Tuyển tập đề thi Học sinh giỏi Toán học 8

ĐỀ THI SỐ 1
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; 	 	b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
 Cho biểu thức : 
Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
Tìm giá trị của x để A > 0?
Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
Cho và . Chứng minh rằng : .
Câu 4: (6,0 điểm)
 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án
Điểm
Bài 1
a
2,0
3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =
1,0
= 3x(x -2) – (x - 2)
0,5
= (x - 2)(3x - 1).
0,5
b
2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
1,0
= ax(x - a) – (x - a) =
0,5
= (x - a)(ax - 1).
0,5
Bài 2:
5,0
a
3,0
ĐKXĐ : 
1,0
1,0
0,5
0,25
Vậy với thì .
0,25
b
1,0
Với 
0,25
0,25
0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0.
0,25
c
1,0
0,5
0,25
Với x = 11 thì A = 
0,25
Bài 3
5,0
a
2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 
1,0
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
0,5
Do : 
0,5
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1
0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
0,25
b
2,5
Từ : 
0,5
ayz + bxz + cxy = 0
0,25
 Ta có : 
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 4
6,0
0,25
a
2,0
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF
0,5
Chứng minh : 
0,5
=> BE = DF
0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
0,25
b
2,0
Ta có: 
0,5
Chứng minh : 
1,0
0,5
b,
1,75
Chứng minh : 
0,25
0,25
Chứng minh : 
0,25
0,25
Mà : CD = AB 
0,5
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).
0,25
ĐỀ SỐ 2
Câu1. 
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
b. Giải phương trình: 
c. Cho . Chứng minh rằng: 
Câu2. Cho biểu thức: 
 	a. Rút gọn biểu thức A. 
 	b. Tính giá trị của A , Biết |x| =.
 	c. Tìm giá trị của x để A < 0.
 	d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: 
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4. 
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
b. Cho a, b d­¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 
Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(6 điểm)
a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 
 	= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
 	= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 
 ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 	= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
(2 điểm)
b. (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	 	
(*) (x - 5)(x + 6) = 0 
(2 điểm)
c. Nhân cả 2 vế của: 
với a + b + c; rút gọn đpcm	
(2 điểm)
Câu 2
(6 điểm)
Biểu thức: 
a. Rút gọn được kq: 
(1.5 điểm)
b. hoặc 	
 hoặc 
(1.5 điểm)
c. 
(1.5 điểm)
d. 
(1.5 điểm)
Câu 3
(6 điểm)
HV + GT + KL 
(1 điểm)
a. Chứng minh: 	
 đpcm
(2 điểm)
b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
(2 điểm)
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
 không đổi
 lớn nhất (AEMF là hình vuông)
 là trung điểm của BD.
(1 điểm)
Câu 4:
(2 điểm)
a. Từ: a + b + c = 1 	
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 
(1 điểm)
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoÆc b = 1
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
(1 điểm)
 §Ò thi SỐ 3
C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u 2 : (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph­¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :
 	P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .
C©u 3 : (2 ®iÓm)
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :
 A = 
C©u 4 : (3 ®iÓm)
 	Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E . Chøng minh :
a) BD.CE=
b) DM,EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.
C©u 5 : (1 ®iÓm)
T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .	
®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái
C©u 1 : (2 ®)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
 =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5
 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) 
 =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
 Nªu §KX§ : a 0,25 
 Rót gän P= 0,25
b) (0,5®) P= ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ ­íc cña 3,
 mµ ¦(3)= 0,25
 Tõ ®ã t×m ®­îc a 0,25
C©u 2 : (2®)
a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .	 0,25
 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=
 =(a+b)	 0,5	
 V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;
 Do vËy (a+b) chia hÕt cho 9	 0,25
b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 	 0,5
 Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 	 0,25
 Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
 Tõ ®ã ta t×m ®­îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36	 0,25
C©u 3 : (2®)
a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;	 0,25
 §KX§ : 	 0,25
 Ph­¬ng tr×nh trë thµnh : 
 	 0,25
	18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	(x+13)(x-2)=0
 Tõ ®ã t×m ®­îc x=-13; x=2;	 0,25
b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 
 Tõ ®ã suy ra a= ;	 0,5
 Thay vµo ta ®­îc A= 0,25
 Tõ ®ã suy ra A hay A	 0,25
C©u 4 : (3 ®)
a) (1®)	
 Trong tam gi¸c BDM ta cã : 
 V× =600 nªn ta cã : 
 Suy ra 
 Chøng minh ∾ (1) 	 0,5
 Suy ra , tõ ®ã BD.CE=BM.CM
 V× BM=CM= , nªn ta cã BD.CE= 	 0,5
b) (1®) Tõ (1) suy ra mµ BM=CM nªn ta cã 
 Chøng minh ∾ 	 0,5
 Tõ ®ã suy ra , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE
 Chøng minh t­¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 	 0,5
c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC
 Chøng minh DH = DI, EI = EK 	 0,5
 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 	 0,5
C©u 5 : (1®)
 Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z
 (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng )
 Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2)	 0,25
 Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :
 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
	z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
	z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
	(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2	 0,25
	z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®­îc :
	xy=2(x+y+x+y-4)
	xy-4x-4y=-8
	(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4	 0,25
 Tõ ®ã ta t×m ®­îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :
 (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; 
 (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)	 0,25
ÑEÀ THI SOÁ 4
Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû
Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:
phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân
Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = chia heát cho ña 
thöùc 
Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.
Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng
Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng
 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm
Caâu
Ñaùp aùn
Bieåu ñieåm
1
2 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
2
2 ñ
Giaû söû: 
Khöû a ta coù : 
 mn = 10( m + n – 10) + 1 
vì m,n nguyeân ta coù:
suy ra a = 12 hoaëc a =8
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
3
1 ñ
Ta coù:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
Ñeå thì 
0,5 ñ
0,5 ñ
4
3 ñ
Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng
Hx laø phaân giaùc cuûa goùc ; Hy phaân giaùc cuûa goùc maø vaø laø hai goùc keà buø neân Hxvaø Hy vuoâng goùc 
Hay = 900 maët khaùc = 900
Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1)
Do 
Hay HA laø phaân giaùc (2)
Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
5
2 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
ĐỀ THI SỐ 5
Bài 1: (4 điểm)
	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
	Giải phương trình:
	.
Bài 3: (3 điểm)
	Tìm x biết:
	.
Bài 4: (3 điểm)
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 5: (4 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
	Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: .
Chứng minh rằng: .
Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
Một lời giải:
Bài 1: 
	a) 	(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = 
	= 
	= = 3
	= 3.
	b) 	x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = 
	= = .
Bài 2: 	
Bài 3: 
	.
	ĐKXĐ: .
	Đặt a = x – 2010 	(a 0), ta có hệ thức:
	 (thoả ĐK)
	Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK)
	Vậy x = và x = là giá trị cần tìm.
Bài 4:
	= 
	Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.	
Bài 5:
	a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì )
	Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân 
	giác của .
	b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
	Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
	3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất
	 D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 6:
	a) Đặt .
	Ta có (*)
	Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
	(1)
	Ta có (2)
	(1) & (2) (**)
	(*) & (**) .
	b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
s
	, 
s
s
	 (3) 
	Ta lại có CD + BD = 8 (4)
	(3) & (4) BD = 2,5
ĐỀ SỐ 6
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và . 
Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. 
a) Tính tổng 
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất?
ĐÁP ÁN
Bài 1(3 điểm):
 a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
 b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
 c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó: ( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm): 
 Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, (0,25điểm)
 với k, mN, 
 (0,25điểm)
 Ta có: 
 (0,25điểm)
 Do đó: m2–k2 = 1353 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
 hoặc 
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 
hoặc 
 m = 67 m = 37 
 k = 56 k = 4 (0,25điểm) 
 Kết luận đúng = 3136 (0,25điểm) 
 Bài 4 (4 điểm):
 Vẽ hình đúng (0,25điểm)
 a) ; (0,25điểm)
 Tương tự: ; (0,25điểm)
 (0,25điểm) 
 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
 (0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2 (BC+CD)2
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,25điểm)
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC 
AB = AC =BCABC đều
Kết luận đúng (0,25điểm) 
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó
ĐỀ SỐ 7
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A = với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 2 (3 điểm)
	Cho .
 Chứng minh rằng .
Bài 3 (3 điểm)
	Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
 Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
Bài 5 (3 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
 Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. 
Đáp án
Bài 1( 4 điểm ) 
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì :
 A= 
0,5đ
 =
0,5đ
 = 
0,5đ
 = 
0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x = = thì A = 
0,25đ
= 
0,25đ
0,5đ
c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1)
0,25đ
Vì với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 
KL
0,5đ
0,25đ
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được 
0,5đ
Biến đổi để có 
0,5đ
Biến đổi để có (*)
0,5đ
Vì ;;; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ; và ;
0,5đ
0,5đ
Từ đó suy ra a = b = c
0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số 
(x khác -15)
0,5đ
Theo bài ra ta có phương trình =
0,5đ
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
1đ
Từ đó tìm được phân số 
0,5đ
Bài 4 (2 điểm)
Biến đổi để có A=
0,5đ
=
0,5đ
Vì và nên do đó 
0,5đ
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 
0,25đ
KL
0,25đ
Bài 5 (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
0,5đ
b,(2điểm)
Tính được AD = ; BD = 2AD = 
AM = 
0,5đ
Tính được NI = AM = 
0,5đ
DC = BC = , MN = 
0,5đ
Tính được AI = 
0,5đ
Bài 6 (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có , 
0,5đ
Lập luận để có 
0,5đ
 OM = ON
0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xét để có (1), xét để có (2)
Từ (1) và (2) OM.()
0,5đ
Chứng minh tương tự ON. 
0,5đ
từ đó có (OM + ON). 
0,5đ
b, (2 điểm)
, 
0,5đ
Chứng minh được 
0,5đ
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5đ
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
0,5đ
ĐỀ SỐ 8
Bài 1:
Cho x = ; y = 
Tính giá trị P = x + y + xy
Bài 2:
Giải phương trình:
a, = ++ (x là ẩn số)
b, + + = 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Bài 3:
Xác định các số a, b biết:
 = +
Bài 4: Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Bài 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
ĐỀ SỐ 9
Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức:
a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A<1
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):
 x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức 
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6.
ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:
a) 
b) 
Bài 3: (2 điểm)
 Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. 
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?
Bài 4: (2 điểm) 
 Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M Î AB và N ÎAD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
 Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4).
 Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.
ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (2điểm)
a) Cho .Tính 
b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương: 
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
Bài 3: (2 điểm) 
 Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. 
Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 5: (1 điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
ĐỀ SỐ 12
Bài 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011
Biết x,y,z thoả mãn: = ++
Bài 3: 
a, Cho a,b > 0, CMR: + 
b, Cho a,b,c,d > 0
CMR: +++ 0
Bài 4: 
a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0
Bài 5: 
a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Bài 6: 
Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ SỐ 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 
Rút gọn biểu thức: 
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm)
 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. 
Tính quãng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
 Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
§Ề SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x- 3x + 4-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: 
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
Tính: 
Bài 4 : (3điểm)
 Cho ta