Bài tập Hình học 11 - Chủ đề: Khoảng cách - Phùng Hoàng Cúc

 1 HÌNH HỌC 11 TRỌNG TÂM PHÙNG HOÀNG CÚC- 0934791809- HỘI AN 
CHỦ ĐỀ: KHOẢNG CÁCH 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH , với H là hình 
chiếu của M trên đường thẳng a . 
Kí hiệu:  ,d M a MH . 
② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   là MH , với H là hình 
chiếu của M trên mặt phẳng   . 
Kí hiệu:   ,d M MH  . 
③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một 
điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia. 
     , ,d a b d M b MH M a   
④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng   song song với nhau là 
khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng   : 
      , ,d a d M MH M a          
⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất 
kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 
          , , A, ,d d a d AH a A a                   
⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ,a b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là 
đường vuông góc chung của ,a b . IJ gọi là đoạn vuông góc chung của ,a b . 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. 
II. KỸ NĂNG CƠ BẢN 
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng 
a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước 
Các bước thực hiện: 
Bước 1. Trong mặt phẳng  ,M d hạ MH d với H d . 
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác, đường 
tròn,  
 Chú ý: 
 Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì:      , ,d M d d A d AK A d   . 
 Nếu MA d I  , thì: 
 
 
,
,
d M d MI
d A d AI
 . 
a
b
c
J
I
a
bJ
I



M
H
a
a M A
K
d
A
K
d
I H
M

H
M

M
H
a

M
H
a
b

M
H
a

A
B
H K
a
 2 HÌNH HỌC 11 TRỌNG TÂM PHÙNG HOÀNG CÚC- 0934791809- HỘI AN 
b. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng   
Các bước thực hiện: 
Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên   . 
1. Tìm mặt phẳng   qua O và vuông góc với   . 
2. Tìm        . 
3. Trong mặt phẳng   , kẻ OH   tại H. 
 H là hình chiếu vuông góc của O lên   . 
Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến   . 
 Chú ý: 
 Chọn mặt phẳng   sao cho dễ tìm giao tuyến với   . 
 Nếu đã có đường thẳng  d  thì kẻ / /Ox d cắt   tại H. 
 Nếu  //OA  thì:      , ,d O d A  . 
 Nếu OA cắt   tại I thì: 
  
  
O,
,
d OI
AId A


 
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ,a b 
 Trường hợp a  b: 
B1: Dựng mặt phẳng   chứa a và vuông góc với b tại B. 
B2: Trong   dựng BA  a tại A. 
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 Trường hợp a và b không vuông góc với nhau. 
Cách 1: (Hình a) 
- B1: Dựng mp   chứa a và song song với b. 
- B2: Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  () tại M 
- B3: Từ M dựng b// b cắt a tại A. 
- B4: Từ A dựng //AB MM  cắt b tại B. 
 AB là đoạn vuông góc chung. 
Cách 2: (Hình b) 
- B1: Dựng mặt phẳng   a  tại O,   cắt b tại I 
- B2: Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên   
- B3: Trong mp   , vẽ OH  b tại H. 
- B4: Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B 
- B5: Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. 
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ,a b 
Cách 1. Dùng đường vuông góc chung: 
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của ,a b .Suy ra  ,d a b AB 
Cách 2. Dựng mặt phẳng   chứa a và song song với b. Khi đó:     , ,d a b d b  
Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:       , ,d a b d   



O
H
 H
O d
 H
O A
K
 H
O
A
K
I
b
a
B
A
(Hình a)
A

B M
M'
a
b
b'
(Hình b)

b'
a b
A
O
I H
B
 3 HÌNH HỌC 11 TRỌNG TÂM PHÙNG HOÀNG CÚC- 0934791809- HỘI AN 
VẤN ĐỀ 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 
I. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
1. 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại B,   , ,SA ABC AB a SA a   
a). CMR:    SAB SBC 
b). Tính khoảng cách từ A đến (SBC). 
c). Tính khoảng cách từ C đến (SAB). 
d). Tính khoảng cách từ B đến (SAC). 
e). Gọi O là trung điểm AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC). 
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, ( )SA ABCD và 3SA a . 
Tính khoảng cách từ: 
a)C đến (SAB) b)B đến (SAC) c)A đến (SBC) 
d)A đến (SBD) e)O đến (SAB) f)O đến (SBC) 
g) Gọi M là trung điểm SC. G là trọng tâm ABC 
Tính d(M;(ABCD)); d(G;(SAC)) 
3. Cho tứ diện ABCD có 3 góc vuông tại A, AB a , 2AC a và 3AD a . Tính khoảng cách từ A 
đến ( )BCD . 
II. MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC 
Câu 1. D-2011. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng 
(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2 3a và góc SBC = 30°. Tính thể tích khối chóp 
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 
Câu 2. D-2012 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = 
a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. 
Câu 3. D-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc 
BAD = 120°, M là trung điểm của cạnh BC và góc SMA = 45°. Tính theo a thể tích của khối chóp 
S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). 
Câu 4. B-2011 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình 
chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai 
mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60°. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ 
điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. 
Câu 5. B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng 
cách từ A đến mặt phẳng (SCD). 
Câu 6. B-2014 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên 
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy là 60°. Tính 
theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’). 
Câu 7. A- 2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30°. SBC là tam giác đều 
cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách 
từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). 
Câu 8. A-2014 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a/2, hình chiếu vuông 
góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp 
S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). 
 4 HÌNH HỌC 11 TRỌNG TÂM PHÙNG HOÀNG CÚC- 0934791809- HỘI AN 
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
CHỦ ĐỀ 1: KHỐI CHÓP ĐỀU 
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 060 
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: 
A 
2
a
. B. 
4
a
. C. 
3
4
a
. D. 
3
2
a
. 
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, , 2AB a AC a  và diện tích tam giác 
SBC bằng 
2 33
6
a
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: 
A. 
330
33
a
. B. 
330
11
a
. C. 
110
.
33
a
 D. 
2 330
.
33
a
CHỦ ĐỀ 2: KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY 
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết 2AD a , 
AB BC SA a   . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính 
khoảng cách h từ M đến mặt phẳng  SCD . 
A.
6
6
a
h  . B. 
6
3
a
h  . C. 
3
6
a
h  . D. 
3
a
h  . 
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc 0120BAD  . Các mặt phẳng 
 SAB và  SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối chóp 
S.ABCD là 
3 3
3
a
. Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng  SBC theo a. 
A.
228
38
a
h  . B.
228
19
a
h  . C.
2 5
5
a
h  . D.
2 5
19
a
h  . 
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, 0120BAD  . Hai mặt phẳng 
 SAB và  SCD cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng 
 ABCD là 045 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng 
 SCD theo a. 
A. 
7
14
a
h  . B. 
21
7
a
h  . C.
2 21
21
a
h  . D. 
3
7
a
h  . 
CHỦ ĐỀ 3: KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC MẶT ĐÁY 
Câu 6. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt 
phẳng  SCD . 
A. 
21
7
h
a
 . B. h a . C. 
3
4
h
a
 . D. .
3
7
h
a
 
Câu 7. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 
3
2
a
SD  , hình chiếu vuông góc 
của S trên  ABCD là trung điểm cạnh AB . Tính theo a khoảng cách h từ A đến mặt phẳng 
 SBD . 
A. 
2
3
a
h  . B. 
3
a
h  . C. 
3
3
a
h  . D. 
6
.
3
a
h  
 5 HÌNH HỌC 11 TRỌNG TÂM PHÙNG HOÀNG CÚC- 0934791809- HỘI AN 
CHỦ ĐỀ 4: LĂNG TRỤ ĐỨNG -HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƯƠNG 
Câu 8. Cho hình lăng trụ đứng .ABC A B C   có mặt đáy ABC là tam giác vuông tại B có 
, 3, 2AB a AC a A B a   . Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách từ M đến ( )A BC là: 
A.
3
4
a
. B.
3
2
a
. C.
3
2
a
. D.
3
4
a
. 
Câu 9. Cho hình lập phương .ABCD A B C D    có diện tích tam giác B AB bằng 22a .hãy tính khoảng 
cách giữa điểm B và mặt phẳng ( )C BD 
A. 2 3a . B.
2 3
3
a
. C.
3
3
a
. D. 
2
3
a
 . 
CHỦ ĐỀ 5: LĂNG TRỤ XIÊN 
Cho hình lăng trụ .ABC A B C   có mặt đáy là tam giác đều cạnh 2AB a . Hình chiếu vuông góc của A 
lên mặt phẳng  ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 
060 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACC A  theo a là: 
A.
39
13
a . B.
15
5
a . C.
2 21
7
a . D.
2 15
5
a . 
Câu 10. Cho hình lăng trụ .ABC A B C   có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông tại A , , 2AB a AC a  
Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết 
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 030 . Tính khoảng cách từ điểm C đến  ABB A  là: 
A.
3 5
2
a . B.
5
5
a . C.
2 85
17
a . D.
2 13
3
a . 
Câu 11. Cho lăng trụ .ABCD A B C D    có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O có , 2AB a BC a  . Gọi 
,H M lần lượt là trung điểm của ,OA AA . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng 
 ABCD trùng với điểm H . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 060 . Tính khoảng cách từ 
điểm M đến mặt phẳng  CDD C  : 
A.
2 29
13
a . B.
2 85
17
a . C.
2 285
19
a . D.
2 21
7
a . 
CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP 
Câu 12. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , đỉnh S cách đều các điểm , ,A B C 
Biết 2 ,AC a BC a  , góc giữa đường thẳng SB và  mp ABC bằng 060 . Tính khoảng cách từ 
trung điểm M của SC đến  mp SAB theo a . 
A.
39
13
a
. B.
3 13
13
a
. C.
39
26
a
. D.
13
26
a
. 
Câu 13. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2AB a AD a  , cạnh bên SA 
vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 060 . Gọi ,M N là trung 
điểm các cạnh bên SA và .SB Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  DMN . 
A.
31
2 5
a
. B.
31
60
a
. C.
60
31
a
. D.
2 5
31
a
. 
 6 HÌNH HỌC 11 TRỌNG TÂM PHÙNG HOÀNG CÚC- 0934791809- HỘI AN 
VẤN ĐỀ 2: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 
I. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, ( )SA ABCD và 
2SA a .Dựng đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau đây và suy ra khoảng cách 
giữa chúng: 
a. SB và CD b. SA và BC c. SA và CD 
d. SA và BD e. (*)SC và AB f. (**)SC và BD 
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a , 2AD a , ( )SA ABCD , 
2SA a . Dựng đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau đây và suy ra khoảng 
cách giữa chúng: 
SA và BD AD và SC 
3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a và ( )SO ABCD , 2SO a . 
a). Tính khoảng cách giữa SO và CD. 
b). Tính khoảng cách giữa O và (SBC), khoảng cách giữa A và (SBD). 
4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I và J là trung điểm của AB và CD. 
a). Chứng minh AB CD 
b). Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD, suy ra khoảng cách giữa AB và CD. 
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a và ( )SA ABCD , 3SA a 
.Tính: 
a). ( ,( ))d A SBD , ( , ( ))d A SBC 
b). Tính khoảng cách từ O đến các mặt của hình chóp. 
c). Gọi M là trung điểm của SD. Tính ( ,( ))d SB ACM , ( , ( ))d O BCM 
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh A và SA SB SC SD a    . 
a). Chứng minh ( )SO ABCD . Tinh khoảng cách từ O đến (ABCD) 
b). Gọi I, J là trung điểm của AD và BC. Chứng minh ( ) ( )SIJ SBC . 
c). Tính khoảng cách giữa AD và SB. 
7. Cho lăng trụ đứng .ABC A B C   có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2 , 3,AA =aBC a AB a   . 
a). Tính   AA , BCC Dd   
b). Tính   ,d A A BC 
c). Tính   ,d A ABC  
8. Cho hình lập phương .ABCD A B C D    có cạnh a. 
a). CMR:    BDD B ACD   
b). Tính     ,d ACD BA C   
c). Tính    , , ,d BC CD d BB AC    . 
9. Cho lăng trụ đứng .ABC A B C   có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết AA =a 2 
a). Gọi M là trung điểm AC. CMR:    BB M BA C   . 
b). Tính   ,d M BA C  
 7 HÌNH HỌC 11 TRỌNG TÂM PHÙNG HOÀNG CÚC- 0934791809- HỘI AN 
II. MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC 
Câu 1. D-2014 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; mặt bên 
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy. Tính theo a thể 
tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. 
Câu 2. 2015 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc 
với mặt phẳmg (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 450. 
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng 
SB, AC. 
Câu 3. A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần 
lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH 
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM 
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 
Câu 4. A-2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 
2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là 
trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc 
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và 
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. 
Câu 5. A-A1- 2012 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông 
góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc 
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp 
S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.