Bài tập Phương trình bậc nhất đối với sin và cos (Có lời giải chi tiết) - Trần Thị Hà

1 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1. Với giá trị nào của m thì phương trình 3 sin 2 cos 2 1 x m x luôn có nghiệm? 
A. 1m B. Không có m C. 0m D. Với mọi m 
Câu 2. Phương trình 3 sin 2 cos 2 1 0  x x có nghiệm là: 
A.  
3




 
  


x k
k
x k
 B.  2
2
3




 
  


x k
k
x k
C.  
2
2
2
3




 
  


x k
k
x k
 D.  2
3




 
  


x k
k
x k
Câu 3. Phương trình 3 cos3 sin 2 2 x x có nghiệm là: 
A.  
2
36 3
5 2
36 3
 
 

  

  


k
x
k
k
x
 B.  36 3
5
36 3
 
 

  

  


k
x
k
k
x
C.  
2
36 3
5 2
36 3
 
 

 

   


k
x
k
k
x
 D.  
2
36
5
2
36





  

  


x k
k
x k
Câu 4. Khẳng định nào đúng về phương trình  2 2 sin cos cos 3 cos2  x x x x 
A. Có 1 họ nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Có 1 nghiệm duy nhất 
Câu 5. Số họ nghiệm của phương trình sin 2 3cos2 3 x x là: 
A. Vô nghiệm B. 1 C. 2 D. 3 
Câu 6. Số họ nghiêm của phương trình    1 3 sin 1 3 cos 2   x x là: 
A. Vô nghiệm B. 1 C. 2 D. 3 
Câu 7. Nghiệm của phương trình cos7 cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin 5  x x x x x là: 
A.  
3




 
  


x k
k
x k
 B.  
3




 
   


x k
k
x k
C.   x k k D.  
2
2
3




 
   


x k
k
x k
2 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
Câu 8. Nghiệm của phương trình 3sin 4 cos 4 sin 3 cos  x x x x là: 
A.  
2
18 3
3 2
10 5
 
 

  

  


k
x
k
k
x
 B.  
2
18 3
3 2
10 5
 
 

 

   


k
x
k
k
x
C.  
2
18 5
3 2
10 3
 
 

  

  


k
x
k
k
x
 D.  
2
18 3
3 2
10 5
 
 

 

  


k
x
k
k
x
Câu 9. Phương trình sin 3 cos 2 x x có hai họ nghiệm có dạng 2 , 2 ,      x k x k 
,
2 2
 
 
 
   
 
 . Khi đó .  là: 
A. 
2
12

 B. 
25
144

 C. 
25
144

 D. 
2
12

Câu 10. Số vị trí biểu diễn nghiệm của phwuong trình  sin 3 2 cos 1  x x trên đường tròn lượng giác là: 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Câu 11. Hệ phương trình 3
sin sin 1

 

  
x y
x y
 có nghiệm là: 
A.  
2
6
2
6





 

  


x k
k
y k
 B.  
2
6
2
6





 

  


x k
k
y k
C.  
2
3
2
6





 

  


x k
k
y k
 D.  
2
6
2
3





  

  


x k
k
y k
Câu 12. Phương trình 3sin 2 4cos2 5cos2017 0  x x x có số họ nghiệm là: 
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô nghiệm 
Câu 13. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 3 cos 1  y x x lần lượt là M, m. Khi đó tổng 
M m bằng: 
A. 2 B. 4 C. 3 D. 8 
Câu 14. Phương trình 33sin 3 3 cos9 1 4sin 3  x x x là: 
3 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
A.  
2
6 9
7 2
6 9
 
 

  

  


k
x
k
k
x
 B.  
2
9 9
7 2
9 9
 
 

  

  


k
x
k
k
x
C.  
2
12 9
7 2
12 9
 
 

  

  


k
x
k
k
x
 D.  
2
54 9
2
18 9
 
 

  

  


k
x
k
k
x
Câu 15. Phương trình 
2
cos 2sin cos
3
2cos sin 1


 
x x x
x x
 có nghiệm là: 
A.  
18 3
 
   
k
x k B.  
4
18 3
 
   
k
x k 
C.  
5
18 3
 
   
k
x k D.  
2
18 3
 
   
k
x k 
Câu 16. Tổng các nghiệm thuộc đoạn 0;
2
 
 
 
 của phương trình 2
5
2 3 cos sin5 1 3
2
  
x
x là: 
A. 
3
5

 B. 
29
30

 C. 
5
6

 D. 
23
30

Câu 17. Số nghiệm thuộc khoảng 
2 6
;
5 7
  
 
 
 của phương trình 3sin 7 cos7 2 x x là: 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Câu 18. Phương trình 3 3sin cos sin cos  x x x x có nghiệm là: 
A.   x k k B.  
2

  x k k 
C.  2
6

  x k k D. Tất cả đều đúng. 
Câu 19. Phương trình 
3
cos 3sin 3 0
cos 3sin 1
   
 
x x
x x
 có nghiệm là: 
A.  
2
6
2
3





 

  


x k
k
x k
 B.  
5
6
2
3





 

  


x k
k
x k
C.  
5
2
6
2
3





 

  


x k
k
x k
 D.  
5
6
3





 

  


x k
k
x k
4 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
Câu 20. Phương trình 23sin 2 2cos 2 2 2cos 2  x x x có mấy họ nghiệm? 
A. 1 họ nghiệm B. 2 họ nghiệm C. 3 họ nghiệm D. Vô nghiệm 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM 
1D 2D 3A 4C 5C 
6C 7B 8A 9B 10C 
11A 12B 13C 14D 15D 
16D 17D 18B 19B 20A 
Câu 1. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
3 sin 2 cos 2 1 x m x 
Ta có: 
3
1
 

 
 

a
b m
c
Để phương trình có nghiệm thì 2 2 2 2 23 1 2      a b c m m (luôn đúngm ) 
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 
Chọn D. 
Câu 2. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
5 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
 
3 sin 2 cos 2 1 0
3 1 1
sin 2 cos 2 0
2 2 2
1
sin 2 .cos cos 2 .sin
6 6 2
sin 2 sin
6 6
2 2
6 6
7
2 2
6 6
2 2
4 2
2 2
3 3
 
 
 

 

 
 
 
  
   
   
   
      
   

   
 
   

  
   
    
 

x x
x x
x x
x
x k
x k
x k x k
k
x k x k
Chọn D. 
Câu 3. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
 
3 cos3 sin 2 2
3 1 2
cos3 sin 3
2 2 2
2
sin 3 .cos cos3 .sin
3 3 2
sin 3 sin
3 4
3 2
3 4
3
3 2
3 4
2
3 2
36 312
5 5 2
3 2
12 36 3
 
 
 

 

 

  

 
  
  
   
     
   

  
 
   


     
  
    
 

x x
x x
x x
x
x k
x k
k
xx k
k
k
x k x
Chọn A. 
Câu 4. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
6 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
 
 
 
2
2 2 sin cos cos 3 cos 2
2 2 sin cos 2 2 cos 3 cos 2
2 sin 2 2 1 cos 2 3 cos 2
2 sin 2 2 1 cos 2 3 2
  
   
    
    
x x x x
x x x x
x x x
x x
Ta có: 
   
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 1 2 2 1 3 2 2 3 2 2 11 6 2 6 4 2 0
3 2
 

                  

 
  
a
b a b c
c
a b c
Vậy phương trình vô nghiệm 
Chọn C. 
Câu 5. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
sin 2 3cos 2 3
1 3 3
sin 2 cos 2
10 10 10
 
  
x x
x x
Đặt 
1
cos
10
 thì 
3
sin
10
 , khi đó ta được: 
 
 
sin 2 cos cos 2 sin sin
sin 2 sin
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
  
 
  
   
 
 
 


 
  
  
     
 
   
 
 
  


x x
x
x k
x k
x k
x k
x k
k
x k
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. 
Chọn C. 
Câu 6. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
7 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
   1 3 sin 1 3 cos 2
1 3 1 3 1
sin cos
2 2 2 2 2
   
 
  
x x
x x
Đặt 
1 3
cos
2 2


 thì 
1 3
sin
2 2


 , khi đó phương trình tương đương: 
 
 
2
sin cos cos sin
2
sin sin
4
2 2
4 4
3 3
2 2
4 4
 


 
   
 
   
 
  
 
       
   
       
  

x x
x
x k x k
k
x k x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Chọn C. 
Câu 7. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
 
cos7 cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin 5
cos7 cos5 sin 7 sin 5 3 sin 2 1
cos 7 5 3 sin 2 1
cos 2 3 sin 2 1
1 3 1
cos 2 sin 2
2 2 2
cos 2 cos sin 2 sin cos
3 3 3
cos 2 cos
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
  
 
 

 

  
   
   
  
  
  
 
   
 

  
 
    

x x x x x
x x x x x
x x x
x x
x x
x x
x
x kx k
x
x k
 
3



 
   

k
k
Chọn B. 
Câu 8. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
8 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
3 sin 4 cos 4 sin 3 cos
3 1 1 3
sin 4 cos 4 sin cos
2 2 2 2
sin 4 cos cos 4 sin sin sin cos cos
6 6 6 6
sin 4 cos
6 6
sin 4 sin
6 3
4 2 3 2
6 3 6
4
4 2
6 3
   
 
 
  

 

  
   
   
   
       
   
   
      
   

      
 
    

x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x k x k
x x k
 
2
18 3
3 23
5 2
10 52
 

 


  
 
   
 

k
x
k
k
xx k
Chọn A. 
Câu 9. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
 
2
sin 3 cos 2
1 3 2
sin cos
2 2 2
2
sin cos cos sin
3 3 2
sin sin
3 4
2 2
3 4 12
3 5
2 2
3 4 12
512
.
5 144
12
 
 
  
 
  
 



 


 
  
  
 
   
 
 
      
   
     
 

  
  
 


x x
x x
x x
x
x k x k
k
x k x k
Chọn B. 
Câu 10. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
 sin 3 2 cos 1
1 3 2 1
sin cos
8 4 3 8 4 3 8 4 3
  

  
  
x x
x x
9 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
Đặt 
1 3 2
cos sin
8 4 3 8 4 3
 

  
 
. Khi đó phương trình tương đương: 
 
sin cos cos sin cos
sin sin
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
  

 
 
   
 
    
 
 
    
 
 
      
  
       
  
x x
x
x k x k
x k x k
Vì 0   có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình. 
Chọn C. 
Câu 11. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
 
3
3
sin sin 1 1sin sin 1
3




    
 
          
y x
x y
x xx y
 
 
 
3 1
1 sin cos sin 1
2 2
1 3
sin cos 1
2 2
sin cos cos sin 1
3 3
sin 1
3
2
3 2
2
6
2 2
3 3 6 6
 

 



   
 
   
  
  
 
   
 
   
   
        


x x x
x x
x x
x
x k
x k k
y x k k k
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  
2
6
2
6





 

  


x k
k
y k
Chọn A. 
Câu 12. 
10 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
Hướng dẫn giải chi tiết 
3sin 2 4cos 2 5cos 2017 0
3 4
sin 2 cos 2 cos 2017 0
5 5
  
   
x x x
x x x
Đặt 
3 4
sin cos
5 5
    , khi đó ta có: 
   
 
sin 2 sin cos 2 cos cos 2017
cos 2 cos 2017
2 2017 2
2 2017 2
2019 2
2015 2
2
2019 2019
2
2015 2015
 
 
  
  
  
  
  
  
  
   
   
      
  
     

 
 
  


x x x
x x
x x k
x x k
x k
x k
k
x
k
k
x
Chọn B. 
Câu 13. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
sin 3 cos 1
1 3 1
2 sin cos
2 2 2
1
2 sin cos cos sin
3 3 2
2sin 1
3
 

  
 
    
 
 
   
 
 
   
 
y x x
y x x
y x x
y x
Ta có: 1 sin 1 2 2sin 2 1 sin 1 3
3 3 3
       
                   
     
x x x 
min 1; max 3 3 1 2          m y M y M m 
Chọn C. 
Câu 14. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
11 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
 
3
3
3sin 3 3 cos9 1 4sin 3
3sin 3 4sin 3 3 cos9 1 0
sin 9 3 cos9 1
1 3 1
sin 9 cos9
2 2 2
1
sin 9 cos cos9 sin
3 3 2
sin 9 sin
3 6
2
9 2
3 6 54 9
5 2
9 2
3 6 18 9
 
 
   

   

  
    
  
  
  
   
     
   
 
      
   
     
  

x x x
x x x
x x
x x
x x
x
k
x k x
k
k
x k x 
Chọn D. 
Câu 15. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
ĐK: 
  
 
2
2
2
2cos sin 1 0
2 2sin sin 1 0
2sin sin 1 0
2sin 1 sin 1 0
2
6
1
sin 7
22
6
sin 1
2
2






  
    
   
   

  

  
     
 

 


x x
x x
x x
x x
x k
x
x k k
x
x k
12 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
 
2
2
cos 2sin cos
3
2cos sin 1
cos 2sin cos 2 3 cos 3 sin 3
cos sin 2 3 1 cos 2 3 sin 3
cos 3 sin 3 cos 2 sin 2
1 3 3 1
cos sin cos 2 sin 2
2 2 2 2
cos cos sin sin sin 2 cos cos 2 sin
3 3 3 3
cos s
3
   



 
    
     
   
   
   
 
   
 
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
 
 
 
in 2
3
cos cos 2
3 6
2 2 3 2
3 6 6
2 2 2
3 6 2
2
218 3
18 3
2
2

 
  
 
  
 
 
 


 
 
 
   
      
   
 
       
  
         
 

  
     
  


x
x x
x x k x k
x x k x k
k
x tm
k
x k
x k ktm
Chọn D. 
Câu 16. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
 
 
2 52 3 cos sin 5 1 3
2
3 1 cos5 sin 5 1 3
sin 5 3 cos5 1
1 3 1
sin 5 cos5
2 2 2
1
sin 5 cos cos5 sin
3 3 2
sin 5 sin
3 6
2
5 2
3 6 30 5
5 2
5 2
3 6 10 5
 
 
   

   

  
    
  
  
  
 
   
 
 
      
   
     
  

x
x
x x
x x
x x
x x
x
k
x k x
k
k
x k x 
13 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
Với họ nghiệm  
2
30 5
 
   
k
x k , ta được 
1 4
2 1 2 1
0 0 112 3
30 5 2 30 5 2
2 11
30 5 30
  
  

 
           
 
    

kk k
k
k
x
Với họ nghiệm  
2
10 5
 
  
k
x k , ta được: 
1
012 1 2 1
0 0 4
110 5 2 10 5 2
10
2
10 5 2
  

  

   
         
 


 
   


kkk k
k
k
x
x
Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn 0;
2
 
 
 
 là: 
11 29
30 10 2 30
   
   
Chọn D. 
Câu 17. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
 
3 sin 7 cos7 2
3 1 2
sin 7 cos7
2 2 2
2
sin 7 cos cos7 sin
6 6 2
sin 7 sin
6 4
5 2
7 2
6 4 84 7
3 11 2
7 2
6 4 84 7
 
 
   

   

 
  
  
   
     
   
 
     
   
     
  

x x
x x
x x
x
k
x k x
k
k
x k x
Với họ nghiệm 
5 2
84 7
 
 
k
x , ta được: 
2 5 2 6 2 5 2 6 143 67
2
5 84 7 7 5 84 7 7 120 24
   
           
k k
k k (vì k ) 
14 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
5 4 53
84 7 84
  
   x 
Với họ nghiệm 
11 2
84 7
 
 
k
x , ta được: 
12 11 2 6 2 11 2 6 113 61
25 84 7 7 5 84 7 7 120 24
    
           

kk k
k
k
(vì k ) 
11 2 35
84 7 84
11 4 59
84 7 84
  
  

  
 
   

x
x
Vậy phương trình có hai 3 nghiệm thuộc khoảng 
2 6
;
5 7
  
 
 
Chọn D. 
Câu 18. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
   
 
 
 
 
   
3 3
2 2
2
sin cos sin cos
cos cos 1 sin 1 sin
1 cos 2
cos 1 sin .cos
2
1 cos 2
cos 1 sin cos 0
2
cos 1 cos 2 2 sin 2 0
cos sin 2 cos 2 3 0
cos 0 1
sin 2 cos 2 3 0 2
1
2


  
   
 
   
 
 
    
 
    
    

 
   
   
x x x x
x x x x
x
x x x
x
x x x
x x x
x x x
x
x x
x k k
Xét (2) ta có: 2 2 2
1
1
3
 

    
 
a
b a b c
c
 phương trình (2) vô nghiệm. 
Vậy nghiệm của phương trình là:  
2

  x k k 
Chọn B. 
Câu 19. 
15 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
Hướng dẫn giải chi tiết 
Đặt    
3 1
cos 3sin 2 sin cos 2 sin cos cos sin 2sin 2;2 \ 1
2 2 6 6 6
       
                     
t x x x x x x x 
Khi đó phương trình đã cho 
 
2 2 033 3 3 3 2 0
21
2sin 0 sin 0
6 6
2sin 2 sin 1
6 6
5
6 6 6
2 2 2
6 2 3 3
 
 
  
  
   
  

              
    
       
     
    
       
    
  
        
     
        
    

t
t t t t t t
tt
x x
x x
x k x k x k
k
x k x k x k
Chọn B. 
Câu 20. 
Hướng dẫn giải chi tiết 
 
2
2 2
2
2
2
3 sin 2 2cos 2 2 2cos 2
3 sin 2 2cos 2 2 2 2cos 1
3 sin 2 2cos 4 cos
2 3 sin cos 2cos 4 cos 0
3 sin cos cos 2 cos 0
  
    
  
   
   
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
Trường hợp 1: cos 0 cos cos  x x x . Khi đó: 
16 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@ 
 
 
23 sin cos cos 2cos 0
cos 3 sin cos 2 0
3 1
cos sin cos 1 0
2 2
cos sin cos cos sin 1 0
6 6
cos 0
2
sin 1
26
6 2
2
2 2
2
3
 



 







   
   
 
     
 
 
    
 
               

 
    
  


PT x x x x
x x x
x x x
x x x
x x k
x
x k
x k
x k k
x k
 (Vì 
2 1
2 cos 0
3 2

      x k x ktm ) 
Trường hợp 2: cos 0 cos cos   x x x . Khi đó: 
 
 
23 sin cos cos 2cos 0
cos 3 sin cos 2 0
3 1
cos sin cos 1 0
2 2
cos sin cos cos sin 1 0
6 6
cos 0
2
sin 1
26
6 2
2
2
2
3
 



 







   
   
 
     
 
 
    
 
                 

 
    
   


PT x x x x
x x x
x x x
x x x
x x k
x
x k
x k
x k k
x k
(Vì 
1
2 cos 0
3 2

      x k x ktm ) 
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm là  
2

  x k k 
Chọn A. 
17 GV: Trần Thị Hà – tranhabr@