Bài tập Tuyển chọn Oxy và hệ phương trình

Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9-10 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 
Câu 1: [Trích đề thi thử trường chuyên ĐHSP - Lần 1 – 2015] 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD . Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H . 
Gọi ( )17 29 17 9; , ; , 1;5
5 5 5 5
E F G      
   
 lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng ,CH BH và AD . Tìm tọa độ A 
và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE . 
Lời giải 
Do EF là đường trung bình của HBC∆ nên ta có 
/ /EF BC , mà / /AG BC và 1
2
AG EF BC= = nên 
AGEF là hình bình hành 
Ta có 
BH AC
F
EF AB
⊥
⇒ ⊥
 là trực tâm của ABE∆ 
AF BE GE BE⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 
Đường thẳng GE qua 17 29;
5 5
E   
 
 và ( )1;5G nên 
phương trình : 3 14 0GE x y− + = 
Đường thẳng BE qua 17 29;
5 5
E   
 
 và vuông góc với GE nên đường thẳng : 3 16 0BE x y+ − = 
Ta có ( )1;1AG FE A= ⇒


 


 
Đường thẳng AB qua ( )1;1A và vuông góc với EF nên đường thẳng : 1AB y = 
Do ( )5;1B BE AB B= ∩ ⇒ 
Tam giác ABE có ( ) ( ) 17 291;1 , 5;1 , ;
5 5
A B E   
 
 nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là ( )3;3I 
Vậy ( )1;1A và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE là ( )3;3I 
Câu 2: [Trích đề thi thử THPT Đông Sơn 1 - Lần 1 – 2015] 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )T có phương trình 
( ) ( )2 21 2 25x y− + − = . Các điểm ( ) ( )1;1 , 2;5K H− lần lượt là chân đường cao hạ từ ,A B của tam giác 
ABC . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh C có hoành độ dương. 
Lời giải 
Kẻ Cx là tiếp tuyến của đường tròn 
Do   090AHB AKB= = nên tứ giác ABKH là tứ giác nội tiếp 
Ta có  ACx ABC= và  CHK ABC= (do tứ giác ABKH nội 
tiếp)   / /ACx CHK Cx HK⇒ = ⇒ 
Mà TC Cx TC HK⊥ ⇒ ⊥ 
Đường thẳng HK qua ( ) ( )2;5 , 1;1H K − nên phương trình 
đường thẳng : 4 3 7 0HK x y− + = 
Đường thẳng TC qua ( )1;2T và vuông góc với đường thẳng 
HK nên phương trình : 3 4 11 0TC x y+ − = 
Do ( )1 4 ;2 3C TC C t t∈ ⇒ + − 
TUYỂN CHỌN OXY VÀ HỆ PT TẶNG HỌC SINH 
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn 
Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9-10 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 
Mà 
( )
( )
2 2 1 5; 15 16 9 25
1 3;5
t C
TC t t
t C l
= ⇒ −
= ⇒ + = ⇔ 
= − ⇒ − →
Đường thẳng AC qua ( ) ( )5; 1 , 2;5C H− nên phương trình đường thẳng : 2 9 0AC x y+ − = 
Đường thẳng BH qua ( )2;5H và vuông góc với đường thẳng AC nên đường thẳng : 2 8 0BH x y− + = 
Đường thẳng BC qua ( ) ( )5; 1 , 1;1C K− − nên phương trình đường thẳng : 3 2 0BC x y+ − = 
Ta có ( )4;2B BC BH B= ∩ ⇒ − 
Đường thẳng AK qua ( )1;1K − và vuông góc với đường thẳng BC nên đường thẳng : 3 2 0AK x y− + = 
Ta có 7 31;
5 5
A AC AK A = ∩ ⇒  
 
Vậy ( ) ( )7 31; , 4;2 , 5; 1
5 5
A B C  − − 
 
 là các điểm cần tìm 
Câu 3: [Trích đề thi thử THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa - Lần 1 – 2015] 
Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( )
2 3 1 3 5
1 2 2 1 2 1
xy y y x y x
y x y x x y y

− − = − − + − +

− − + − = − −
 . 
Lời giải: 
ĐK: 0;2 0; 1 0; 3 5 0y x y y x y x≥ − ≥ − − ≥ − + ≥ . 
Khi đó: ( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 0PT y x y x y y⇔ − − − + − − − = 
( )( ) 1 11 2 1 0
2 1 1
y x y
x y y
 
⇔ − − − + =  
− + + 
1
2 1
y
x y
=
⇔ 
− =
Với 1y = thế vào PT(1) ta có: ( )5 6 3x x x vn− = − + − 
Với 2 1y x= − thế vào PT(1) ta có: 22 4 2 5 1x x x x− + − = − − 
( )22 6 2 2 1 1 4 0x x x x x⇔ − + − − − + − − = 
( ) ( )
1 2 1 2
3 3 2 12 3 2. 0 3 2 0 3 5x x xx x x x x x y
MS MS MS MS
 
− − −
⇔ − + − + = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ =  
 
. 
Vậy nghiệm của HPT là ( ) ( ); 3;5x y = . 
Câu 4: Giải hệ phương trình 
( ) ( )1 1 2
5 3 1 6
y x y x y y x
y x y x

− − + − − + =

+ − = + + +
Lời giải: 
ĐK : 0; 8x y x≥ ≥ ≥ . Đặt ( ); 0a x y a b
b y
 = − ≥
=
 khi đó ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 2PT b a a b a b⇔ − + − + = + 
( ) ( ) ( )22 2 2 22 1 2 2ab a b a b a b ab a b a b ab⇔ + − − + = + ⇔ − + = + − − 
( )( ) ( )21 2 2 4ab a b ab a b⇔ − + + − = + − ( ) ( )( ) 1 11 1 2 0
1 1
a x y
a b a b
b y
= ⇔ − =
⇔ − − + + = ⇔ 
= ⇔ =
Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1PT x y y x y y x y y⇔ − − − − − = − − − − 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 11 11 1 1 1 1 1 0 11 1
y
y x y x y y y x y
x yx y y
  =
⇔ − − − = − − − ⇔ − − − + = ⇔    = +
− + +  
. 
+) Với 2
4 9 411 6 4
29 10 0
x
y x x x
x x
≤
−
= ⇒ + + = ⇔ ⇔ =
− + =
+) Với 1x y= + ta có: ( )5 3 2 2 1 6 *x x x+ − = − + + 
Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9-10 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 
( ) ( )8 32 3 6 3 2
6 3 2
x
x x x
x x
−
⇔ − = + − − =
+ + − ( )
3
6 3 2 4 1
x
x x
=
⇔ 
+ + − =
Giải ( ) ( ) ( ) 21 10 12 6 6 2 16 3 4 12 14 5x x x x x x⇔ − + + − = ⇔ + − = − 
( )
2
152
4
16 176 232 0
x
vn
x x
 ≤ ≤
⇔ 

− + =
. 
Vậy nghiệm của hệ PT là: ( ) ( )9 41; ;1 ; 3;4
2
x y
  
− 
=    
   
. 
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 : 3 0,d x y+ + = 2 : 1 0d x y− + = và điểm 
( )1;2 .M Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt 1d tại hai điểm A và B sao cho 8 2AB = và đồng thời 
tiếp xúc với 2d . 
Lời giải 
Gọi ( );I a b là tâm của đường tròn, H là trung điểm của AB 
Ta có ( ) 21;2M d∈ , mà ( )M C∈ 
M⇒ là giao điểm của 2d và ( )C 
( )2 ; 1H d H a a∈ ⇒ + 
Ta có 1 4 2
2
MH AB= = 
( ) ( ) ( )2 2 21 1 32 1 16a a a⇒ − + − = ⇔ − = 
( )
( )
5 5;6
3 3; 2
a H
a H
= ⇒
⇒ 
= − ⇒ − −
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm ( )4;0I và 
phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam 
giác là 1 : 2 0d x y+ − = và 2 : 2 3 0.d x y+ − = Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam giác 
ABC biết B có tung độ dương. 
Lời giải 
Gọi M là trung điễm của BC , H là chân đường cao kẻ 
từ A 
Ta có ( )1;1A AH AM A= ∩ ⇒ 
Đường thẳng IM qua I và song song với AH 
: 4 0IM x y⇒ + − = 
Ta có ( )5; 1M IM AM M= ∩ ⇒ − 
Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH 
: 6 0BC x y⇒ − − = 
Đường tròn ngoại tiếp ABC∆ có tâm ( )4;0I bán kinh 
10IA = là ( ) ( )2 2: 4 10C x y− + = 
,B C là giao điểm của ( )C với BC nên tọa độ ,B C thỏa 
mãn hệ phương trình ( )2 2
6 0 7, 1
3, 34 10
x y x y
x yx y
− − = = =
⇒ 
= = −
− + = 
Giả sử ( )7;1B , ( )3; 3C − 
Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9-10 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 
Đường thẳng AB qua ( )1;1A và ( )7;1 : 1B AB y⇒ = 
Đường thẳng AC qua ( )1;1A và ( )3; 3 : 2 3 0C AC x y− ⇒ + − =