Bài tập về góc nội tiếp

BÀI TẬP VỀ GÓC NỘI TIẾP 
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại 
M . Tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt đường tròn tại N . Chứng minh rằng : 
a) Tam giác MBC cân . 
b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng . 
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn ( M khác 
A và B ) . Kẻ MH  AB ( H AB ) . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn 
(O) vẽ hai nửa đường tròn tâm O1 đường kính AH và tâm O2 đường kính BH . MA và MB cắt 
hai nửa đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại P và Q . 
a) Chứng minh MH = PQ . 
b) Chứng minh hai tam giác MPQ và MBA đồng dạng . 
c) Chứng minh PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2) 
Bài 3: Cho ABC đều , đường cao AH . M là điểm bất kỳ trên đáy BC . Kẻ 
 MP  AB và MQ  AC . Gọi O là trung điểm của AM . 
a) Chứng minh năm điểm A , P , M , H , Q cùng nằm trên một đường tròn . 
b) Tứ giác OPHQ là hình gì ? chứng minh . 
c) Xác định vị trí của M trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất . 
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB . Lấy điểm M trên đường tròn (M khác A và B ) sao 
cho MA < MB . Lấy MA làm cạnh vẽ hình vuông MADE ( E thuộc đoạn thẳng MB ) . Gọi F là 
giao điểm của DE và AB . 
a) Chứng minh ADF và BMA đồng dạng . 
b) Lấy C là điểm chính giữa cung AB ( không chứa M ) . 
 Chứng minh CA = CE = CB 
c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I sao cho CI = CA . Chứng minh I là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ACE . 
Bài 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn . CA 
cắt nửa đường tròn ở M , CB cắt nửa đường tròn ở N . Gọi H là giao điểm của AN và BM . 
a) Chứng minh CH  AB . 
b) Gọi I là trung điểm của CH . Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) 
Bài 6: Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý . 
Gọi Q là giao điểm của AP và BC 
a) Chứng minh . .AQQC QP BQ 
b) Chứng minh BP+PC= AP. 
Bài 7: Cho tamg giác ABC vuông tại A ( AB > AC); đường cao AH, trung tuyến AM, phân 
giác AD lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại S, N, P. 
a) Chứng minh MP // AH. 
b) So sánh các góc MAP, MPA, PAS. 
c) Chứng minh AD là tia phân giác của góc MAH. 
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB, C lần 
lượt tại M và N. Gọi H là giao điểm của BN và CM. 
a) Chứng minh AH BC 
b) Chứng minh  HNM HAM 
c) Cho góc  60oBAC  . Chứng minh tam giác MON đều. 
Bài 9 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn ấy lấy điểm C sao cho 
cung AC < cung CB. Gọi N là điểm đối xứng với A qua C. 
a) Tam giác ABN là tam giác gì? Vì sao ? 
b) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm N dựng tiếp tuyến Ax với nửa đường 
tròn . Chứng minh rằng AC là phân giác của góc Max ( M là giao điểm của BC với nửa 
đường tròn) 
c) Nối BC cắt AM tại P, cắt Ax tại Q. Tứ giác AQNP là hình gì? Vì sao? 
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có AB =8cm, AC = 15cm, đường cao AH 
= 5cm. Tính bán kính của đường tròn. 
Bài 11: Cho nửa đường tròn đường kính BC. Các điểm M, N thuộc nửa đường tròn sao cho 
cung BM = cung MN = cung NC; các điểm D, E thuộc đường kính BC sao cho BD = DE = EC. 
Gọi A là giao điểm của MD và NE. Chứng minh tam giác ABC đều. 
Bài 12: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm trên cung nhỏ BC. Trên 
tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB. 
a) Tam giác BMD là tam giác gì? 
b) So sánh hai tam giác ADB và CMB. 
c) Chứng minh MA = MB +MC ( MA > CA) 
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm trên AC. Đường tròn đường kính CM 
cắt BM và BC lần lượt tại D và N; AD cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng: 
a) A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. 
b) CA là phân giác góc SCB. 
c) Các đường AB, MN, CD đồng quy. 
Bài 14: Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt 
đường tròn lần lượt tại A’, B’, C’. 
a) Chứng minh A’, B’, C’ lần lượt đối xứng với H qua BC, CA, AB. 
b) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC, HAC, HAB có bán kính bằng 
nhau. 
c) Khi BC cố định, A chạy trên (O) thì H chạy trên đường nào ? 
Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) (AB < AC). Đường kính MN vuông góc với BC tại H ( 
N thuộc cung nhỏ BC). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. BP cắt AN tại I. Chứng 
minh rằng: 
a) AM là đường phân giác ngoài của góc BAC. 
b) CI là đường phân giác của góc ACB. 
 -----HẾT----