Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - Tập 1

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
 NĂM HỌC: 2010 - 2011
 Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. 
Phân tích thành nhân tử: 
Tính khi biết 
Câu 2. Cho hàm số: ; với tham số.
Xác định để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O.
b. Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để 
 Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Câu 3. 
Giải phương trình: 
Cho là hai số dương thỏa mãn: . 
Chứng minh: 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Câu 4. 
Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
Tính 
Chứng minh: 
Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Hết./.
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NĂM HỌC: 2010 - 2011
 Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề) 
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
0,5
0,5
2,0
b
Vậy: 
0,5
0,5
2
a
; với tham số
Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì 
0,25
2,0
b
Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B
Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: Hay 
0,5
0,5
c
Hoành độ trung điểm I của AB: 
Tung độ trung điểm I của AB: 
Ta có: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng 
0,5
0,25
3
a
Điều kiện: 
Vậy nghiệm của pt là: 
0,2
0,2
0,3
0,3
2,5
b
Với là hai số dương ta có: (Theo Bunhiacopski)
 (Vì ) Hay 
0,25
0,25
c
0,25
0,5
0,25
0,25
3,5
4
a
Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
= = 1 + 1 = 2
0,75
b
Chứng minh: 
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
0,5
0,5
c
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH)
Mà OH.MH(Pitago)
Vậy . đẳng thức xẩy ra MH = OH 
OH =
0,25
0,25
0,25
0,25
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. V1
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NĂM HỌC: 2011 - 2012
 Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề) 
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
0,5
0,5
2,0
b
1,0
2
a
ĐK: : 
HS lập luận, đối chiếu ĐK tìm được 
1,0
1,75
b
ĐK:
0,75
3
a
0,25
0, 5
2,25
b
Áp dụng BĐT Côsi: 
, HS lập luận: Dấu “=” xẩy ra 
0,25
0,25
0,25
c
Đặt: (số nguyên)
Xét tổng: (Chẵn)
+ Nếu: () chẵn thì () chẵn Vế trái của (1) chia hết cho 4
Mà Vế phải của (1): 2014 không chia hết cho 4 (*)
+ Nếu () lẻ thì () lẻ Vế trái của (1) không chia hết cho 2
Mà vế phải của (1): 2014 chia hết cho 2 (**)
Từ (*) và (**) suy ra không tồn tại số nguyên n nào thỏa mãn.
0,25
0,25
2,25
4
 Áp ụng định lý Pitago trong tam giác: MAC, NAB ta có: 
HS lập luận MN là đường trung bình và chỉ ra: = 1 để tính được 
0,5
0,5
0,5
1,5
2,5
5
 O
0,25
a
MN // AB (Vì MN, AB cùng vuông góc CH): (Theo Talet) (1)
AD phân giác nên AO là phân giác 
Từ (1) và (2): 
0,25
0,25
0,25
b
PAAC nên: = 
Trong tam giác vuông BHC: 
Từ câu a. 
Từ (3) và (4): 
0, 5
0,25
0,25
0, 5
Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
 NĂM HỌC: 2011 - 2012
 Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. Tính giá trị các biểu thức: 
 ; b. 
Câu 2. Giải phương trình:
Câu 3. 
Cho ; với . Chứng minh: chia hết cho 59.
Cho là hai số thực dương thỏa mãn: và 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: là số chính phương.
Câu 4. 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Biết độ dài ; với 
Tính độ dài đoạn MN.
Câu 5. 
Tam giác ABC có đường cao CH, phân giác AD, trung tuyến BM gặp nhau tại điểm O. Kẻ MN vuông góc với HC tại N. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại A, đường thẳng đó cắt BC tại P. Chứng minh:
Hết./.
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. V1
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NĂM HỌC: 2011 - 2012
 Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề) 
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
0,5
0,5
2,0
b
1,0
2
a
ĐK: : 
HS lập luận, đối chiếu ĐK tìm được 
1,0
1,75
b
ĐK:
0,75
3
a
0,25
0, 5
2,25
b
Áp dụng BĐT Côsi: 
, HS lập luận: Dấu “=” xẩy ra 
0,25
0,25
0,25
c
Đặt: (số nguyên)
Xét tổng: (Chẵn)
+ Nếu: () chẵn thì () chẵn Vế trái của (1) chia hết cho 4
Mà Vế phải của (1): 2014 không chia hết cho 4 (*)
+ Nếu () lẻ thì () lẻ Vế trái của (1) không chia hết cho 2
Mà vế phải của (1): 2014 chia hết cho 2 (**)
Từ (*) và (**) suy ra không tồn tại số nguyên n nào thỏa mãn.
0,25
0,25
2,25
4
 Áp ụng định lý Pitago trong tam giác: MAC, NAB ta có: 
HS lập luận MN là đường trung bình và chỉ ra: = 1 để tính được 
0,5
0,5
0,5
1,5
2,5
5
 O
0,25
a
MN // AB (Vì MN, AB cùng vuông góc CH): (Theo Talet) (1)
AD phân giác nên AO là phân giác 
Từ (1) và (2): 
0,25
0,25
0,25
b
PAAC nên: = 
Trong tam giác vuông BHC: 
Từ câu a. 
Từ (3) và (4): 
0, 5
0,25
0,25
0, 5
Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG II
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
 NĂM HỌC: 2011 - 2012
 Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. Cho biểu thức: 
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Câu 2. Giải phương trình:
Câu 3. 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Cho , chứng minh: 
Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố.
Câu 4. 
Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.
Chứng minh: không đổi
Chứng minh: 
c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.
Câu 5. 
Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.
Hết./.
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. V2
 NĂM HỌC: 2011 – 2012. Môn thi: TOÁN 9. 
 Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) 
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
0,25
0,25
0.5
2,25
b
0.25
0.25
c
ĐK: : 
Học sinh lập luận để tìm ra hoặc 
0.25
0.25
0.25
2
a
ĐK: : 
, dấu “=” xẩy ra 
, dấu “=” xẩy ra 
 (TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình: 
0.25
0.25
0.25
0.25
1,75
b
ĐK: . Nhận thấy: không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho ta có: 
Đặt , thay vào ta có:
Đối chiếu ĐK của t
0.75
3
a
 (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 
0.5
2.0
b
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 
Từ (1); (2); (3): 
0.75
c
Xét thì A = 1 không phải nguyên tố; thì A = 3 nguyên tố.
Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên ần tìm n = 1.
0.25
0.5
4
0.25
3.0
a
Học sinh c/m: ABF = ADK (g.c.g) suy ra AF = AK
Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên:
 hay (không đổi) 
0.5
0,5
b
HS c/m 
Mặt khác: . Suy ra:
: 
0,25
0,25
0,5
c
Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn. NP + NQ = MN
Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại N MN’ là phân giác của Cách dựng điểm N:
- Dựng M’ đối xứng M qua AD
- Dựng phân giác cắt DM’ tại N’
- Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD 
Chú ý: Học sinh có thể không trình bày phân tích mà trình bày được cách dựng vẫn cho điểm tối đa.
0.25
0.25
0.25
5
0.25
1.0
Gọi O giao điểm 2 đường chéo hình bình hành, kẻ OP vuông góc d tại P
HS lập luận được BH + CI + DK = 4OP
Mà OP AO nên BH + CI + DK 4AO. Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO
Đạt được khi P A hay d vuông góc AC
0.25
0.25
0.25
Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I
 NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1: (2.5 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau
 	A = 
 B = 
 C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α)
Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình
a. 	
Bài 3: (2.0 điểm)
a. Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab. 
 Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao?
b. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Bài 4: ( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. 
Từ đó hãy suy ra SAEF = SABC. 2
BH.KM = BA.KN
Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc . Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. 
Hết./.
Họ và tên thí sinh....SBD.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang
Bài
Ý
	Nội dung cần đạt	
Điểm
1.
2.5
a
0.75
A
0.25x3
b
0.75
= = = 0. Suy ra A = 0
0.5
0.25
b.
1.0
== ==2
0.2x5
2.
2.0 
 2a.
1.0
ĐK: 
 ; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm
0.25x4
2b.
1.0
ĐKXĐ: 
và
0.25
0.25
0.25
0.25
3.
2.0
3a.
1.0
Gọi UCLN của a-c và b-c là d 
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương
0,25
0.25
0.5
3b.
1.0
. Ta có 
Mà 
Nên . Dấu bằng khi x = y =1
Mặt khác :. Nên. Dấu bằng xảy ra khi
x = y =1 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21 khi và chỉ khi x = y =1
0,25
0,25
0.25
0.25
4.
2.5
0.25
4a 
1.0 
 vuông tại E nên ; vuông tại F nên 
Tư đó chứng minh được tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c)
Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên 
0.25
0.25
0.25
0.25
4b.
0.75
và có ; (Góc có cạnh tương ứng song song)
Suy ra đồng dạng với ( g.g); 
0.5
0.25
4c.
0.75
 đồng dạng với nên ( Vì MN là đường TB của tam giác AHC); Lại có: ; ( G là trọng tâm của tam giácAHC)
. Mặt khác ( so le trong)
đồng dạng với tam giác (c.g.c)
0.25
0.25
5
1.0
Ta có : SMCD = MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có ;
 MC = , MD = ; SMCD = 
Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất Û 2sina.cosa lớn nhất .
Theo bất đẳng thức 	2xy £ x2 +y2 	ta có :
2sina.cosa £ sin2a +cos2a = 1 	nên	 SMCD ≥ ab
A
B
M
a
b
C
x
y
D
a(
a
SMCD = ab Û sina = cosa Û sina = sin(900-a) Û a = 900-a Û a = 450 
Û DAMC và DBMD vuông cân.
Vậy min SMCD = ab .
Khi a = 450 ; C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM .
0.5
0.5
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG 2
 NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1: (2.0 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau: 
 	Rút gọn .
 Tính giá trị của khi .
 Chứng minh: 
Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình
	a. Cho . Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
 . 
b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 3: (2.0 điểm)
a. Cho các số nguyên dương: sao cho:
N = chia hết cho 30.
Chứng minh: M = chia hết cho 30.
b. Cho thỏa mãn: . Chứng minh: 
Bài 4: ( 2,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh . Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường thẳng DA tại E. Đường thẳng qua C vuông góc CN tại C cắt đường thẳng AB tại F. Diện tích tứ giác ACFE là 3.
a. Chứng minh: N là trung điểm AB.
b. Tính CF theo 
Bài 5: (1,5 điểm) 
Cho đường tròn cố định (O; R) đi qua đoạn thẳng BC cố định. Điểm M di chuyển trên đường tròn (O), M không trùng với B; C. Gọi G là trọng tâm tam giác MBC. Chứng minh rằng điểm G di động trên một đường tròn cố định.
Hết./.
Họ và tên thí sinh....SBD.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang
Bài
Ý
	Nội dung cần đạt	
Điểm
1.
2.0
a
1,0
ĐK: 
0.25x4
b
0.5
0.25
0.25
c.
0.5
Dấu “=” xẩy ra khi: ; mà không thuộc TXĐ
Vậy 
0.25
0.25
2.
2.0 
 2a.
1.0
Giá trị biểu thức bằng 2. không phụ thuộc giá trị của x
0.25x4
2b.
1.0
 là số nguyên lẻ
Mà 
HS tìm rồi thay vào tìm để tìm ra các cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1); 
(-4; 1); (-4; -1)
0.25
0.25
0.25
0.25
3.
2.0
3a.
1.0
- HS lập luận: chia hết cho 6. vì có tích 3 số tự nhiên liên tiếp. 
- HS lập luận: chia hết cho 5. (Chia các trường hợp để xét: )
Mà (5; 6) = 1 nên 
Xét tương tự và suy ra được: 
Hay - 
Theo giả thiết: 
0,25
0.25
0.5
3b.
1.0
Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
0,25
0,5
0.25
4a
1,5đ 
Gọi độ dài BN = b ( Với 0 < b < a)
C/m được: CBF = CDE (g-c-g) CF = CE (1)
Vì AN // DC nên áp dụng Talet: 
Suy ra: DE = EA + AD = + a 
Áp dụng định lý Py ta go vào ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 + (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra 
2SACEF = +
Do đó SACEF = 3SABCD = 3a2 
 a2 +ab -6b2 = 0 HS lập luận giải: a = 2b
Vậy điểm N trung điểm của AB
0,5
0,5
0,5
4b
1,0
Theo c/m trên: CF = CE mà theo (3) CE2 = 2 + 
0,5x2
5.
1,5
Lấy N trung điểm BC. Trên NO lấy H sao cho (1). 
(O) cố định, BC cố định nên H cố định.
Theo tính chất trọng tâm: (2)
Từ (1) và (2): 
 H cố định 
 Vậy G chạy trên đường tròn (H; R/3)
0.5
0.25
0,25
0,5