Bộ đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán Lớp 9 - Sở GD & ĐT Hà Nội

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 1
 
Sở giáo dục đào tạo 
hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1994- 1995 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 ) 
Thời gian: 150 phút không kể chép đề 
Ngày thi :5 tháng 01 năm 1995 
Bài 1 (4 điểm) 
Xét số A = 44 344 21
91995
4...............444
sochu
 và B = 1644428 
Hỏi số A có chia hết cho số B hay không , tại sao ? 
Bài 2 (4 điểm) 
Bạn Việt nói với bạn Nam : “Nếu một tứ giác có hai góc đối bàng nhau đồng 
thời có một đ−ờng chéo đi qua trung điểm của đ−ờng chéo kia thì tứ giác đó là hình 
bình hành. ”. Bạn Nam nói “Điều bạn nói là sai rồi !”. Ai nói đúng , ai nói sai . Tại 
sao ? 
Bài 3 (4 điểm) 
Giải ph−ơng trình : 
2
518 2 =+
x
x 
Bài 4 (4 điểm) 
Cho ∆ABC vuông tại A. Một đ−ờng tròn (O) thay đổi luôn luôn đi qua hai 
điểm A, B và cắt các cạnh AC, BC tại các điểm thứ hai t−ơng ứng D, E. Gọi F là 
điểm đối xứng với E qua OD và I là giao điểm của BF với đ−ờng trung trực của AF 
. Tìm quĩ tích điểm I. 
Bài 5 ( 4 điểm) 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 2
 
 Trên mặt phẳng có 1994 điểm tô xanh sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. 
Chứng minh rằng có thể kẻ đ−ợc hai đ−ờng thẳng cắt nhau tạo thành cặp góc đối 
đỉnh sao cho với mỗi cặp góc đối đỉnh đó, số điểm xanh trên miền trong góc này 
bằng số điểm xanh trên miền trong góc kia. 
Sở giáo dục đào tạo 
hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1994- 1995 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 ) 
Thời gian: 180 phút không kể chép đề 
Ngày thi :13 tháng 01 năm 1995 
Bài 1 (4 điểm) 
 Xét 1995 số tự nhiên a1 , a2 , . . . . a19 95 có tổng bằng 1994x1995. 
 Đặt P = a1
3 +a2
3 +a3
3 + . . . . .a19 95
3 . Chứng minh rằng P chia hết cho 3. 
Bài 2 (4 điểm) 
Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đ−ờng tròn (O;R). Gọi M, N lần l−ợt là trung 
điểm của CD, EA. Biết AB = CD =DE = R. Chứng minh rằng ∆BMN đều. 
Bài 3(4 điểm) 
 Giải ph−ơng trình :(x+2)2+ (x+3)3+ (x+4)4= 2 
Bài 4(4 điểm) 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ−ờng tròn (O). Gọi A /B /C /D / là ảnh của tứ giác 
ABCD trong phép quay tâm D. Chứng minh rằng các đ−ờng thẳng AA / , BB / , CC / , 
DD / đồng qui tại một điểm. 
Bài 5 (4 điểm) 
Cho lục giác đều ABCDEF, các điểm M, N, P theo thứ tự là giao điểm của 
các cặp đ−ờng thẳng: AB với CD; CD với EF ; EF với AB. Ng−ời ta tô các điểm 
A,B,C,D,E,F,M,N,P hoặc xanh hoặh đỏ. Hỏi có cách nào tô sao cho bất cứ ba điểm 
nào cùng mầu đều không phải là ba đỉnh của mọt tam giác vuông hay không , tại 
sao ? 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 3
 
Sở giáo dục đào tạo 
hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1994- 1995 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 3 ) 
Thời gian: 180 phút không kể chép đề 
Ngày thi :14 tháng 01 năm 1995 
Bài 1 (4 điểm ) 
Xét biểu thức N = a19 95 + b1 99 5 + c1 99 5 + d1 9 95 
Trong đó a, b, c, d là các số tự nhiên sao cho ab = cd ≠ 0. Chứng minh rằng N là 
hợp số . 
Bài 2 ( 4 điểm ) 
 Cho hai đ−ờng tròn (O), (O /) cắt nhau tại A, B , hai cát tuyên MAN, PAQ bằng 
nhau (M, P ∈(O); N, Q (O /)). Gọi I, K lần l−ợt là giao điểm của các đ−ờng thẳng 
MN, PQ với OO / . So sánh BI với BK. 
Bài 3( 4 điểm ) 
 Giải ph−ơng trình : 01123 =−−+− xx 
Bài 4( 4 điểm ) 
Cho góc xOy có độ lớn bằng α (00< α < 450) và điểm P ởbên trong góc ấy. 
Dựng góc x /Oy / có độ lớn bằng 2α ; Px / cắt Ox tại điểm A; Py / cắt Oy tại điểm B 
sao cho hai tam giác OPA, OPB có diện tích bằng nhau. 
Bài 5 ( 4 điểm ) 
Ng−ời ta dùng m mầu để tô các mặt của hai hình lập ph−ơng sao cho trong 
mỗi hình không có hai mặt nào cùng mầu, đồng thời không có ba mầu nào đôi một 
kề nhau trong cả hai hình (hai mầu kề nhau trong một hình nếu chúng đ−ợc tô trên 
hai mặt kề nhau của hình ấy). Hty tìm số m bé nhất . 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 4
 
Sở giáo dục đào tạo 
 hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1995- 1996 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 ) 
Thời gian: 150 phút không kể chép đề 
Ngày thi :5 tháng 01 năm 1996 
Bài 1 (4 điểm) 
Giải ph−ơng trình : 4x4 – x 3 – 16x 2 + 4x –1995 = 0 với x ∈ N 
Bài 2 (4 điểm) 
Cho hai đ−ờng tròn (O,r),(O /; r
3
2 ) tiếp xúc trong với nhau tại điểmA.Kẻ 
đ−ờng kính AB của đ−ờng tròn(O). Dây BC của đ−ờng tròn (O) cắt đ−ờng tròn (O /) 
tại hai điểm D, E. Tính BC theo r, biết rằng E là trung điểm của DC. 
Bài 3(4 điểm) 
Cho bốn số a,b,c,d có tổng bằng 1996. Chứng minh rằng trong ba số 
m=ab+cd; n=ac+bd; P=ad+bc phải có ít nhất một số bé hơn 500 000. 
Bài 4( điểm) 
Cho tam giác ABC với điểm M nằm giữa B,C. 
Dựng đ−ờng tròn qua A,M cắt AB, AC tại các điểm thứ hai t−ơng ứng PQ sao cho 
PQ//BC 
Bài 5(4 điểm) 
Ng−ời ta tô đỏ 7 cạnh của một hình lập ph−ơng một cách hú hoạ .Mõi đỉnh kề 
với ít nhất hai cạnh đỏ dều đ−ợc gọi là đỉnh đỏ.Chứng minh rằng có ít nhất một mặt 
của lập ph−ơng đó chứa ít nhất 3đỉnh đỏ. 
Sở giáo dục đào tạo 
hà nội 
Kì thi học sinh giỏi thành phố 
Năm học 1997- 1998 
Môn thi :Toán 9 ( Vòng 2 ) 
Thời gian: 150 phút không kể chép đề 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 5
 
Ngày thi :15 tháng 01 năm 1998 
Câu 1(5 điểm ) 
1) Cho x1 , x 2 là 2 nghiệm của ph−ơng trình x
2 – 2x – 1 = 0 
Chứng minh rằng x1
2 k + x2
2k + 2 là số chính ph−ơng với mọi số tự nhiên chẵn k . 
2) Cho m, n là hai số tự nhiên thoả mtn : 
1331
1
1330
1
1329
1
.........
4
1
3
1
2
11 +−+−+−=
n
m 
Chứng minh rằng mΜ1997 
Câu 2 (4 điểm) 
Hty giải và biện luận ph−ơng trình : 
 x 4 – 4x3 + x 2 + 6x – m = 0 
Theo tham số m 
Câu 3 (3 điểm) 
Cho biểu thức 
22
1
1
5
xx
A +
−
= , với 0< x < 1 
Hty tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Câu 4 (4 điểm) 
 Cho 37 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng, nằm bên trong hình vuông có 
cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm đ−ợc 5 điểm trong 37 điểm đt cho thoả 
mtn : Các tam giác đ−ợc tạo bởi 3 điểm bất kì trong 5 điểm đó có diện tích S 
18
1≤ . 
Câu 5 (5 điểm ) 
 Cho ∆ABC vuông ở C. Một đ−ờng thẳngd đi qua A không song song với BC và cắt 
đ−ờng trung trực của đoạn AB tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d, K 
là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Hty dựng đ−ờng thẳng d thoả mtn góc CHK 
bằng 303 . 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 6
 
Đề thi thuyển sinhvào lớp 10 
tr−ờng quốc học huế 
năm học 2004 
thời gian làm bài 120 phút 
 (THTT 5 - 2005) 
Bài 1( 1,5 điểm) 
Cho biểu thức : 
a
aab
a
bA
2
−
−=
1) Tìm điều kiện đối với a, b để biểu thức A đ−ợc xác định . 
2) Rút gọn biểu thức A. 
Bài 2( 2 điểm) 
1) Giải hệ ph−ơng trình : 




=−
=+
13
13
2
2
yx
yx 
2) Giải bất ph−ơng trình : 
x + x - 1 > 5 
Bài 3( 1,5 điểm) 
Chứng minh rằng, nếu ph−ơng trình 
X2 + 2mx + n = 0 (1) 
có nghiệm, thì ph−ơng trình : 0112
2
2
=





++





++
k
knmx
k
kx (2) 
cũng có nghiệm. (m, n, k là các tham số : k ≠ 0) 
Bài 4( 1,5 điểm) 
Cho hàm số y = ax+ b có đồ thị (D) và hàm số y = kx 2 có đồ thị (P). 
a) tìm a, b biết rằng (D) đi qua A(-1; 3) và B(2; 0) 
b) Tìm k (k ≠ 0) sao cho (P) tiếp xúc với đ−ơừng thẳng (D) vờa t ìm đ−ợc . Viết 
ph−ơng trình của (P). 
Bài 5( 3,5 điểm) 
 Cho ∆ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp trong đ−ờng tròn tâm O. Hai 
đ−ờng cao AI, BE cắt nhau tại H. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 7
 
1) Chứng minh : Góc CHI = góc CBA. 
2) Chứng minh : EI ⊥ CO. 
3) Cho góc ACB = 600 . Chứng minh CO = CH. 
đề thi tuyển sinh lớp 10 khối THPT chuyên 
tr−ờng đại học s− phạm vinh 2005 
(dành cho mọi thí sinh . Thòi gan làm bài 150 phút) 
THTH 10 –2005 
Vòng 1 
Câu1 . 
a) Rút gọn biểu thức sau : 
2
158
2
158 −
+
+
=A 
b) Giải ph−ơng trình : 435 =−++ xx 
Câu2 . 
Chứng minh rằng (n3 + 17n)Μ6 với mọi số tự nhiên n. 
Câu3 . 
Giả sử ph−ơng trình x1 , x2 là hai nghiệm của ph−ơng trình mx
x
xx
+=
−
− 3
1
42 , 
Trong đó m là tham số. Tìm m để biểu thức x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu4 . 
Cho hình vuông ABCD. Hai điểm I, J lần l−ợt thuộc hai cạnh BC, CD sao cho góc 
IAJ = 45 0 . Đ−ờng chéo BD cắt AI, AJ t−ơng ứng tại H, K. Tính tỉ số 
IJ
HK 
Câu5 . 
Cho hai đ−ờng tròn (O1;R1)và (O2;R2)có R1 > R2 t iếp xúc ngoài với nhau tại A. 
Đ−ờng thẳng d đi qua A cắt đ−ờng tròn(O1;R1) tại M và cắt đ−ờng tròn (O2;R2) tại 
N (Các điểm M, N khác A). 
a) Xác định vị trí của đ−ờng thẳng d để độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất. 
b) Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đ−ờng thẳng d quay 
quanh điểm A. 
Vòng 2 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 8
 
Câu6 . 
Câu7 . 
Câu8 . 
Câu9 . 
Câu10 . 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 9
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1991 -1992 
* Môn Toán * Ngày thi 6/8/1991 * Thời gian 150 phút 
Bài 1: 
 Trên một đ−ờng giao thông đi qua ba t ỉnh A, B, C ( B nằm giữa A, C) có hai ng−ời 
chuyển động đều : M xuất phất từ A đi bằng ô tô và N xuất phát từ B đi bằng xe 
đạp. Họ xuất phát cùng một lúc và đi về phía C. Đến C thì M quay trở lại A ngay 
và về đến B đúng vào lúc N đến C.Tính qutng đ−ờng AC biết rằng qutng đ−ờng BC 
dài gấp đôi qutng đ−ờng AB và khoảng cách giữa hai địa điểm họ gặp nhau trên 
đ−ờng đi (một lần khi họ đi cùng chiều , một lần khi họ đi ng−ợc chiều) là 8 km. 
Bài 2 : 
 Cho hai số tự nhiên a, b sao cho a.b = 1991 19 92 . Hỏi tổng a + b có thể chia hết cho 
1992 hay không ? tại sao ? 
Bài 3 : 
 Cho góc nhọn xAy với tia phân giác Az , một điểm B cố định trên Az (B ≠ A). 
Ng−ời ta kẻ một đ−ờng tròn tâm O đi qua A, B cắt Ax, Ay lần l−ợt tại các điểm M, 
N. Gọi I là trung điểm của MN, dựng hình vuông ACID. Tìm tập hợp C, tập hợp D 
khi đ−ờng tròn (O) thay đổi luôn luôn qua A, B. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 10
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1992 -1993 
* Môn Toán * Ngày thi 11/6/1992 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2,5 điểm) 
Xét biểu thức : 
( ) ( ) 3
2
1
2
12
1
12
1
a
a
aa
P
−
+
−
−
+
+
= 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 
Bài 2 : (2,5 điểm) 
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 Km/h . Sau đó một thời gian , một xe con 
cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô 
tô tải tại B. Nh−ng ngay sau khi đ−ợc nửa qutng đ−ờng AB thì xe con tăng vận tốc 
thành 45 Km/h nên sau đó 1 h thì đuổi kịp ô tô tải . Tính qutng đ−ờng AB. 
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AB trên đó có một điểm M. Trên đ−ờng kính AB có 
một điểm C sao cho AC < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, ng−ời ta 
kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB; đ−ờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax 
tại P; đ−ờng thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại điểm Q. Gọi D là giao điểm 
của CP, AM; E là giao điểm của CQ, BM. 
a) Chứng minh rằng các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp đ−ợc. 
b) Chứng minh rằng hai đ−ờng thẳng AB, DE song song. 
c) Chứng minh rằng ba điểm P, M, Q thẳng hàng. 
d) Ngoài điểm M ra , các đ−ờng tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn có 
điểm chung nào nữa không , tại sao ? 
Bài 4 : (1 điểm) 
Giải ph−ơng trình : 
2x4 – x3 – 5x 2 + x + 2 = 0 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 11
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1992 -1993 
* Môn Toán * Ngày thi 12/6/1992 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2,5 điểm) 
Một gia đình lớn gồm 4 thế hệ, trong đó có 7 cặp ông nội – cháu nội. Biết rằng 
trong gia đình đó, mỗi ng−ời chỉ có nhiều nhất 2 con. Hỏi gia đình đó có ít nhất 
mấy nam giới ? tại sao ? 
Bài 2 : 
Trên mặt phẳng cho 9 điểm A1 , A 2 , . . . , A9 , t rong đó không có ba điểm nào thẳng 
hàng. Ng−ời ta kể tên các tam giác mà các đỉnh là 3 trong 9 điểm đt cho, sao cho 
bất cứ 2 tam giác nào cũng chỉ có nhiều nhất 1 đỉnh chung. 
a) Hỏi mỗi cách kể tên nh− trên có nhiều nhất bao nhiêu tam giác ? tại sao ? 
b) Hty nêu một cách kể tên với số tên tam giác nhất có thể đ−ợc. 
Bài 3 : 
Cho hình lục giác đều ABCDEG. Ng−ời ta tô đỏ 2 đỉnh A , D và tô xanh tất cả 4 
đỉnh còn lại. Sau đó, ng−ời ta đổi mầu các đỉnh đó theo quy tắc sau đây : 
-Mỗi lần đổi mầu phải chọn 3 đỉnh của một tam giác cân, đổi mầu đồng thời 3 đỉnh 
ấy (đỏ thành xanh, xanh thành đỏ). Hỏi sau một số lần thực hiện quy tắc đó, thì có 
thể thu đ−ợc kết quả là đỉnh C đỏ còn 5 đỉnh còn lại là xanh không ? tại sao ? 
Bài 4 : 
Để kỉ niệm kỳ thi Toán Quốc tế lần thứ XXIII, một học sinh đt lấy một số n bằng 
232 rồi ghi tất cả các số tự nhiên: 1, 2, . . . . , n vào tất cả các ô của một hình vuông 
cỡ 23ì23 ô vuông, sao cho : 
a) Mỗi một hàng đều có ít nhất một ô là ô lớn nhất trong cột chứa nó, và ít nhất 
một ô là ô nhỏ nhất trong cột chứa nó. 
b) Mỗi một cột, đều có ít nhất một ô là ô lớn nhất trong hàng chứa nó, và ít 
nhất một ô là ô nhỏ nhất trong hàng chứa nó. 
Hỏi, có thể thoả mtn đồng thời cả hai điều kiện a) và b) hay không ? tại sao ? (Ô 
này lớn hơn hoặc nhỏ hơn ô kia tuỳ theo số ghi trong ô đó lớn hơn hoặc nhỏ hơn số 
ghi trong ô kia). 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 12
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1993 -1994 
* Môn Toán * Ngày thi 8/7/1993 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2,5 điểm) 
Xét biểu thức : 
( )
a
a
a
a
aa
aa
aaP
+
−








−
+
+
⋅







+
−
−
=
1
1
:
1
111
3
a) Rút gọn P. 
b) Với điều kiện để P có nghĩa , hty so sánh P với P. 
Bài 2 :(2,5 điểm) 
Hai bến sông A, B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một 
chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3 km/ h. Sau khi đến bến B, ca nô trở về bến A 
ngay và gặp bè đt trôi đ−ợc 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết reawngf vận 
tốc riêng của ca nô không đổi. 
Bài 3 :(4 điểm) 
Cho ∆ABC có ba góc nhọn, trực tâm là H. Ng−ời ta dựng hình bình hành BHCD và 
gọi I là giao điểm của hai đ−ờng chéo. 
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đ−ợc 
b) So sánh các góc BAH và OAC (O là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆ABC ) 
c) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của ∆ABC. 
d) Tìm điều kiện rằng buộc giữa các góc B và C để OH song song với BC. 
Bài 4 :(1 điểm) 
Tìm điều kiện cần và đủ để ph−ơng trình bậc hai : 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
có nghiệm này gấp 1993 lần nghiệm kia. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 13
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1993 -1994 
* Môn Toán * Ngày thi 9/7/1993 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(4 điểm) 
Tìm tất cả các số có 4 chữ số abcd sao cho : 
a + b = cd 
c + d = ab 
Bài 2 : (4 điểm) 
Cho ∆ABC dựng các tam giác cân ABX, BCY, CAZ đồng dạng nh− sau : đỉnh X ở 
cùng phía với C so với cạnh AB, đỉnh Y ở khác phía với A so với cạnh BC và đỉnh 
Z ở khác phía với B so với cạnh CA. 
a) Chứng minh rằng nếu 4 điểm X, Y, Z, C không thẳng hàng , thì tứ giác 
XYCZ là hình bình hành. 
b) Khi nào 4 điểm X, Y, Z, C thẳng hàng ? 
Bài 3 : ( 4 điểm) 
Cho số A = 111... . .11 có 1993 chữ số 1. Có hay không bội số d−ơng của A, mà tổng 
các chữ số của nó nhỏ hơn 1992 ? 
Bài 4 : (4 điểm) 
Các đ−ờng chéo của tứ giác ABCD cắt nhau tại O ở trong tứ giác. Gọi diện tích của 
các tam giác AOB, COD lần l−ợt là S1 và S2 ,dieenhj t ích tứ giác ABCD bằng S. 
a) Chứng minh rằng : SSS ≤+ 21 (*) 
b) Hệ thứ (*) trên sẽ nh− thế nào khi ABCD là hình thang ? 
Bài 5 : (4 điểm) 
Chứng minh rằng ph−ơng trình : 0
4
323456
=+−+−+− xxxxxx 
không có nghiệm. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 14
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1994 -1995 
* Môn Toán * Ngày thi 7/7/1994 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2,5 điểm) 
Xét biểu thức : 








+
+







−
−
−−+
=
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
xP 
a) Rút gọn P. 
b) Tìm x để P ≤ 0 
Bài 2 : (2,5 điểm ) Cho hệ ph−ơng trình : 
( )



=+
=−−
13
121
ayx
yxa 
a) Giải hệ ph−ơng trình với 13 +=a 
b) Chứng minh rằng với mọi a, hệ có nghiệm duy nhất. 
c) Tìm a để x – y đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 3 : (4 điểm ) 
Cho đ−ờng tròn (O; R) và ∆ABC cân (AB = AC > R) nội tiếp đ−ờng tròn ấy. Kẻ 
đ−ờng kínhAI.Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC; Mx là tia đối của tia 
MC. Trên tia đối của tia MB lấy một điểm D sao cho MD = MC. 
a) Chứng minh rằng tia MA là phân giác của góc BMx. 
b) Gọi K là gia điểm thứ hai của đ−ờng thẳng DC với đ−ờng tròn (O). Tứ giác 
MIKD là hình gì , tại sao ? 
c) Gọi G là trọng tâm ∆MDK. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ 
AC thì G luôn nằm trên một đ−ờng tròn cố định. 
d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đ−ờng thẳng AD với đ−ờng tròn (O); P là giao 
điểm thứ hai của phân giác góc IBN với đ−ờng tròn (O). Chứng minh rằng 
đ−ờng DP luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung nhỏ AC. 
Bài 4: (1 điểm) 
Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho x – 2 d− 2 ; chia cho x + 2 d− –2 ; chia cho 
x2 – 4 đ−ợc th−ơng là x và còn d−. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 15
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1994 -1995 
* Môn Toán chuyên * Ngày thi 8/7/1994 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2,5 điểm) 
a) Tìm x, y nguyên d−ơng để phân số 
1
12
−
++
xy
xx nhận giá trị nguyên. 
b) Tồn tại hay không các số a, b, c, d hữu tỷ sao cho : 
( ) ( ) ( )24522 19941994 +=+++ dcba 
Bài 2 : (2,5 điểm) 
a) Cho x > 0 , y > 0 và x3 + y 3 = x- y 
Chứng minh rằng : x2 + y 2 < 1. 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của: 54183 22 ++−−++−= xxxxy 
Bài 3 : (3 điểm) 
Cho tứ giác lồi ABCD và hình chữ nhật MNEF sao cho M, E là trung điểm của AB, 
CD ; N ∈BC ; F ∈ DA. 
a) Chứng minh diện tích tứ giác ABCD bằng hai lần diện tích hình chữ MNEF. 
b) Chứng minh rằng diện tích tứ giác ABCD không v−ợt quá : )..(
2
1 DABCCDAB + 
Bài 4 : (2 điểm) 
Cho một số hữu hạn hình tròn chiếm trên mặt phẳng một diện tích bằng 1. Chứng 
minh rằng, có thể chọn ra một vài hình tròn đôi một không có điểm chung trong 
các hình tròn đt cho, có tổng diện tích không lớn hơn 1/9. 
Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao 
S−u tầm và biên soạn : Nguyễn Đức Tr−ờng - THCS Đa Tốn- Gia Lâm-Hà Nội 
 16
 
Sở giáo dục và đào tạo 
hà nội 
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
Tr−ờng Chu Văn An & Amsterdam 
Năm học `1995 -1996 
* Môn Toán * Ngày thi 11/7/1995 * Thời gian 150 phút 
Bài 1 :(2 điểm) 
Cho các biểu thức