Bài tập Đại số 11 - Chương 4: Giới hạn

§1: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
A. LÝ THUYẾT:
Định nghĩa: nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp: 
a) 	b) 	c) 
Định lí 1 (về giới hạn kẹp): Cho hai dãy số . Nếu và 
Định lí 2: nếu 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
CM dãy số có giới hạn 0 dựa vào ĐL kẹp và dãy số có giới hạn 0 đặc biệt
Bài 1: CMR các dãy số sau có giới hạn 0:
	a) 	b) 	c) 
Bài 2: CMR các dãy số sau có giới hạn 0:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
Bài 3: CMR các dãy số sau có giới hạn 0:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 4: CMR các dãy số sau có giới hạn 0:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 5: Cho dãy số với . CMR:
	a) 	b) 
Bài 6: Cho hai dãy số và thỏa mãn và bị chặn. CMR: 
§2: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
A. LÝ THUYẾT:
1. Định nghĩa: 
2. Một số định lý:
Định lí 1: Giả sử , khi đó:
Nếu và 
Định lí 2: Giả sử 
, 
Định lí 3: Cho 3 dãy số . Nếu và 
Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q2 +  = 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: CM dãy số có giới hạn là L
Phương pháp: cm dãy có giới hạn L ta CM 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng
	a) 	b) 
Dạng 2: Tìm giới hạn của dãy số
Ví dụ 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 2: Tìm giới hạn của các dãy số sau:
	a) 	b) 
Ví dụ 3: Tính giới hạn của các dãy số cho bởi các công thức sau:
	a) 	b) 
Dạng 3: CM dãy số có giới hạn dựa vào tính đơn điệu và bị chặn của dãy số
Ví dụ 1: Cho dãy số xác định bởi: . CMR dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi CMR: dãy số có giới hạn.
Dạng 4: Tính giới hạn dãy số dựa vào định lí kẹp
Ví dụ 1: Tính giới hạn của các dãy số sau:
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Tính các giới hạn
	a) 
	b) 
Dạng 5: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ 1: Tính các tổng sau đây:
	a) 
	b) với 
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Bài 1: Cho dãy số với . Hãy tìm số nguyên dương N nhỏ nhất sao cho với mọi trong mỗi trường hợp sau đây đối với 
	a) 	b) 
Bài 2: CMR:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 3: CMR: 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 	
c) 
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 9: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 10: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 11: Tính giới hạn của các dãy số sau:	
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 12: Tính các giới hạn sau đây
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Bài 13: CM rằng các dãy số cho bởi các công thức sau đây có giới hạn:
	a) 
	b) 
	c) 
Bài 14: CMR các dãy số sau có giới hạn và tìm các giới hạn đó
	a) 	b) 
Bài 15: Cho dãy số được cho bởi . 
Chứng minh rằng dãy tăng và bị chặn trên
Tính 
Bài 16: Cho dãy số được cho bởi .
CM dãy số tăng và bị chặn trên
Tính giới hạn của dãy số.
Bài 17: CMR
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 18: Tính các tổng sau đây
	a) 	b) 
	c) 
Bài 19: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn biết 
	a) 	b) 
Bài 20: 
Cho . CMR: 
Cho . CMR: 
§3: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
A. LÝ THUYẾT:
Dãy số có giới hạn : mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.
Dãy số có giới hạn : mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.
Chú ý: 
Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực:
Qui tắc 1:
Qui tắc 2:
Dấu của 
Qui tắc 3:
Dấu của L
Dấu của 
+
-
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Chứng minh dãy số dần tới vô cực
Ví dụ 1: CMR các dãy số sau có giới hạn 
	a) 	b) 
Dạng 2: Tính giới hạn vô cực của dãy số
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Chứng minh rằng:
	a) 	b) 	c) 
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
§4: ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT:
Giới hạn của hàm số tại một điểm:
Giới hạn hữu hạn: Giả sử (a;b) chứa x0, f(x) xác định trên (a;b), có thể không xác định tại x0. ĐN: 
Giới hạn vô cực: 
Giới hạn của hàm số tại vô cực: 
Giả sử hàm số f(x) xác định trên . ĐN: 
Tương tự cho các định nghĩa: , ,
Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
Định lí 1: Giả sử 
, 
Nhận xét: 
Định lí 2: Giả sử . Khi đó:
Nếu 
Định lí 3: Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên (a;b) chứa x0, có thể không xác định tại x0.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa
Ví dụ 1: Bằng định nghĩa, chứng minh rằng:
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Bằng định nghĩa, hãy tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Dạng 2: Tính một số giới hạn đơn giản của hàm số thường gặp
Ví dụ 1: Tính giới hạn của các hàm số sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Dạng 3: Tính các giới hạn của hàm số khi 
Ví dụ 1: tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Dạng 4: Tính các giới hạn của hàm số khi bằng cách dùng định lí kẹp
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 	
c) 	d) 
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Bài 1: Bằng định nghĩa, chứng minh rằng:
	a) 	b) 
Bài 2: Áp dụng định nghĩa tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3: Cho hàm số và hai dãy số dần về 0
Tính giới hạn của các dãy số 
Tồn tại hay không 
Bài 4: Bằng cách chọn hai dãy số thích hợp, hãy chứng minh các hàm số sau đây không có giới hạn khi x dần về 0
	a) 	b) 
Tính giới hạn hàm số:
Bài 5: 	a) 	b) 	c) 	
d) 
Bài 6: 	a) 	b) 	c) 	
d) 
Bài 7: 	a) 	b) 	
c) 	d) 
Bài 8: 	a) 	b) 	
c) 	d) 
§5: GIỚI HẠN MỘT BÊN
A. LÝ THUYẾT:
Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên , 
Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định trên , 
Nhận xét: 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính giới hạn một bên của hàm số
Ví dụ 1: Bằng định nghĩa, hãy tính giới hạn một bên của các hàm số sau:
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Tính các giới hạn một bên sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 
Ví dụ 3: Tính các giới hạn một bên:
	a) 	b) 
Ví dụ 4: Cho hàm số 
Tính , 
Tồn tại hay không giới hạn 
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn tại một điểm 
Ví dụ 1: Tìm giá trị của tham số a để:
	a) có giới hạn khi 
	b) có giới hạn khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị của a và b để hàm số có giới hạn tại x=-1 và x=1.
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Tính giới hạn một bên
Bài 1: Áp dụng định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 2: 
Cho hàm số . Tính , 
Cho hàm số . Tính , 
Bài 3: Tính các giới hạn sau đây
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 4: Tính các giới hạn sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 5: Cho hàm số . Tính , , 
Bài 6: Cho hàm số . Tính , 
Bài 7: Cho hàm sô . Tính , 
Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn bằng cách tìm giới hạn một bên
Bài 8: Xác định giá trị của a để 
Hàm số có giới hạn tại x=1
 có giới hạn tại x=-2
Bài 9: Tìm a, b sao cho:
Hàm số có giới hạn tại x=-1 và x=2
Hàm số có giới hạn tại x=-1 và x=1
§6: MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH
A. LÝ THUYẾT:
1. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực:
Quy tắc 1: Giả sử , 
Dấu của L
Quy tắc 2: Giả sử , 
Dấu của L
Dấu của g(x)
2. Các dạng vô định: 
Chú ý: Để khử dạng vô định ta thường sử dụng PP:
Phân tích đa thức thành nhân tử hoặc áp dụng HĐT
Nhân liên hợp
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm giới hạn hàm số có dạng 
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
a) 	b) 	
c) 	d) 
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số có dạng 
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số có dạng 
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: 
	a) 	b) 
Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số có dạng 
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: 
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
§7: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. LÝ THUYẾT:
Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số liên tục: Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và . Hàm số f(x) liên tục tại x0 
Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0
Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn: 
Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b). f(x) liên tục trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b).
Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng [a;b]. f(x) liên tục trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và 
Chú ý:
+,-,*,/ các hàm liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.
Hàm sơ cấp: đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Tính chất của hàm số liên tục
Định lí: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và nằm giữa f(a), f(b), 
Hệ quả: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và 
Nhận xét: 
Dùng hệ quả để cm phương trình f(x)=0 có ít nhất nghiệm trên (a;b).
Đồ thị hàm số liên tục là đường liền nét
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn
Ví dụ 1: CMR các hàm số sau đây liên tục tại điểm x0 bất kì
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Ví dụ 3: Tìm các khoảng, đoạn liên tục của các hàm số sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 4: Xác định giá trị của a để các hàm số sau đây liên tục tại điểm chỉ ra
	a) tại điểm x0=-2
	b) tại điểm x0=0
Ví dụ 5: Xác định giá trị của tham số để các hàm số sau đây liên tục trên R
	a) 
	b) 
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm
Ví dụ 1: CMR:
	a) Phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1;0)
	b) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2)
Ví dụ 2: CMR:
	a) Phương trình với luôn có ít nhất một nghiệm x0 thỏa mãn 
	b) phương trình có nghiệm x0 thuộc (0;1) thỏa mãn 
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Xét tính liên tục của hàm số
Bài 1: Tìm điểm gián đoạn của các hàm số sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 2: Xác định giá trị của tham số để các hàm số sau đây liên tục tại điểm chỉ ra 
	a) liên tục tại x0=-1
	b) liên tục tại x0=2
Bài 3: Tìm các khoảng liên tục của các hàm số sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây – vẽ đồ thị
	a) 	b) 
Bài 5: Tìm giá trị của tham số để các hàm số sau đây liên tục trên R
	a) 	b) 
Bài 6: Xét sự liên tục của các hàm số sau:
	a) 	b) 
Chứng minh phương trình có nghiệm
Bài 7: CMR các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm
	a) 	b) 
Bài 8: CMR các phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi m
	a) 	b) 
Bài 9: CMR:
	a) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
	b) Phương trình có một nghiệm duy nhất.
Bài 10: CMR phương trình có ít nhất một nghiệm x0>0 và nghiệm x0 đó thỏa mãn 
Bài 11: CMR:
	a) phương trình có 4 nghiệm phân biệt
	b) có nghiệm với mọi a.