguyên tố và . Tìm 
Câu 2 : (........................ điểm)
1) Tìm x, y biết :
a) 
b) (x, y là số nguyên tố)
2) Chứng minh rằng đa thức f(x) = không có nghiệm.
Câu 3 : (........................ điểm)
Tìm xz để đạt GTLN. Tìm GTLN của A.
Câu 4 : (........................ điểm)
Cho ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I ; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng :
a) AIJ cân
b) DA là tia phân giác của góc LDK
c) BK AC ; CL AB
	d) Trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác của DLK
	e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.
- HẾT -
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC TOÁN 7
Câu 1 : (5 điểm)	
1) (2 điểm)
a) Chứng minh đúng	(1đ)
b) Chứng minh đúng	(1đ)
2) (3 điểm)
- Từ gt hoán vị các trung tỉ và áp dụng tính chất dày tỉ số bằng nhau có nên b2 = ac.
- Đo là 1 số nguyên tố có hai chữ số nên b 
- Đo ac = b2 ta xét các trường hợp :
b = 1	=> a = c = 1 (loại do a c)
b = 3	=> a.c = 9 = 1.9 (do ac) => (do 93 không là số nguyên tố)
có (chọn)
b = 7 và b = 9 điều bị loại do dẫn đến a = c
Vậy 
Câu 2 : (6 điểm)	
(1) (4 điểm)a) x = 2 hoặc x = 3	(2 điểm)
b) x = 5 ; y = 2	(2 điểm)
(2) Xét từng khoảng	(2 điểm)
+ Xét x 0 lập luận R dẫn đến f(x) 1 > 0
+ Xét 0 0
+ Xét x 1 lập luận dẫn đến f (x) > 0
 Trong cả ba khoảng trên đều có f(x) 0 nên đa thức f(x) không có nghiệm.
Câu 3 : (2 điểm)	Biến đổi A = 2 + . Để 
Xét 11 - x B < 0
Xét 11 - x > 0 => B > 0 	=> Bmax B > 0
Lập luận để có 11 - x là số nguyên dương nhỏ nhất.=> x = 10
A
=> GTLN của A bằng 12 khi và chỉ khi x = 10 
J
Câu 4 : (7 điểm)	
	 K
	 L
I
B
D
C
a) Do AB ; AC là trung trực của AB.	(1đ)
=> 	AI = AD
AD = AJ	 => AI = AJ => cân tại A.
	b) 	ALI = ALD (c.c.c) 	=> 
	TT : AKD = AKJ (c.c.c) 	=> 
	Mà AIJ cân (câu a) 	=> 	(1,5đ)
	=> 
	=> DA là tia p/g của 
	c) CMTT câu b : CL ; BK là p/g trong của ; trong DKL
	=> BK AC	(1,5 đ)
	 CL AB
	d) Từ câu c => trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác trong DLK	(1 đ)
	e) . 	* CM được (không đổi)	(1 đ)
	* AIJ cân tại A có không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên AI nhỏ nhất.
	Ta có AI = AD AH (AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC)
	Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H	(1đ)
	Vậy khi D là chân dường vuông góc hạ từ A xuống BC thì IJ nhỏ nhất.
A
I
J
C
D
H
B
----Hết----
PHÒNG GD& ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÌNH MINH
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN 7
Năm học 2013-2014
Thời gian (120 phút)
Câu 1(5 điểm) Cho tỉ lệ thức với . Chứng minh:
	a) 	b)
Câu 2(6 điểm)
1)Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a)	b)
2) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm
Câu 3 (2 điểm)a) Chứng minh với mọi a,bQ ta có 
b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4 (7 điểm)1) Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD=CE
	a) Chứng minh tam giác ADE cân.
	b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE.
	c) Từ B và C kẻ BHAD; CKAE . Chứng minh BH = CK.
	d) Chứng minh AM;BH;CK gặp nhau tại một điểm
	2) Cho tam giác ABC có AB = AC; góc A bằng 1000. Điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho góc MBC bằng 100; góc MCB bằng 200. Tình số đo góc AMB.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Nội dung
Điểm
Câu1(5đ)
 1)
2)
Từ Kết luận
Từ
Từ 
1,5 đ
1,5 đ
2đ
Câu 2(6đ)
1)
2)
a) 
b)- lập luận có x>0
 - Với x>0 ta có x+3+x+7 =4x..x=5
 Xét đa thức C = x10 – x5 + x2 – x + 1
- Nếu x = 0 => C = 1 > 0
- Nếu x x10 + x2 + 1 > 0; - x5 – x > 0 => C > 0
- Nếu 0 0 
- Nếu x 1 ta có C = x5 ( x5 – 1) + x(x – 1) + 1 > 0
- Vậy C > 0 với mọi x => kết luận
2đ
0,5đ
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3(2đ)
a)
b)
Chứng minh đúng BĐT
Ta có B = dấu bằng xảy ra khi (x – 2)(8 – x) 0
 2x 8
Vậy Min B = 6 khi 2x 8
1đ
1đ
Câu 4(6đ)
 1a) 1b)
 1c)
1d)