Bài tập Chứng minh quan hệ song song, vuông góc của hai đường thẳng

Vấn đề 2: Chứng minh quan hệ song song, vuông góc của hai đường thẳng
A/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song.
Các phương pháp thường dùng
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Sử dụng hệ quả định lí hai đường thẳng song song.
Sử dụng hệ quả của tiên đề Ơclit.
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của hình thang.
Sử dụng tính chất của tứ giác đặc biệt.
Sử dụng định lí Talet đảo.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Các phương pháp thường dùng
Sử dụng tính chất hai tia phân giác của góc kề bù.
Sử dụng tính chất tam giác cân, tam giác vuông.
Sử dụng hệ quả định lí về hai đường thẳng song song.
Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.
Sử dụng tính chất các đường chéo trong hình vuông, hình thoi.
Sử dụng tính chất đường tròn.
Sử dụng định lí Pytago đảo.
Sử dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm một dây cung không qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy.
Sử dụng đường kính đi qua điểm giữa của một cung thì vuông góc với dây trương cung ấy.
Sử dụng đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau là đường trung trực của dây cung.
Sử dụng hệ quả của góc nội tiếp: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B/ BÀI TẬP.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các tia phân giác của góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại H. Các tia phân giác góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại K. chứng minh: HK // DC.
Cho hình bình hành ABCD, các tia phân gíac A và D cắt nhau tại M, các tia phân giác B và C cắt nhau tại N. Chứng minh: MN // AB. HD: các tia AM, BN cắt DC lần lượt tại E, F.
Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm AB, N là trung điểm CD, PBC (PBPC), QAD (QAQD). Biết MPNQ là hình bình hành. Chứng minh BC // AD. HD: gọi EM, F lần lượt là trung điểm BC, AD.
Trên tia kéo dài của đường chéo AC của hình thang ABCD (AD // BC) về phía C ta lấy P tùy ý. Các đường thẳng đi qua P và các trung điểm E, F lần lượt của BC, AD cắt các cạnh bên AB và CD tương ứng tại M, N. Chứng minh: MN // AD và MN // BC.
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp, O1 và O2 là tâm đường tròn bang tiếp góc A và B của tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AO1 và BO2 tương ứng tại M, N. Chứng minh: MN // O1O2.
Cho hình thang vuông ABCD ( = = 90O) và CD = 2AB, H là hình chiếu của D trên đường chéo AC, M là trung điểm HC. Chứng minh: BMMD. HD: gọi N là trung điểm HD.
Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên AC và O là trung điểm HI. Chứng minh AOBI.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại M, AD cắt BC tại N. Các tia phân giác của các góc AMC và ANB cắt tại I. Chứng minh IMIN. HD: tia MI cắt AD, BC tại E, F.
Từ điểm M ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm AC và BD. Chứng minh MKBD.
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). M nằm bất kì trên cung AC. Vẽ MDAC, MEBC (DAC, EBC). I, K là trung điểm AB, DE. Chứng minh KIKM.
 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh AIJK.
 Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tại A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF (E(O), F(O’)). Gọi M là giao điểm AE, DF, N là giao điểm EB, FC. Chứng minh MNAD.
 Cho hình vuông ABCD, M nằm tùy ý trên CD. Hai đường tròn đường kính CD và AM cắt tại N (D). Gọi K là giao điểm DN và BC. Chứng minh ACKM. HD: gọi I là giao điểm đường tròn (O) đường kính AM và AB.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O’), có đường cao AN và CK (NBC; KAB). Đường tròn qua 3 điểm B, K, N cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai M. Chứng minh OMMB, ở đó O là trung điểm của cạnh AC.
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp và P là giao điểm AD và BC; Q là giao điểm AB và CD. Tia phân giác cắt PD, PC theo thứ tự M, N. Trên đường trung bình EF của tam giác PMN (E PM) lấy điểm O sao cho EO = 2OF. Đường thẳng vuông góc với PC tại F cắt tia phân giác góc P tại K. Chứng minh OK NE.