Đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán năm học 2005 - 2006

đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán
Năm học 2005-2006
Thời gian làm bài 90 phút
 Câu I. Tìm tập hợp số hữu tỷ x để là số hữu tỷ ?
 Câu II. x, y, z là các số thực dương thoả mãn . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y + z
 Câu III. Giải phương trình: 81x4 + 5 = 3
 Câu IV. Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a, kí hiệu: . Tìm x thoả mãn:
 = 
 Câu V. Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo AC lấy điểm M; I, Q là trung điểm của AM và MC. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD, đường thẳng này cắt AB tại N, cắt CD tại K. 
 Chứng minh: IB.AK = DQ.CN
Đáp án
Câu I. (3 điểm)
 Đặt (x; t Q; x + t 0); 
 Ta có: x2 +4 = (x + t)2 x = vì x + t > 0 nên + t 0
 0 t > 0; Vậy x = ( t > 0; t Q)
Câu II. (4 điểm)
 Ta có: 
 áp dụng BĐT Bunhiacốpki ta có:
 .
 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
 => x = 6; y = 12; z = 18
Câu III. (4 điểm)
 Nhận xét: 81x4 + 5 > 0 => 
 áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 6x; 9x2 + 1; 2 ta có:
 3 = 9x2 + 6x + 3 =>
 81x4 + 5 9x2 + 6x + 3 81x4 - 9x2- 6x + 3 0
 (3x-1)2(9x2 + 6x + 2) 0 (3x-1)2 0 
 Vì 9x2 + 6x + 2 > 0 x => x = Thoả mãn
Câu IV. (4 điểm)
 Giả sử x0 thoả mãn đ/k bài toán, ta có:
 => 120x0 - 56 25 + 30x0 và 25 + 30x0 < 120x0 - 16 
 => 90x0 - 81 0 và 0 < 90x0 - 41
 => 6(15x0 - 7) 39 và -1 < 6(15x0 - 7)	
 => và 
 Hay ; Vì nguyên => 
 = 0 => x0 = và = 1 => x0 = 
A
F
D
 Qua M vẽ đường thẳng NK cắt BC và DA tại 
 E và F. Ta có: 
I
N
K
M
 ; NIB = NMC = 1350
Q
 => INB NMC => 
E
B
 ; QKD = KMA = 1350 
C
 => QKD KMA => 
 Từ (1) và (2) => => IB.KA = QD.NC ( Đpcm)