Tuyển tập Hình học giải tích trong không gian

Mục lục
Tóm tắt Lý thuyết 1
Bài toán có lời giải 15
1 Điểm - Đường thẳng 15
2 Đường tròn - Đường elip 68
Bài tập ôn luyện có đáp số 94
1 Bài tập Điểm - Đường thẳng 94
2 Bài tập Đường tròn - Đường elip 107
Lời nói đầu
Hình học giải tích hay hình học tọa độ là một cách nhìn khác về Hình học . Hình học giải tích
trong mặt phẳng được đưa vào chương trình toán của lớp 10 nhưng vẫn có trong đề thi tuyển
sinh Đại học, Cao đẳng. Để góp phần trong việc ôn tập cho học sinh trước khi dự thi Diễn đàn
BoxMath xin đóng góp tuyển tập này.
Khi thực hiện biên soạn trên diễn đàn, tôi đã nhận được sự quan tâm của nhiều
thành viên và quản trị viên. Những người đã góp sức vào quá trình biên soạn, góp ý sửa chữa
về các chi tiết trong tuyển tập. Sự đóng góp của các bạn, và những thầy cô tâm huyết chứng tỏ
cuốn tài liệu này là cần thiết cho học sinh.
Bây giờ đây, khi bạn đang đọc nó trên máy tính hay đã được in ra trên giấy. Chúng tôi hy vọng
nó sẽ góp phần ôn tập kiến thức của bản thân đồng thời tăng thêm động lực khi học tập hình
học giải tích trong không gian.
Mặc dù đã biên soạn rất kỹ tuy nhiên tài liệu có thể vẫn còn sai sót, mong các bạn khi đọc
hãy nhặt ra dùm và gởi email về . Đồng thời qua đây cũng xin phép các
Tác giả đã có bài tập trong tuyển tập này mà chúng tôi chưa nhớ ra để ghi rõ nguồn gốc vào,
cùng lời xin lỗi chân thành.
Thay mặt nhóm biên soạn, tôi xin chân thành cảm ơn!
Các thành viên biên soạn
1. Huỳnh Chí hào -THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp
2. Lê Đình Mẫn - THPT Nguyễn Chí Thanh - Quảng Bình
3. Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự 2 - Đồng Tháp
4. Đỗ Kiêm Tùng - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội
5. Tôn Thất Quốc Tấn - Huế
6. Nguyễn Tài Tuệ - THPT Lương Thế Vinh - Vụ Bản Nam Định
7. Nguyễn Xuân Cường - THPT Anh Sơn 1 - Nghệ An
8. Lê Đức Bin - THPT Đồng Xoài - Bình Phước
9. Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận
10. Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp.
Tĩm tắt lý thuyết 
 1 
 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉCTƠ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng : 
· x'Ox : trục hoành 
· y'Oy : trục tung 
· O : gốc toạ độ 
· ,i j
r r
: véctơ đơn vị ( )1 vaø i j i j= = ^r r r r 
Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng 
 Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy) 
II. Toạ độ của một điểm và của một véctơ: 
1. Định nghĩa 1: Cho ( )M mp OxyÎ . Khi đó véctơ OM
uuuur
 được biểu diển một cách duy nhất theo 
 ,i j
r r
 bởi hệ thức có dạng : voi x,yOM xi y j= + Î
uuuur r r
¡ . 
 Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. 
 Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M ) 
/
( ; ) 
d n
M x y OM xi y jÛ = +
uuuur r r
· Ý nghĩa hình học: 
 và y=OQx OP= 
2. Định nghĩa 2: Cho (a mp OxyÎ
r
 Khi đó véctơ a
r
 được biểu diển một cách duy nhất theo 
 ,i j
r r
 bởi hệ thức có dạng : 1 2 1 2 voi a ,aa a i a j= + Î
r r r
¡ . 
 Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véctơ a
r
 . 
 Ký hiệu: 1 2( ; )a a a=
r
/
1 2 1 2=(a ;a ) 
d n
a a a i a jÛ = +
r r r r
· Ý nghĩa hình học: 
 1 1 1 2 2 2 và a =Aa A B B= 
x
y
i
r
j
r
O'x
'y
'x x
y
i
r
j
r
O
'y
MQ
P
x
y
O'x
'y
MQ
Px
y
x
y
1e
v
2e
v
O
'x
'y
P
ar
x
y
O
'x
'y
1A 1B
2A
2B
A
BK
H
Tĩm tắt lý thuyết 
 2 
III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véctơ : 
 Định lý 1: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì 
 ( ; )B A B AAB x x y y= - -
uuur
 Định lý 2: Nếu 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
 thì 
 * 1 1
2 2
a
b
a b
a b
=ì
= Û í =î
r r
 * 1 1 2 2( ; )a b a b a b+ = + +
r r
 * 1 1 2 2( ; )a b a b a b- = - -
r r
 * 1 2. ( ; )k a ka ka=
r
 ( )k Ρ 
IV. Sự cùng phương của hai véctơ: 
 Nhắc lại 
· Hai véctơ cùng phương là hai véctơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng 
song song . 
· Định lý về sự cùng phương của hai véctơ: 
  Định lý 3 : Cho hai véctơ và voi 0a b b ¹
r r r r
 cùng phuong !k sao cho .a b a k bÛ $ Î =
r r r r
¡ 
 Nếu 0a ¹
r r
 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: 
 k > 0 khi a
r
 cùng hướng b
r
 k < 0 khi a
r
 ngược hướng b
r
a
k
b
=
r
r 
  Định lý 4 : , , thang hàng cùng phuong A B C AB ACÛ
uuur uuur
 (Điều kiện 3 điểm thẳng hàng ) 
 Định lý 5: Cho hai véctơ 1 2 1 2( ; ) vaø ( ; )a a a b b b= =
r r
 ta có : 
 1 2 2 1 cùng phuong a . . 0a b b a bÛ - =
r
 (Điều kiện cùng phương của 2 véctơ 
A
B
C
av b
r
2 5
a b , b - a
5 2
= - =
v vv v
);( AA yxA
);( BB yxB
av
b
v
av
b
v
av
b
v
(1;2)
(2;4)
a
b
=
=
v
v1 2
1 2
( ; )
 VD :
( ; )
a a a
b b b
=
=
v
v
.
Tĩm tắt lý thuyết 
 3 
V. Tích vô hướng của hai véctơ: 
 Nhắc lại: 
 . . .cos( , )a b a b a b=
r r r r r r
22
a a=
r r
 . 0a b a b^ Û =
r r r r
  Định lý 6: Cho hai véctơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
 ta có : 
 1 1 2 2.a b a b a b= +
r r
 (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) 
  Định lý 7: Cho hai véctơ 1 2( ; ) a a a=
r
ta có : 
 2 21 2a a a= +
r
 (Công thức tính độ dài véctơ ) 
  Định lý 8: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì 
 2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= - + - (Công thức tính khoảng cách 2 điểm) 
 Định lý 9: Cho hai véctơ 1 2( ) và ( ; )a a b b b=
r r
 ta có : 
 1 1 2 2 a 0a b b a b^ Û + =
r r
 (Điều kiện vuông góc của 2 véctơ) 
 Định lý 10: Cho hai véctơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
 ta có 
 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.cos( , )
. .
a b a b a ba b
a b a a b b
+
= =
+ +
r rr r
r r (Công thức tính góc của 2 véctơ) 
VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: 
 Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ¹ 1 ) nếu như : .MA k MB=
uuur uuur
A M B 
 · · · 
  Định lý 11 Nếu B( ; ) , B(x ; )A A BA x y y và .MA k MB=
uuur uuur
 ( k ¹ 1 ) thì 
 ( ) . .; ;
1 1
A B A B
M M
x k x y k yx y
k k
- -æ ö= ç ÷- -è ø
x
y
b
v
O'x
'y
av
 j
av
b
v
b
v
av
O
B
A
( ; )B BB x y( ; )A AA x y
 4 
 Đặc biệt : M là trung điểm của AB Û ( ); ;
2 2
A B A B
M M
x x y yx y + +æ ö= ç ÷
è ø
VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác : 
Gx 31. G là trong tâm tam giác ABC GA 0 
3
A B C
A B C
G
x x x
GB GC
y y yy
+ +ì =ïïÛ + + = Û í + +ï =
ïî
uuur uuur uuur r
2. 
. 0
H là truc tâm tam giác ABC 
. 0
AH BC AH BC
BH AC BH AC
ì ì^ =ï ïÛ Ûí í
^ =ï ïî î
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur 
3. 
'
'
' là chân duong cao ke tu A 
 cùng phuong 
AA BC
A
BA BC
ì ^ïÛ í
ïî
uuur uuur
uuur uuur 
4. 
IA=IB
I là tâm duong tròn ngoai tiêp tam giác ABC 
IA=IC
ì
Û í
î
5. D là chân duong phân giác trong cua góc A cua ABC .ABDB DC
AC
D Û = -
uuur uuur
6. E là chân duong phân giác ngoài cua góc A cua ABC .ABEB EC
AC
D Û =
uuur uuur
7. J là tâm duong tròn nôi tiêp ABC .ABJA JD
BD
D Û = -
uur uuur
VIII. Kiến thức cơ bản thường sử dụng khác: 
 Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : 
  Định lý 12: Cho tam giác ABC . Đặt 1 2 1 2( ; ) và ( ; )AB a a AC b b= =
uuur uuur
 ta có : 
 1 2 2 1
1 .
2ABC
S a b a bD = - 
 Cơng thức tính góc hai đường thẳng dựa vào hệ số góc : 
 Định lý 13: Cho hai đường thẳng 1D với hệ số góc 1k và 2D với hệ số góc 2k . Khi đó nếu 
 ( )·1 2; aD D = thì 
 1 2
1 2
tan
1
k k
k k
a
-
=
+
G
A
B C
H
A
B C
A'B
A
C
I
A
B C
B
A
C
D
J B
A
C
D
B C
B
Tĩm tắt lý thuyết 
 5 
ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Các định nghĩa về VTCP và VTPT (PVT) của đường thẳng: 
a
r
là VTCP của đường thẳng ( D ) 
dn
Û
 0
a có giá song song hay trùng voi ( )
aì ¹ï
í
Dïî
r r
r 
n
r
 là VTPT của đường thẳng ( D ) 
dn
Û
 0
n có giá vuông góc voi ( )
nì ¹ï
í
Dïî
r r
r 
* Chú ý: 
· Nếu đường thẳng ( D ) có VTCP 1 2( ; )a a a=
r
 thì có VTPT là 2 1( ; )n a a= -
r
· Nếu đường thẳng ( D ) có VTPT ( ; )n A B=
r
 thì có VTCP là ( ; )a B A= -
r
II. Phương trình đường thẳng : 
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng : 
 a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng ( D ) qua M0(x0;y0) và nhận 1 2( ; )a a a=
r
 làm 
 VTCP sẽ có : 
 Phương trình tham số là : 0 1
0 2
.
( ) : ( )
.
x x t a
t
y y t a
= +ì
D Îí = +î
¡ 
 Phương trình chính tắc là : 0 0
1 2
( ) : x x y y
a a
- -
D = ( )1 2, 0a a ¹ 
 
)(D
nv
av
av )(D
avnv
)(D
y
av
( ; )M x y
O x
0 0 0( ; )M x y
Tĩm tắt lý thuyết 
 6 
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT ( ; )n A B=
r
 là: 
 0 0( ) : ( ) ( ) 0A x x B y yD - + - = (
2 2 0A B+ ¹ ) 
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
 Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng ( D ) có dạng : 
 0Ax By C+ + = với 2 2 0A B+ ¹ 
 Chú ý: 
 Từ phương trình ( D ): 0Ax By C+ + = ta luôn suy được : 
 1. VTPT của ( D ) là ( ; )n A B=
r
 2. VTCP của ( D ) là ( ; ) hay a ( ; )a B A B A= - = -
r r
 3. 0 0 0 0 0( ; ) ( ) 0M x y Ax By CÎ D Û + + = 
 Mệnh đề (3) được hiểu là : 
 Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó 
 nghiệm đúng phương trình của đường thẳng . 
3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng : 
a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) : 
 ( ) : A A
B A B A
x x y yAB
x x y y
- -
=
- -
 ( ) : AAB x x= ( ) : AAB y y= 
b. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: 
 Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng ( D ) cắt trục hồng tại điểm A(a;0) và trục tung tại 
 điểm B(0;b) với a, b ¹ 0 có dạng: 1x y
a b
+ = 
);( 000 yxM
);( BAn =v
x
y
O
);( ABa -=v
);( ABa -=v
);( yxM
x
y
O );( AA yxA
);( BB yxB );( AA yxA
);( BB yxB
Ax Bx
Ay
By
x
y
);( AA yxA );( BB yxB
Ay By
x
y
y nv
( ; )M x y
O x
0 0 0( ; )M x y
Tĩm tắt lý thuyết 
 7 
c. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k: 
 Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng D . Gọi ( , )Oxa = D thì tank a= được gọi là hệ số góc 
 của đường thẳng D 
 Định lý 1: Phương trình đường thẳng D qua 0 0 0( ; )M x y có hệ số góc k là : 
 0 0y - y = k(x - x ) (1) 
 Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuông góc 
 Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox là x = x0 
 Chú ý 2: Nếu đường thẳng D có phương trình y ax b= + thì hệ số góc của đường thẳng là k a= 
 Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường t ẳng 1 2,D D ta có : 
· 1 2 1 2/ / k kD D Û = ( )1 2D ¹ D 
· 1 2 1 2 k . 1kD ^ D Û = - 
d. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đt cho trước: 
 i. Phương trình đường thẳng 1 ( ) //( ): Ax+By+C=0 D D có dạng: 1 Ax+By+m =0 
 ii. Phương trình đường thẳng 1( ) ( ): Ax+By+C=0D ^ D có dạng: 2Bx-Ay+m =0 
 Chú ý: 1 2;m m được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên 1 2;D D 
III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : 
 Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
D + + =
D + + =
1D
x
y
O
2D
21 // DD
1D
x
y
O
2D
21 DD caét
1D
x
y
O
2D
21 DºD
0: 21 =+-D mAyBx
x
y
O 0x
1M
0: 1 =++D CByAx 
);( yxM
x
y
O 0x
0y
0: 11 =++D mByAx
x
y
O 0x
0: 1 =++D CByAx
1M
y
a x
O
Tĩm tắt lý thuyết 
 8 
 Vị trí tương đối của 1 2( ) và ( )D D phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình : 
 1 1 1
2 2 2
0
0
A x B y C
A x B y C
+ + =ì
í + + =î
 hay 1 1 1
2 2 2
 (1)
A x B y C
A x B y C
+ = -ì
í + = -î
 Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của 1 2( ) vaø ( )D D 
Định lý 1: 
1 2
1 2
1 2
. Hê (1) vô nghiêm ( ) / /( )
. Hê (1) có nghiêm duy nhât ( ) cát ( )
. Hê (1) có nghiêm tùy ý ( ) ( )
i
ii
iii
Û D D
Û D D
Û D º D
Định lý 2: Nếu 2 2 2; ;A B C khác 0 thì 
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
A. ( ) cát ( ) 
A
A. ( ) // ( ) 
A
A. ( ) ( ) 
A
Bi
B
B Cii
B C
B Ciii
B C
D D Û ¹
D D Û = ¹
D º D Û = =
IV. Góc giữa hai đường thẳng 
 1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thàn 4 góc. S ố đo nhỏ nhất trong các số đo 
 của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi hai 
 đường thẳng a và b). Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là ( ),a b 
 Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng 00 
 2. Cơng thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT 
 a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là u
r
 và v
r
 thì 
 ( ) ( )
.
cos , cos ,
.
u v
a b u v
u v
= =
r r
r r
r r 
 b) Nếu hai đường thẳng có VTPT lần lượt là n
r
 và 'n
uur
 thì 
 ( ) ( )
. '
cos , cos , '
. '
n n
a b n n
n n
= =
r uur
r uur
r uur 
 Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
D + + =
D + + =
 Gọi j ( 0 00 90j£ £ ) là góc giữa 1 2( ) vaø ( )D D ta có : 
 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
A A B B
A B A B
j
+
=
+ +
 Hệ quả: 
 1 2 1 2 1 2( ) ( ) A 0A B BD ^ D Û + = 
1D
x
y
O
2D
j
Tĩm tắt lý thuyết 
 9 
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : 
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : 0Ax By CD + + = và điểm 0 0 0( ; )M x y 
 Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( )D được tính bởi công thức: 
 0 00 2 2( ; )
Ax By C
d M
A B
+ +
D =
+
Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
D + + =
D + + =
 Phương trình phân giác của góc tạo bởi 1 2( ) vaø ( )D D là : 
 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
Định lý 3: Cho đường thẳng 1( ) : 0Ax By CD + + = và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm 
 trên ( D ). Khi đó: 
· Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với ( D ) khi và chỉ khi 
 ( )( ) 0M M N NAx By C Ax By C+ + + + > 
· Hai điểm M , N nằm khác phía đối với ( D ) khi và chỉ khi 
 ( )( ) 0M M N NAx By C Ax By C+ + + + < 
x
y
O
)(D
0M
H
1D
x
y
O
2D
M
N
M
N
D
D
Tĩm tắt lý thuyết 
 10 
ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Phương trình đường tròn: 
 1. Phương trình chính tắc: 
 Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là : 
 2 2 2( ) : ( ) ( )C x a y b R- + - = (1) 
 Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn 
 Đặc biệt: Khi I º O thì 2 2 2( ) :C x y R+ = 
 2. Phương trình tổng quát: 
 Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = với 2 2 0a b c+ - > 
 là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính 2 2R a b c= + - 
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: 
 Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn 
 2 2( ) : 2 2 0C x y ax by c+ - - + = tại điểm 0 0( ; ) ( )M x y CÎ là : 
 0 0 0 0( ) : ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y cD + - + - + + = 
VI. Các vấn đề có liên quan: 
 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: 
Định lý: 
 ( ) ( ) d(I; ) > RCD = Æ Û DI 
 ( ) tiêp xúc (C) d(I; ) = RD Û D 
 ( ) cát (C) d(I; ) < RD Û D 
x
y
O
);( baI
R
a
b
);( yxM
(C)
I(a;b))(D
);( 000 yxM
( )C
( )C
I
H
M
R
( )C
M Hº
R
I
H
M
R
I
Tĩm tắt lý thuyết 
 11 
Lưu ý: Cho đường tròn 2 2( ) : 2 2 0C x y ax by c+ - - + = và đường thẳng ( ) : 0Ax By CD + + = . Tọa độ giao 
điềm (nếu có) của (C) và ( D ) là nghiệm của hệ phương trình: 
2 2 2 2 0
0
x y ax by c
Ax By C
ì + - - + =
í
+ + =î
2. Vị trí tương đối của hai đường tròn : 
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1
( ) và (C ) không cát nhau I I > R
( ) và (C ) cát nhau R < I I < R
( ) và (C ) tiêp xúc ngoài nhau I I = R
( ) và (C ) tiêp xúc trong nhau I I
C R
C R R
C R
C
Û +
Û - +
Û +
Û 2 1 2 = R R-
Lưu ý: Cho đường tròn 2 2( ) : 2 2C x y ax by c+ - - + = 
 và đường tròn ( ) 2 2' : 2 ' 2 ' ' 0C x y a x b y c+ - - + = . 
Tọa độ giao điềm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 2 0
2 ' 2 ' ' 0
x y ax by c
x y a x b y c
ì + - - + =ï
í
+ - - + =ïî
1I 1
R
1C
2I2
R
2C
1I 1R
1C
2C
2R
2I
1C
1I 1R
2C
2R
2I
1C
2C
1I
2I
Tĩm tắt lý thuyết 
 12 
ĐƯỜNG ELÍP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I.Định nghĩa: 
 Elíp (E) là tập hợp các điểm M có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F1; F2 bằng hằng số 
 * Hai điểm cố định F1; F2 được gọi là các tiêu điểm 
 * F1F2 = 2c ( c > 0 ) được gọi là tiêu cự 
 { }1 2( ) / 2E M MF MF a= + = ( a>0 : hằng số và a>c ) 
II. Phương trình chính tắc của Elíp và các yếu tố: 
 1. Phương trình chính tắc: 
2 2
2 2( ) : 1
x yE
a b
+ = với 2 2 2b a c= - ( a > b) (1) 
2. Các yếu tố của Elíp: 
 * Elíp xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm: 
 - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy 
 - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) 
 - Tiêu cự F1F2 = 2c 
 - Trục lớn nằm trên Ox; độ dài trục lớn 2a ( = A1A2 ) 
 - Trục nhỏ nằm trên Oy; độ dài trục lớn 2b ( = B1B2 ) 
 - Đỉnh trên trục lớn : A1(-a;0); A2(a;0) 
 - Đỉnh trên trục nhỏ :B1(0;-b); B2(0;b) 
 - Bán kính qua tiêu điểm: 
 Với M(x;y) Î (E) thì 
1 1
2 2
cr MF a x a ex
a
cr MF a x a ex
a
ì = = + = +ïï
í
ï = = - = -
ïî
 - Tâm sai : (0 1)ce e
a
= < < 
 - Đường chuẩn : ax
e
= ± 
(E)
2c
M
-
a 
a 
(E
) 
c -
c 
y
x 
R S 
PQ 
O 
M 
1r
2r
1A 2A
1B
2B
1F 2F
1F 2F
Tĩm tắt lý thuyết 
 13 
ĐƯỜNG HYPEBOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Định nghĩa: 
 { }1 2( ) / 2H M MF MF a= - = ( a > 0 : hằng số và a < c ) (1) 
II. Phương trình chính tắc của Hypebol và các yếu tố: 
 1. Phương trình chính tắc: 
2 2
2 2( ) : 1
x yH
a b
- = với 2 2 2b c a= - (1) 
 2. Các yếu tố của Hypebol: 
 * Hypebol xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm: 
 - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy 
 - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) Tiêu cự F1F2 = 2c 
 - Trục thực nằm trên Ox; độ dài trục thực 2a ( = A1A2 ) 
 - Trục ảo nằm trên Oy; độ dài trục ảo 2b ( = B1B2 ) 
 - Đỉnh: A1(-a;0); A2(a;0) 
 - Phương trình tiệm cận : by x
a
= ± 
 - Bán kính qua tiêu điểm: Với M(x;y) Î (H) thì : 
 Với x > 0 Þ 1 1
2 2
r MF a ex
r MF a ex
= = +ì
í = = - +î
 Với x < 0 Þ 1 1
2 2
( )
( )
r MF a ex
r MF a ex
= = - +ì
í = = - - +î
 - Tâm sai : ( 1)ce e
a
= > 
 - Đường chuẩn : ax
e
= ± 
x
a
by -= x
a
by =
1F 2F
M
x
y
1B
2B
1A 2A
a
cc-
a-
O
M
1F 2F
c2
Tĩm tắt lý thuyết 
 14 
ĐƯỜNG PARABOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Định nghĩa : 
 { }( ) / ( ,P M MF d M= = D 
* F là điểm cố định gọi là tiêu điểm 
* ( D ) là đường thẳng cố định gọi là đường chuẩn 
* HF = p > 0 gọi là tham số tiêu 
II. Phương trình chính tắc của parabol: 
 1) Dạng 1: Ptct: y2 = 2px 2) Dạng 2: Ptct: y2 = -2px 
 3) Dạng 3: Ptct: x2 = 2py 4) Dạng 4: Ptct : x2 = -2py 
p
K
H
F
M
D
y 
x p/2 F(-p/2;0) 
M
2/:)( px =D
y 
x 
-p/2 :y = -p/2 
F(0;p/2) 
O 
M 
F(0;-p/2)
x
( ) : y = p/2p/2
y
O
M
( ): x=-p/2
O
-p/2 
F(p/2;0) 
x
y
M
BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI
1 Điểm - Đường thẳng
Bài 1. Trong mặt phẳng Ox y , cho hình thoi ABC D có tâm I (3; 3 ) và AC = 2B D . Điểm M (2; 43)
thuộc đường thẳng AB , điểm N
(
3; 133
)
thuộc đường thẳng C D . Viết phương trình đường chéo B D
biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.
Giải:
I
M
N
N ′
B
D
A
C
Tọa độ điểm N ′ đối xứng với điểm N qua I là N ′
(
3;
5
3
)
Đường thẳng AB đi qua M , N ′ có phương trình: x−3y +2= 0
Suy ra: I H = d (I , AB )= |3−9+2|p
10
= 4p
10
Do AC = 2B D nên I A = 2I B .
Đặt I B = x > 0, ta có phương trình 1
x2
+ 1
4x2
= 5
8
⇔ x2 = 2⇔ x =p2
Đặt B
(
x, y
)
. Do I B =p2 và B ∈ AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ:{
(x−3)2+ (y −3)2 = 2
x−3y +2= 0
⇔
{
5y2−18y +16= 0
x = 3y −2
⇔

x = 14
5
< 3
y = 8
5
hoặc
{
x = 4> 3
y = 2
Do B có hoành độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn B
(
14
5
;
8
5
)
Vậy, phương trình đường chéo B D là: 7x− y −18= 0.
Bài 2. Trong mặt phẳng Ox y , cho điểm A (−1; 2 ) và đường thẳng (d) : x −2y+3= 0. Tìm trên đường
thẳng (d ) hai điểm B ,C sao cho tam gi