Bài tập nâng cao Hình học 7 (các đề thi Violympic toán 7)

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
( Các đề thi violympic toán 7)
BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) ∆ABE = ∆ADC b) 
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
 a) Chứng minh: EM + HC = NH.
 b) Chứng minh: EN // FM.
Bài 3:Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. 
Chứng minh rằng : .
Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các DMAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Bài 6: . Cho tam giác vuông ABC: , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho
 CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. 
Chứng minh: AE = BC.
Bài 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. 
Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
a) ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.
b) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB
Bài 8: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o . Tính và 
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC
Bài 10: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh AK + CE = BE.
 ******************&**********************
BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương:
 a) ; b) 27 < 3n < 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:
Bài 3. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.
Bài 4: a) Tính: P = 
b) Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
c) Cho: A = 
Tính giá trị của A biết là số nguyên âm lớn nhất.
Bài 5: Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. 
Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ?
Bài 6: Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. 
Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?
Bài 7: a) Tìm x biết: 
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: chia hết cho 7.
Bài 8: a)Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất
b)Tìm x, y, z biết: ; và 
 c) Tìm x, y, z biết và 
 d) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có:
a) A = 
b) chia hết cho 77.
c) C = chia hết cho 6.
d) Chứng minh rằng là một số tự nhiên.
Bài 10: Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút. 
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B?
Bài 11: Tìm để AÎ Z và tìm giá trị đó.
a). A = . b). B = .
Bài 12: Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây.Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu h/ s. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau.
Bài 13: Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một nửa và sai 1 nửa:
a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2. b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3.
c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4.
Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn.
Bài 14: a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Î Z).
b) Biết . Chứng minh rằng: 
Bài 15: Cho . 
CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: 
Bài 16: Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây.
Bài 17: Cho chứng minh rằng: 
 a) 	b) 
Bài 18: Tìm A biết rằng: A = .
Bài 19: Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A ?.
Đáp án:
BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) ∆ABE = ∆ADC b) 
	Giải:
a) Xét ∆ABE và ∆ADC :
 AB = AD; AE = AC ( vì tam giác đều)
nên ∆ABE = ∆ADC ( c - g - c)
b) Ta có : ( t/c góc ngoài)
 = 
Từ ∆ABE = ∆ADC 
 ( cặp góc tương ứng)
nên = 600 + 600 = 1200
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
 a) Chứng minh: EM + HC = NH.
 b) Chứng minh: EN // FM.
Giải: 
a) Ta có : ( ch - gn)
Vì 
 AB = AE ( gt)
 ( cùng phụ với )
Suy ra : EM = AH (1) 
Tương tự: ( ch - gn)
 (2) 
Từ (1) và (2). Suy ra : EM + HC = AH + NA = NH
b) Từ ( 3)
Từ (1) và (3). Ta có : EM = MF 
mặt khác : EM // NF ( cùng vuông góc với AH)
Ta suy ra : EN // FM
Bài 3: Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. 
Chứng minh rằng : .
Giải: 
 Trên cạnh AB lấy điểm P bất kì.
Vẽ đường tròn(P; PB) và đường tròn ( C;CB) 
Cắt nhau tại I. Gọi J = . 
Ta có : có chu vi bằng 2 cm.
Thật vậy: 
 (*)
Nên 
Suy ra : 
 (**)
Vậy Chu vi 
 = AP+ PB + QD + AQ = AB + AD = 2
Từ (*) và (**). Ta có : 
Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các DMAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Giải:a) Ta có: 
Nên 
; AD = AE.
b) Vì vuông cân tại A
nên AM là đường trung tuyến thì 
AM cũng là đường cao.
Suy ra : DMAB; MAC là các tam giác vuông 
Có 1 góc bằng 450 là tam giác vuông cân.
c) có BE vừa là đường cao, vừa là đường 
trung tuyến nên cân tại B.
Suy ra : BE cũng là đường trung trực 
Nên EK = EA 
; nên vuông cân
 nên KC = KE và (*)
nên EK // AM Suy ra : vuông cân tại K
( Vì 
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông g?c với BC kẻ t? D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Giải: a) Ta có : ( g-c-g) ( Vì cùng bằng )
Nên MD = NE.
b) Xét và : , MD = NE ( cmt)
 ( Hai góc đối đỉnh)
Nên = ( cgv - gn)
c) Từ B và C kẻ các đường thẳng lần lượt vuông 
Góc với AB và AC cắt nhau tại J.
Ta có : 
Nên J thuộc AL đường trung trực ứng với BC
Mặt khác : Từ ( Câu a)
Ta có : BM = CN
 BJ = CJ ( cm trên)
Nên ( c-g-c)
 hay đường trung trực của MN
Luôn đi qua điểm J cố định.
Bài 6: . Cho tam giác vuông ABC: , đường cao AH, trung tuyến AM. 
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. 
Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho
 CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song
 với AC cắt đường thẳng AH tại E. 
Chứng minh: AE = BC.
a) Ta có : 
Suy ra 
Mặt khác : : vuông cân
( CH -CGV)
 hay CJ là phân giác của hay vuông cân tại J.
Nên AJ = AC
Xét và : ; AJ = AC ( cmt); 
Nên = ( g-c-g) 
Bài 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. 
Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
a) ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.
b) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB
Bài 10: