Tài liệu ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chủ đề 2: Hàm số và đồ thị

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài 1:Treân heä truïc toaï ñoä Oxy cho caùc ñieåm :M(2 ; 1) vaø N(5; - ) vaø ñöôøng thaúng (d):y = ax+ b
 a) Tìm a vaø b ñeå ñöôøng thaúng (d) ñi qua M vaø N
 b) Xaùc ñònh toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vôùi 2 truïc Ox vaø Oy
Giải:
a) Vì ñöôøng thaúng (d) : y = ax + b ñi qua 2 ñieåm M vaø N neân laàn löôït thay x = 2, y = 1 vaø x = 5 , y = - vaøo phöông trình ñöôøng thaúng (d), ta coù heä phöông trình
Vaäy ñöôøng thaúng (d) : y = - x + 2
b) Xaùc ñònh taïo ñoäï giao giao ñieåm cuûa (d) vôùi 2 truïc toaï ñoä
+ Giao cuûa (d) vôùi truïc Oy: Cho x = 0 vaøo phöông trình y = - x + 2 ta tìm ñöôïc 
y = 2 => (d) caét truïc Oy taïi ñieåm (0; 2)
+ Giao cuûa (d) vôùi truïc Ox : Cho y = 0 ta coù: 0 = - x + 2 => x = 4
(d) caét truïc Ox taïi ñieåm (4;0)
Bài 2:
Cho caùc haøm soá :
 y = x2 (P) ; y = 3x + m2 (d) ( x laø bieán soá , m laø tham soá cho tröôùc)
 1) Chöùng minh raèng vôùi baát kyø giaù trò naøo cuûa m , ñöôøng thaúng (d) luoân caét parabol(P) taïi 2 ñieåm phaân bieät.
 2) Goïi y1 vaø y2 laø tung ñoä caùc giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol(P).Tìm m ñeå coù ñaúng thöùc :
 y1 + y2 = 11y1.y2 
Giải: 
Caâu 1 (1 ñieåm)
Hoaønh ñoâï giao ñieåm cuûa parabol (P) vaø ñöôøng thaúng (d) laø nghieäm cuûa 
phöông trình : x2 = 3x + m2
 x2  - 3x - m2 = 0 (*) 
Phöông trình (*) coù : = 9 + 4m2 > 0 vôùi moïi m 
=> phöông trình (*) luoân coù hai nghieäm phaân bieät 
=> Ñöôøng thaúng (d) bao giôø cuõng caét parabol (P) taïi hai ñieåm phaân bieät 
Caâu 2 (1 ñieåm)
Goïi A vaø B laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø para bol (P) vaø toaï ñoä giao ñieåm cuûa chuùng laø:
 A(x1; y1) ; B(x2 ; y2)
AÙp duïng heä thöùc viet cho phöông trình (*) ta coù :
Ta coù y1 + y2 = ( 3x1 + m2) + (3x2 + m2 ) = 3(x1 + x2) + 2m2 = 2m2 + 9 (1)
vaø y1.y2 = x12.x22 = (x1.x2)2 = (-m2)2 = m4 (2)
Töø (1) vaø (2) ta coù :
 y1 + y2 = 11y1 .y2 
 2m2  + 9 = 11 m4 (3)
 11m4 – 2m2 – 9 = 0 
Ñaët : t = m2 , ñieàu kieän t 0 ,phöôöng trình (3) trôû thaønh:
 11t2 – 2t – 9 = 0
Vì phöông trình coù a + b + c = 0, neân phöông trình coù 1 nghieäm laø t = 1
ngieäm coøn laïi laø t = - (loaïi)
Vôùi t = 1 => m2 = 1 => m = 1 
Vì phöông trình (*) coù nghieäm vôùi moïi m neân m = 1 thoaû maõn
=> ñöôøng thaúng (d) caét parabol (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät coù tung ñoä thoaû maõn 
 y1 + y2 = 11y1.y2 m = 1 
Bài 3: Treân parabol y = x2 laáy 2 ñieåm A vaø B .Bieát hoaønh ñoä cuûa ñieåm A laø xA = - 2 vaø tung ñoä cuûa ñieåm B laø yB = 8 .Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AB.
Giải:
Vì điểm A có có hoành độ xA = - 2 thuộc đồ thị hàm số y = x2 nên tung độ của điểm A là 
yA = (- 2)2 = 2. Vậy điểm A(- 2; 2)
Vì điểm B có tung độ yB = 8 thuộc đồ thị hàm số y = x2 nên hoành độ của điểm B là: 
8 = xB2 => xB2 = 16 => xB = 4. Vậy ta có hai điểm B thỏa mãn đề bài B1(4; 8) ; B2(- 4; 8)
Gọi đường thẳng AB cần tìm là: y = ax + b
Trường hợp 1: Điểm A(- 2 ; 2) và B(4; 8) ta có:giải hệ PT này ta được a = 1; b = 4.
 Khi đó đường thẳng AB cần tìm là y = x + 4
Trường hợp 2: Điểm A(- 2 ; 2) và B(-4; 8) ta có giải hệ PT ta được a = -3 ; b = - 4 
Khi đó phương trình đường thẳng AB cần tìm là: y = - 3x – 4
Vậy phương trình đường thẳng AB cần tìm là : y = x + 4 hoặc y = - 3x – 4
Bài 4: Cho ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình y = ax + b . Bieát raèng ñöôøng thaúng (d) caét truïc hoaønh taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng 1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng y = - 2x + 2003
a)Tìm a vaø b 
b) Tìm toaï ñoä caùc ñieåm chung (neáu coù ) cuûa (d) vaø parabol: y = - x2
Giải:
a)Ñöôøng thaúng y = ax + b song song vôùi ñöôøng thaúng y = - 2x + 2003 neân chuùng coù cuøng heä soá goùc 
=> a = -2. 
Ñöôøng thaúng (d) caét truïc hoaønh taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng 1 neân toaï ñoä ñieåm 
(1;0) thoaû maõn phöông trình cuûa (d):
 0 = a.1 + b 
Giaûi ra ta ñöôïc : a = -2 vaø b = 2 
b) Toaï ñoä ñieåm chung cuûa (d) vaø parabol y = - x2 laø nghieäm cuûa heä phöông trình:
 => - x2 = - 2x + 2 
 x2 - 4x + 4 = 0 
Giaûi phöông trình ta ñöôïc x = 2 
=> y = - 2
Vaäy ñöôøng thaúng (d) vaø parabol coù 1 ñieåm chung vôùi toaï ñoä (2; - 2) 
Bài 5: Cho parabol (P) vaø ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình :
(P) : y = ; (d) : y = mx – m + 2 ( m laø tham soá )
1) Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d) vaø parabol (P) cuøng ñi qua ñieåm coù hoaønh ñoä x = 4.
2) Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa m , ñöôøng thaúng (d) luoân caét parabol (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät
3) GIaû söû (x1; y1) vaø (x2 ; y2) laø toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol(P). Chöùng minh raèng : 
 y1 + y2 (2- 1 )(x1 + x2).
Giải:
1) Tìm m:
 Thay x = 4 vaøo y = ñöôïc y = 8.
Thay x = 4 vaø y = 8 vaøo y = mx – m + 2 , ta coù : 8 = 4m – m + 2
 3m = 6 m = 2
 Vaäy m = 2 laø giaù trò caàn tìm
2)Chöùng minh 
 Ñöôøng thaúng (d) caét parabol (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät phöông trình
 = mx – m + 2 coù 2 nghieäm phaân bieät
 = mx – m + 2 x2 – 2mx + 2m – 4 = 0 (1)
 = m2 - 2m + 4
 = (m – 1)2 + 3 > 0 vôùi moïi m => phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
3)Chöùng minh 
(x1 ; y1) vaø (x2; y2) laø toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø 
 parabol (P) neân x1 , x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình (1)
 => x1 + x2 = 2m
 y1 + y2 = mx1 – m + 2 + mx2 – m + 2 = m(x1 + x2) – 2m + 4
 = 2m2 - 2m + 4 = (m – 2)2 +(2 - 1).2m (2 - 1)(x1 + x2)
Bài 6: Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy cho parabol (P) vaø ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình :
(P) : y = x2  ; (d) : y = 2(a – 1)x + 5 – 2a ( a laø tham soá)
1) Vôùi a = 2 tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol (P)
2) Chöùng minh raèng vôùi moïi a ñöôøng thaúng (d) luoân caét parabol (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät.
3) Goïi hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol(P) laø x1 , x2 .Tìm a ñeå :
 x12 + x22 = 6.
Giải
2.1
Vôùi a = 2 thì ñöôøng thaúng (d) coù daïng y = 2x + 1
Toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol (P) laø nghieäm cuûa heä 
phöông trình : 
x2 = 2x + 1 x2 – 2x – 1 = 0
Giaûi phöông trình naøy ta coù : x1 = 1+ ; x2 = 1 - 
Vôùi x = 1+ => y = 3 + 2
Vôùi x2 = 1 - => y = 3 - 2 
Vaäy toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol(P) laø:
 ( 1 + ; 3 + 2) ; ( 1 - ; 3 - 2) 
2.2 
Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa parabol (P) vaø ñöôøng thaúng (d) laø 
nghieäm cuûa phöông trình: x2 = 2(a – 1)x + 5 – 2a 
 x2 - 2(a – 1)x + 2a – 5 = 0 (1) 
Phöông trình (1) coù :
 = (a – 1)2 – 2a + 5 
 = a2 - 4a + 6 
 = (a – 2)2 + 2 > 0 Vôùi moïi a 
phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät vôùi moïi a
Ñöôøng thaúng (d) vaø parabol (P) luoân caét nhau taïi 2 
ñieåm phaân bieät vôùi moïi a 
2.3 
Theo (gt) => x1 , x2 laø nghieäm cuûa phöông trình (1).AÙp duïng ñònh lyù Vieùt ta coù:
 x1 + x2 = 2( a – 1)
 x1 . x2 = 2a - 5 
=> x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4(a – 1)2 – 2(2a – 5) = 4a2 – 12a + 14 
=> x12 + x22 = 6 4a2 – 12a + 14 = 6 a2 – 3a + 2 = 0 
 a1 = 1 ; a2 = 2 
Vaäy a1 = 1 ; a2 = 2 laø caùc giaù trò caàn tìm 
Bài 7: 
1)Cho hµm sè y = 2x + 2m + 1 . X¸c ®Þnh m , biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm A(1 ; 4).
2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = x2 vµ ®å thÞ hµm sè y = 2x + 3
Giải:
1) Ñoà thò haøm soá ñi qua ñieåm A(1;4) 4 = 2.1 +2m + 1 m = 
2) Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò caùc haøm soá ñaõ cho laø nghieäm cuûa phöông trình x2 = 2x + 3 x2 – 2x – 3 = 0 (1)
Phöông trình (1) laø phöông trình baäc hai coù a – b + c = 0
Phöông trình (1) co ù2 nghieäm x1 = - 1, x2 = 3 (laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò)
Vôùi hoaønh ñoä x1, x2 thì tung ñoä laàn löôït laø
y1 = x12 = (-1)2 = 1, y2 = x22 = 32 = 9
Vaäy toaï ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò ñaõ cho laø: (-1; 1), ( 3; 9)
Bài 8:Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) và parapol (p) có phương trình là y = - 
1)Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng k và đi qua điểm A(2; - 3)
2)Chứng minh rằng bất cứ đường thẳng nào đi qua điểm A(2;-3) không song song với trục tung bao giờ cũng cắt parabol y = - tại 2 điểm phân biệt
Giải:
C©u 1: Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k lµ:
y = k(x-2) – 3
C©u 2: Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ kh«ng song song víi trôc tung cã d¹ng:
y = k(x-2) – 3 ( k lµ 1 sè bÊt kú)
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña parabol (p) vµ ®­êng th¼ng (d) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:
-x2 = k(x-2) – 3 x2 + 2kx – 4k – 6 = 0 (*)
§­êng th¼ng (d) vµ parabol(p) c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt
 ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi k 
 > 0 víi mäi k
 k2 + 4k + 6 > 0 víi mäi k 
ThËt vËy = k2 + 4k + 6 = (k2 + 4k + 4) + 2 = (k + 2)2 + 2 > 0 víi mäi k 
®iÒu ph¶i chøng minh.
Bài 9:Treân heä truïc toaï ñoä Oxy cho parabol (P) coù phöông trình : y = x2 (P)
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng y = 3x + 12 vaø coù vôùi parabol (P) ñuùng moät ñieåm chung.
Giải:
+)Goïi (d) laø ñöôøng thaúng phaûi tìm.Vì ñöôøng thaúng (d) // ñöôøng thaúng 
 y = 3x + 12 => phöông trình ñöôøng thaúng (d) coù daïng; y = 3x + m 
+)Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol y = x2 laø nghieäm cuûa phöôøng trình:
 x2 = 3x + m x2 – 3x – m = 0 (*) 
+)Ñöôøng thaúng (d) vaø parabol y = x2 coù ñuùng 1 ñieåm chung 
phöông trình (*) coù nghieäm duy nhaát
 = 0 9 + 4m = 0 m = - 
=> phöông trình ñöôøng thaúng (d) laø y = 3x -