Bài tập Toán 12 - Học kỳ II - Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

PHẦN I: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG III – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§1. NGUYÊN HÀM
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Khái niêm nguyên hàm:
Định nghĩa: Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số nếu 
Định lý: Nếu là nguyên hàm của hàm số thì:
 cũng là một nguyên hàm của với C là một hằng số tùy ý.
Mọi nguyên hàm của hàm số đều cĩ dạng với C là một hằng số tùy ý.
Do đĩ với được gọi là 1 họ nguyên hàm của hàm số và được ký hiệu là . Vậy ta cĩ:
II.Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
Nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm mở rộng
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
III.Mơt số tính chất của nguyên hàm:
 với mọi số thực .
IV.Các cơng thức thường sử dụng khi tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác:
BÀI TẬP:
Tìm các nguyên hàm sau:
Tìm các nguyên hàm sau:
Tìm các nguyên hàm sau:
Tìm các nguyên hàm sau:..
Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước:
	a) 	
	b) 	
	c) 
d) 
	e) 	
f) 
	g) 	
	h) 
	i) 
	k) 
§2. TÍCH PHÂN
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I.Định nghĩa: Cho hàm số liên tục trên đoạn và là một nguyên hàm của hàm số .
Hiệu số được gọi là tích phân từ đến (hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số và được ký hiệu là 
Vậy: 
a: được gọi là cận dưới của tích phân.
b: được gọi là cận trên của tích phân.
II.Tính chất của tích phân:
 với là một hằng số thực.
BÀI TẬP:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1:
Định nghĩa vi phân: Nếu là một hàm số theo biến thì được gọi là vi phân của hàm số và được ký hiệu là .
Ta cĩ: 
Một số cách đổi biến thường gặp:
 Đặt 
 Đặt 
 Đặt 
 Đặt 
 Đặt 
 Đặt 
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân cĩ chứa thì đặt 
Khi tính tích phân dạng :
Nếu và chẵn ta dùng cơng thức hạ bậc.
Nếu chẵn, lẻ ta đặt .
Nếu chẵn, lẻ ta đặt .
	Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ: 
Bậc của Bậc của : Chia đa thức tử cho mẫu.
 Bậc của Bậc của : Phân tích mẫu thành tích và biến đổi theo cách sau:
Đặc biệt: 
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Phương pháp:
Thứ tự ưu tiên: 
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2:
Phương Pháp:
Hàm cĩ chứa thì đặt 
Hàm cĩ chứa thì đặt 
Hàm cĩ chứa hay thì đặt 
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau:
TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tính các tích phân sau:
Tính các tích phân sau (tổng hợp):
Tính các tích phân sau (tổng hợp):
§3.ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I.Tính diện tích hình phẳng
Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hồnh, hai đường thẳng . 
Cơng thức: 
Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số , hai đường thẳng 
 Cơng thức: 
II.Tính thể tích vật thể trịn xoay: 
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh và hai đường thẳng quay quanh trục hồnh tạo thành vật thể trịn xoay cĩ thể tích là: 
BÀI TẬP:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đây:
, trục hồnh, và .
 và trục hồnh.
 và trục hồnh.
, trục hồnh, trục tung và 
, đường thẳng và trục hồnh.
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đây:
 trục Ox , Oy và đường thẳng 
,
, trục Ox, trục Oy và x = 2.
 và trục Ox.
, trục Ox, Oy và 
, trục 
; trục Ox; x = 1; x = e.
, 
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
 và 
 và 
 và 
 và 
 và 
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
 với trục hồnh.
 với trục hồnh.
 với trục hồnh.
 với trục hồnh.
 với trục hồnh.
 với trục hồnh.
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đây:
, , và . 
và .
 và .
 và trục hồnh.
 và .
 và .
 và .
.
, và trục tung.
; , 
, và trục hồnh.
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đây:
 với 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
 và tiếp tuyến của nĩ tại điểm cĩ tung độ bằng – 2.
, tiệm cận ngang của (C), và .
 và đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất.
 , tiệm cận ngang và đường thẳng x = 3.
 và tiếp tuyến của (C) tại điểm 
Tính thể tích các vật thể trịn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục hồnh:
, trục hồnh, 
, trục hồnh, 	
, trục hồnh, 	
, trục hồnh, 	
, trục hồnh, 
và 
 và trục 
, và 
, và 
TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC
ĐH, CĐ Khối A – 2005 	KQ:
ĐH, CĐ Khối B – 2005	KQ: 
ĐH, CĐ Khối D – 2005 	KQ: 
Tham khảo 2005	KQ: 
Tham khảo 2005 	KQ: 
Tham khảo 2005 	KQ: 
Tham khảo 2005 	KQ: 
 CĐ Khối A, B – 2005	KQ: 
CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005 	KQ: 
CĐ GTVT – 2005 	KQ: 
CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 	KQ: 
CĐ Tài Chính Kế Tốn IV – 2005 	KQ: 
CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 	KQ: 
CĐSP Tp.HCM – 2005 	KQ: 
CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 	KQ: 
CĐSP Vĩnh Long – 2005 	KQ: 
CĐ Bến Tre – 2005 	KQ: 
CĐSP Sĩc Trăng Khối A – 2005 	
	KQ: 
CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 	KQ: 
CĐ Cơng Nghiệp Hà Nội – 2005 	KQ: 
CĐSP Hà Nội – 2005 	KQ: 
CĐ Tài Chính – 2005 	KQ: 
CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 	KQ: 
CĐSP Hà Nội – 2005 	KQ: 
CĐSP KonTum – 2005 	KQ: 2
ĐH, CĐ Khối A – 2006 	KQ: 
Tham khảo 2006 	KQ: 
ĐH, CĐ Khối D – 2006 	KQ: 
Tham khảo 2006 	KQ: 
Tham khảo 2006 	KQ: 
ĐH, CĐ Khối B – 2006 	KQ: 
Tham khảo 2006 	KQ: 
Tham khảo 2006 	KQ: 
CĐ KTKT Cơng Nghiệp II – 2006 	KQ: 
CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 	KQ: 
CĐ Nơng Lâm – 2006 	KQ: 
ĐH Hải Phịng – 2006 	KQ: 
CĐ Y Tế – 2006 	KQ: 
CĐ Tài Chính Kế Tốn – 2006 	KQ: 
CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 	KQ: 
Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006 	KQ: 
CĐ KTKT Đơng Du – 2006 	KQ: 
CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 	KQ: 
CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 	KQ: 2
CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006 	KQ: 
CĐ BC-Cơng Nghệ Tp.HCM – 2006 	KQ: 
CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006 	KQ: 
CĐ Bến Tre – 2006 	KQ: 
	KQ: 
	KQ: 
	KQ: 
CĐ KT-KT Cơng Nghiệp I – 2006 	KQ: Khơng tồn tại
CĐ KT-KT Cơng Nghiệp II – 2006	KQ: 
CĐ Xây dựng số 2 – 2006 	KQ: 
CĐ Xây dựng số 3 – 2006	KQ: 
CĐ GTVT III – 2006 	KQ: 
	KQ: 
CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006 	KQ: 
CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006 	KQ: 
CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006	KQ: 
CĐSP Hưng Yên D1 , M– 2006 	KQ: 
CĐ Bán cơng Hoa Sen – Khối A – 2006 	KQ: 
CĐ BC-Hoa Sen – Khối D – 2006	KQ: 
CĐSP Trung Ương – 2006 	KQ: 
CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006 	KQ : 
CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006	KQ: 
CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006	KQ: 
CĐKT Y Tế I – 2006 	KQ: 
CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006 	KQ: 
CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006 	KQ: 
CĐKT Tp.HCM Khĩa II – 2006	KQ: 
CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006 	KQ: 
CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 	KQ: 
CĐ Kinh tế cơng nghệ Tp.HCM Khối A– 2006	KQ: 
CĐ KT-CN Tp.HCM Khối D1 – 2006	KQ: 
CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006 	KQ: .
ĐH, CĐ khối A – 2007 	Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: . 	 KQ: 
ĐH, CĐ khối B – 2007 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường , . Tính thể tích của khối trịn xoaytạo thành khi quay hình H quanh trục Ox	KQ: 
ĐH, CĐ khối D – 2007 Tính tích phân 	KQ: 
Tham khảo khối A – 2007 	KQ: 
Tham khảo khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường .	KQ: 
Tham khảo khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường .	KQ: 
Tham khảo khối D – 2007 	KQ: 
Tham khảo khối D – 2007	KQ: 
CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cĩ phương trình ; .	KQ:
CĐ GTVT – 2007 	KQ: 2
CĐDL Cơng nghệ thơng tin Tp.HCM – 2007 	KQ: 
 CĐ Khối A – 2007 	KQ: 
CĐ Cơ khí luyện kim – 2007 	KQ: 
CĐSP Vĩnh Phúc – 2007 	KQ: 
CĐ Khối B – 2007 .Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , . 	KQ: 
CĐ Khối D – 2007 	KQ: 1
CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007 	KQ: 
CĐ Hàng hải – 2007 	KQ: 
CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007 	KQ: 
CĐ Cơng nghiệp Phúc Yên – 2007 	KQ: 1
ĐH, CĐ Khối A – 2008 	KQ: 
ĐH, CĐ Khối B – 2008 	 KQ: 
TN 2012 
TN2011: 
TN 2010 
TN 2009 
A2009 
B2009 
D2009 
CĐ2009 
A2010
B2010
D2010 
CĐ2010
A2011I = 
B2011 
D2011 
CĐ2011
A, A1 2012
B 2012 
D 2012	
CĐ 2012I = .
CHƯƠNG IV – SỐ PHỨC 
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I.Số : là 1 số được bổ sung vào tập hợp số thực để đảm bảo mọi phương trình đa thức bậc n đều cĩ nghiệm. Ta xem là nghiệm của phương trình .
Tức là 
Số cịn được gọi là đơn vị ảo.
Ta cĩ: 
Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu thức cĩ dạng , trong đĩ là các số thực, .
a: được gọi là phần thự
b: được gọi là phần ảo
Tập hợp các số phức được ký hiệu là 
Số phức cĩ phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.
Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi cĩ phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau. “Thực bằng thực, ảo bằng ảo”
Mơđun của số phức : 
Số phức liên hợp: của số phức là 
Phép cộng hai số phức:
Phép trừ hai số phức:
Phép nhân hai số phức:
Phép chia hai số phức: (nhân cả tử và mẫu cho ).
Số phưc nghịch đảo của là: 
II.Căn bậc hai của số thực âm: Căn bậc hai của số thực a là 1 số phức sao cho .
Mỗi số thực âm a cĩ 2 căn bậc hai phức là: 
Chú ý: Ký hiệu chỉ được dùng khi .
III.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:
Cho phương trình bậc hai ( và )
: Phương trình cĩ 2 nghiệm phức phân biệt:
; 
: Phương trình cĩ nghiệm kép thực : 
: Phương trình cĩ 2 nghiệm thực phân biệt:
; 
Chú ý: Khi giải phương trình trùng phương trên tập số phức , ta đặt (khơng cần điều kiện cho )
BÀI TẬP:
Thực hiện các phép tính:
Thực hiện các phép tính sau đây :
Tìm phần thực, phần ảo và modun và số phức liên hợp của số phức sau :
Tìm mơđun của số phức sau đây:
Tìm các số thực thoả : 
Cho . Tìm và .
Cho , . Tìm và .
Cho . Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức .
Tìm số phức nghịch đảo của số phức: 
Giải phương trình sau trên tập số phức: 
Giải các phương trình sau đây trên tập số phức:
Tìm mơđun của số phức z biết:
Thực hiện các phép tính:
Xác định phần thực, phần ảo và mơđun của các số phức sau đây:
Giải các phương trình sau :
Tìm số phức z biết:
 = và phần ảo của z bằng 3 lần phần thực của nĩ. 
 và phần thực bằng 2 lần phần ảo. 
 và phần thực bằng 4 lần phần ảo. 
 = và 
 và phần thực bằng phần ảo.
 và phần thực bằng 0.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	 	h) 
	i) 	j) 
	k) 	l) 
	m) 	n) 
 Tính biết rằng: a) 	b) 
Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây:
	a) z = 3 – 4i	b) z = (4 + i)(2 – 3i)	c) z = i(2 – i)2
Cho z1 = 2 + 3i, z2 = 1 + i. Tính 
Cho z = 2 + 3i. Tìm phần thực, phần ảo và mơđun của 
Cho . Tính z1.z2
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
	a) z2 + 2 = 0	b) 4z2 + 9 = 0	c) z2 – 4z + 8 = 0
	d) 2z2 + 2z + 5 = 0	e) z2 + 2z + 17 = 0	f) z2 – 3z + 3 = 0
	g) z3 + 4z = 0	h) z3 + 7z = 4z2	i) z3 + 8 = 0
	j) z4 + 2z2 – 3 = 0	k) 2 + 2 – 5 = 0	l) 9z4 – 16 = 0
	m) 	n) 	o) 
Tìm số phức z cĩ phần thực và phần ảo đối nhau và 
Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 5z2 – 2z + 1 = 0. Chứng minh rằng tổng nghịch đảo của z1 và z2 bằng 2.
Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2 – 2z + 4 = 0. Chứng minh rằng 
Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 – 4z + 5 = 0. Chứng minh rằng 
Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 5z2 – 2z + 2 = 0. Chứng minh rằng 
Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2 – 2z + 1 = 0 và z2 cĩ phần ảo là một số âm. Tính 
Tìm số phức z cĩ phần thực và phần ảo bằng nhau và 
Cho hai số phức và , với . Tìm z và z’ biết rằng .
Cho hai số phức . Tìm z biết rằng .
Cho hai số phức . Tìm z biết rằng .
Cho hai số phức . Tìm z biết rằng z2 là một số phức cĩ phần thực bằng – 5.
Giải các phương trình sau đây trên tập các số phức:
5(z – 1)(z + 1) + 2(4z – 5) = 0	
2(2z – 1)2 + z(17z + 6) = 0
Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn mỗi điều kiện sau: 
Tìm số phức , biết rằng :
Cho số phức và số phức . Tìm và biết rằng .
Cho số phức . Tìm z biết rằng
 Cho số phức . Tìm biết rằng là số thực.
Tìm các căn bậc hai của: - 27; - 4; -15; ; 1- i; -3 +2i; 8 + 6i 
Giải các phương trình trên tập số phức:
Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng :
Tổng bằng 4 và tích bằng 7	
Tổng bằng -2 và tích bằng 6 
Tổng bằng và tích bằng 3; 
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
Cho số phức . Tìm số thực x sao cho là một số thực
Tìm nghiệm phức và nghịch đảo các nghiệm phức của phương trình : 
Biết là nghiệm của pt . Hãy tính giá trị các biếu thức sau: 
Cho hai số phức : .Xác định phần thực, phần ảo của số phức  ? 
Cho hai số phức : .Xác định phần thực, phần ảo của số phức ? 
 Xác định phần ảo của số phức biết .
Cho số phức thỏa : . Tìm mơđun số phức .
PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG III – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
§1.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đơi một vuơng gĩc nhau cĩ véctơ đơn vị lần lượt là: 
II.Tọa độ của vectơ: 
Đặc biệt: 
III.Tọa độ của điểm: (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Đặc biệt:
M Ỵ (Oxy) Û 
M Ỵ (Oyz) Û 
M Ỵ (Oxz) Û 
M Ỵ Ox Û 
M Ỵ Oy Û 
M Ỵ Oz Û 
Hình chiếu vuơng gĩc của điểm lên:
Trục Ox là: 
Trục Oy là: 
Trục Oz là: 
mp(Oxy) là: 
mp(Oxz) là: 
mp(Oyz) là: 
IV.Các cơng thức về tọa độ: Nếu thì:
 “Hồnh bằng hồnh, tung bằng tung, cao bằng cao”
 cùng phương Û tồn tại một số k sao cho:
Tọa độ vectơ 	
Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: 
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
V.Tích vơ hướng của hai vectơ: 
1.Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng: Nếu thì:
 “Hồnh nhân hồnh + tung nhân tung + cao nhân cao”
2.Ứng dụng:
Độ dài vectơ: Nếu thì 
Độ dài đoạn thẳng AB: 
Gĩc giữa hai vectơ: 
Điều kiện hai vectơ vuơng gĩc: 
IV.Tích cĩ hướng của hai vectơ: 
1.Định nghĩa: Cho hai vectơ . Tích cĩ hướng của hai vectơ và là 1 vectơ được xác định như sau:
Quy tắc: 23-31-12 
Chú ý: 
Tích cĩ hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một số.
Cách tính tích cĩ hướng của hai vectơ bằng máy tính 
Máy 570VN PLUS
ON MODE 8 1 1: Nhập tọa độ Vectơ 
AC MODE 8 2 1: Nhập tọa độ Vectơ 
AC SHIFT 5 3 X SHIFT 5 4 =
Máy 570ES PLUS
ON MODE 8 1 1: Nhập tọa độ Vectơ 
AC SHIFT 5 2 2 1: Nhập tọa độ Vectơ 
AC SHIFT 5 3 X SHIFT 5 4 =
Máy 570MS
ON SHIFT 5 1 1 3: Nhập tọa độ Vectơ 
AC SHIFT 5 1 2 3: Nhập tọa độ Vectơ 
AC SHIFT 5 3 1 X SHIFT 5 32 =
2.Tính chất của tích cĩ hướng:
Nếu thì và 
Hai vectơ và cùng phương với nhau 
Ba vectơ , và đồng phẳng với nhau Û ( được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ)
3.Ứng dụng của tích cĩ hướng: 
A, B, C thẳng hàng 
A, B, C, D đồng phẳng 
Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (khơng đồng phẳng) 
Diện tích hình bình hành ABCD: (Độ dài của tích cĩ hướng) 
Diện tích tam giác ABC: 
Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢:	 (Trị tuyệt đối của tích hỗn tạp)
Thể tích tứ diện ABCD: 
Chú ý:	 
– Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc, tính gĩc giữa hai đường thẳng.
– Tích cĩ hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
V.Phương trình mặt cầu: 
Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: 
Dạng 2: Phương trình với điều kiện là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R = 
Điều kiện mặt cầu S(I,R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: 
Các dạng tốn viết phương trình mặt cầu:
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a; b; c) và bán kính R:
	(S): 
Dạng 2: Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:
	– Bán kính R = IM
Dạng 3: Mặt cầu (S) cĩ đường kính AB:
	– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: .
	– Bán kính R = IA = .
Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
	– Giả sử phương trình mặt cầu cĩ dạng: (S).
	– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4 phương trình.
	– Giải hệ phương trình đĩ, ta tìm được a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): :
	– Bán kính: 
BÀI TẬP:
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ
Cho: . Tìm tọa độ và độ dài của véc tơ:
Tìm tọa độ của véctơ , biết rằng: 
 và 
 và 
 và , 
Tính các gĩc giữa hai vectơ và :
Cho 
Tìm tọa độ các vectơ đĩ
Tìm cosin của các gĩc 
Tính tích vơ hướng của 
Tính số đo các gĩc trong tam giác ABC biết:
Tính gĩc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD biết:
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A,B,C,D với A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1);D(7;-2;3)
CMR: A,B,C,D đồng phẳng.
Tính diện tích tứ giác ABDC.
Trong khơng gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;-1;2),C(3;-1;1),B’(3;5;-6),D’(1;4;-6).
Tìm toạ độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.
Tính thể tích của hình hộp.
Trong khơng gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1),B(2;1;2),C’(4;5;-5),D(1;-1;1).
Tìm toạ độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.
Tính thể tích của hình hộp.
Cho M(a, b, c)
Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ
Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
Tính tích cĩ hướng của các vectơ:
Cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
Tính 
Tính 
Cho 4 điểm A(1; 0;0) , B(0; 1; 0), C(0;0;1), D(-2; 1; -1)
Chứng minh A, B, C khơng thẳng hàng
Tìm gĩc giữa hai vectơ 
Tính 
Cho M(1 ; -2 ; 3). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz. Tính :
Xét sự đồng phẳng của 3 véc tơ trong các trường hợp sau:
Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
CMR A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. 
Tìm gĩc tạo bởi hai cạnh đối diện AC và BD.
Tính thể tích tứ diện ABCD .Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ A. 
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Tìm:
Tọa độ điểm M thuộc trục Ox; sao cho M cách đều hai điểm và 
Tọa độ điểm N thuộc trục Ox; sao cho tam giác NOC vuơng tại O, với .
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trong cácphương trình sau đây, phương trình nào là phương trình mặt cầu, khi đĩ xác định tọa độ tâm và tính bán kính của nĩ.
Cho A(1;3;-7), B(5;-1;1).
Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy
Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
(S) cĩ tâm và tiếp xúc với mặt phẳng .
(S) cĩ tâm và tiếp xúc với trục Ox.
(S) cĩ tâm và đi qua điểm 
(S) cĩ đường kính AB với .
(S) đi qua ba điểm và cĩ tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
(S) đi qua bốn điểm.
Chứng tỏ rằng phương trình luơn là phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
§2.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
KIẾN THỨC CƠ BẢN
I.Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng 
Vectơ là VTPT của (a) nếu giá của vuơng gĩc với (a).
Hai vectơ khơng cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (a).
Chú ý:	 
Nếu là một VTPT của (a) thì (k ≠ 0) cũng là VTPT của (a).
Nếu là một cặp VTCP của (a) thì là một VTPT của (a).
II.Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng đi qua và cĩ VTPT là:
Nếu (a) cĩ phương trình thì (a) cĩ VTPT là 
Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng là VTPT của mặt kia, hai mặt phẳng vuơng gĩc nhau thì VTPT của mặt này là VTCP của mặt kia.
III.Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0
IV.Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cĩ phương trình:	(P): 
	(Q): 
(P), (Q) cắt nhau Û 
(P) // (Q) Û 	
(P) º (Q) Û 
Đặc biệt: (P) ^ (Q) Û 
V.Các dạng tốn viết phương trình mặt phẳng
Để viết phương trình mặt phẳng (a) ta cần xác định một điểm thuộc (a) và một VTPT của nĩ.
Dạng 1: (a) đi qua điểm cĩ VTPT :
	(a): 
Dạng 2: (a) đi qua điểm cĩ cặp VTCP :
	F Khi đĩ VTPT của (a) là .
Dạng 3: (a) đi qua điểm và song song với mặt phẳng (b): Ax + By + Cz + D = 0:
	F Khi đĩ .
Dạng 4: (a) đi qua 3 điểm khơng thẳng hàng A, B, C: 
	F Khi đĩ VTPT của (a) là 
Dạng 5: (a) là mặt phẳng trung trực của MN:
	(a):Qua trung điểm I của MNVTPT nα=MN
Dạng 6: (a) đi qua điểm M và vuơng gĩc với hai mặt phẳng cắt nha