Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6

Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
1 
TUYỂN TẬP 
CÁC ĐỀ THI HỌC 
SINH GIỎI 
MÔN TOÁN LỚP 6 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
2 
ĐỀ SỐ 1 
Thời gian làm bài 120 phút 
Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức 
122
12
23
23
+++
−+
=
aaa
aa
A 
 a, Rút gọn biểu thức 
 b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân 
số tối giản. 
Câu 2: (1 điểm) 
 Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho 12 −= nabc và 2)2( −= ncba 
Câu 3: (2 điểm) 
 a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương 
 b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. 
Câu 4: (2 điểm) 
 a. Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh 
nb
na
+
+
và 
b
a
 b. Cho A = 
110
110
12
11
−
−
; B = 
110
110
11
10
+
+
 . So sánh A và B. 
Câu 5: (2 điểm) 
 Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng 
một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. 
Câu 6: (1 điểm) 
 Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng 
nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. 
ĐÁP ÁN 
Câu 1: Ta có: 
122
12
23
23
+++
−+
=
aaa
aa
A = 
1
1
)1)(1(
)1)(1(
2
2
2
2
++
−+
=
+++
−++
aa
aa
aaa
aaa
Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). 
Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. 
b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). 
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ 
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d 
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm) 
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) 
Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) 
cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) 
Từ (1) và (2) ⇒ 99(a-c) = 4 n – 5 ⇒ 4n – 5 ⋮ 99 (3) (0,25 điểm) 
Mặt khác: 100 [ n2-1 [ 999 ⇔ 101 [ n2 [ 1000 ⇔ 11 [n[31 ⇔ 39 [4n – 5 [ 119 (4) ( 0, 25 điẻm) 
 Từ (3) và (4) ⇒ 4n – 5 = 99 ⇒ n = 26 
Vậy: abc = 675 ( 0 , 25 điểm) 
Câu 3: (2 điểm) 
a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a∈ Z) ⇔ a2 – n2 = 2006⇔ 
(a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). 
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 
điểm). 
+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)⋮2 và (a+n) ⋮2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải 
không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). 
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). 
b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 
3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. 
Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). 
Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
3 
Ta xét 3 trường hợp 1=b
a
 1>b
a
 1<ba (0,5 điểm). 
TH1: 1=b
a
 ⇔ a=b thì nb
na
+
+
 thì nb
na
+
+
 = b
a
=1. (0 , vì ,5 điểm). 
TH1: 1>b
a
 ⇔ a>b ⇔ a+m > b+n. 
Mà nb
na
+
+
 có phần thừa so với 1 là nb
ba
+
−
b
a
 có phần thừa so với 1 là b
ba−
, vì nb
ba
+
−
 < b
ba−
 nên nb
na
+
+
 < b
a
 (0,25 điểm). 
TH3: b
a
<1 ⇔ a<b ⇔ a+n < b+n. 
Khi đó nb
na
+
+
 có phần bù tới 1 là b
ba−
 , vì b
ba−
 < nbb
ab
+
−
 nên nb
na
+
+
 > b
a
 (0,25 điểm). 
b) Cho A = 
110
110
12
11
−
−
; 
rõ ràng A< 1 nên theo a, nếu b
a
<1 thì nb
na
+
+
> b
a
⇒ A< 
1010
1010
11)110(
11)110(
12
11
12
11
+
+
=
+−
+−
 (0,5 điểm). 
Do đó A< 
1010
1010
12
11
+
+
 = =
+
+
)110(10
)110(10
11
10
110
110
11
10
+
+
 (0,5 điểm). 
Vây A<B. 
Bài 5: Lập dãy số . 
Đặt B1 = a1. 
B2 = a1 + a2 . 
B3 = a1 + a2 + a3 
................................... 
B10 = a1 + a2 + ... + a10 . 
Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. ( 0,25 điểm). 
Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: 
Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư ∈ { 1,2.3...9}). Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có ít 
nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) ⇒ ĐPCM. 
Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường 
thẳng ⇒ có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần ⇒ số giao điểm thực tế là: 
(2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. 
ĐỀ SỐ 2 
Thời gian làm bài 120 phút 
Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 
 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 
 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99 
Câu 2. a. chứng tỏ rằng 
230
112
+
+
n
n
 là phân số tối giản. 
 b. Chứng minh rằng : 
22
1
+
23
1
+
24
1
+...+
2100
1
<1 
Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 
số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số 
cam bác nông dân đã mang đi bán . 
Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường 
thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. 
ĐÁP ÁN 
Câu1: a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12 
12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ) 
do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ) 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
4 

 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 
hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) 
vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) 
b.(1đ) 
Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) 
để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ) 
=>* 2n-1=1 => n=1 
*2n-1=3=>n=2 (0,25đ) 
vậy n=1;2 (0,25đ) 
 c. (1đ) Ta có 99=11.9 
B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) 
*B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 

 (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15 
• B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 
x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ) 
y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) 
y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 (0,25đ) 
Câu2: a. Gọi dlà ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có 
5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) 
vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau 
do đó 
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản (0,5đ) 
b. Ta có 
22
1
<
1.2
1
=
1
1
-
2
1
23
1
<
3.2
1
=
2
1
-
3
1
 ... 
2100
1
<
100.99
1
=
99
1
-
100
1
 (0,5đ) 
Vậy 
22
1
+
23
1
+...+ 
2100
1
<
1
1
-
2
1
+
2
1
-
3
1
+ ...+
99
1
-
100
1
22
1
+
23
1
+...+ 
2100
1
<1-
100
1
=
100
99
<1 (0,5đ) 
Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là : 
(24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ) 
Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất . 
(33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ) 
 Số cam bác nông dân mang đi bán . 
(50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) 
Câu 4(1đ) 
 . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 
101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm) 
ĐỀ SỐ 3 
Thời gian làm bài: 120’ 
Bài 1:(1,5đ) Tìm x 
 a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 
Bài 2: (1,5đ) 
 Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 5a< ⇔ − < < 
Bài 3: (1,5đ) 
 Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
5 
 a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. 
 b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. 
 c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? 
Bài 4: (2đ) 
 Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số 
đó là số dương. 
Bài 5: (2đ) 
 Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự 
của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà 
hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. 
Bài 6: (1,5đ) 
 Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và 
xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: 
 a.   xOy xOz yOz= = 
 b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. 
ĐÁP ÁN 
Bài 1 (1,5đ) 
a).5x = 125  5x = 53 => x= 3 
b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 
c). 52x-3 – 2.52 = 52.3 
52x: 53 = 52.3 + 2.52 
52x: 53 = 52.5 
52x = 52.5.53 
 52x = 56 => 2x = 6 => x=3 
Bài 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a ∈Z nên từ a < 5 ta 
=> a = {0,1,2,3,4}. 
Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do 
đó -5<a<5. 
Bài 3. 
a)Nếu a dương thì số liền sau cũng dương. 
Ta có: Nếu a dương thì a>0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương 
b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. 
Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. 
Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số 
bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. 
Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số 
dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. 
Bài 5 (2đ): 
Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai 
tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia 
hết cho 10. 
Bài 6 (1,5đ).Ta có:  ' 0 ' 060 , 60x Oy x Oz= = và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên 
  ' ' 0120yOz yOx x Oz= + = vậy   xOy yOz zOx= = 
Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và  ' 'x Oy x Oz= nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, 
Oz. 
Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và 
xOy 
ĐỀ SỐ 4 
Thời gian làm bài 120 phút 
Câu 1. Tính: 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
6 
 a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 
 b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. 
Câu 2. 
 a. Chứng minh rằng nếu: ( )egcdab ++ ⋮ 11 thì degabc ⋮ 11. 
 b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8 ⋮ 72. 
Câu 3. 
 Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại 
mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số 
học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg. 
Câu 4. 
 Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng 
7
6
 số thứ nhất bằng
11
9
 số thứ 2 và bằng 
3
2
 số thứ 3. 
 Câu 5. 
 Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, 
hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD. 
ĐÁP ÁN 
Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21. 
=> 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3) +. . . + (2 20 – 2 20). = 2 21. 
 b). (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 
=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750 
=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 
 101 x 50 + 100 x = 5750 
 100 x + 5050 = 5750 
 100 x = 5750 – 5050 
 100 x = 700 
 x = 7 
Câu 2. a) egcdababc ++= 10010000deg = 9999 cdab 99+ + ( )egcdab ++ ⋮11. 
b). 10 28 + 8 ⋮ 9.8 ta có 10 28 + 8 ⋮ 8 (vì có số tận cùng là 008) 
nên 10 28 + 8 ⋮ 9.8 vậy 10 28 + 8 ⋮ 72 
Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26) ⋮ 11 và ( x-25) ⋮10. 
Do đó (x-15) ∈ BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235. 
Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs 
Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs. 
Câu 4. Số thứ nhất bằng: 
11
9
: 
7
6
 = 
22
21
 (số thứ hai) 
Số thứ ba bằng: 
11
9
: 
3
2
 = 
22
27
 (số thứ hai) 
Tổng của 3 số bằng 
22
272122 ++
 (số thứ hai) = 
22
70
(số thứ hai) 
Số thứ hai là : 210 : 
22
70
 = 66 ; số thứ nhất là: 
22
21
. 66 = 63 ; số thứ 3 là:
22
27
.66 = 81 
Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng 
 Xét 3 trường hợp 
a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào. 
b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối 
thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD 
c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
7 
phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD 
ĐỀ SỐ 5 
Thời gian làm bài 120 phút 
Bài 1 (3đ): 
 a) So sánh: 222333 và 333222 
 b) Tìm các chữ số x và y để số 281 yx chia hết cho 36 
 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28 
Bài 2 (2đ): 
 Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + ... + 32002 
 a) Tính S 
 b) Chứng minh S ⋮ 7 
Bài 3 (2đ): 
 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28 
Bài 4 (3đ): 
 Cho góc AOB = 1350. C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 
 a) Tính góc AOC 
 b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1 (3đ): 
 a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 (0,5đ) 
 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) 
Suy ra: 222333 > 333222 
 b) Để số 281 yx ⋮ 36 ( 0 ≤ x, y ≤ 9 , x, y ∈ N ) 


 ++++
⇔
42
9)281(
⋮
⋮
y
yx
 (0,5đ) 
 { }9;7;5;3;142 =⇒ yy ⋮ 
 (x+y+2) ⋮ 9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = { }7;9;0;2;4;6 (0,25đ) 
Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) 
 c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 ) ⋮ a => 42 ⋮ a (0,5đ) 
 => a = 42 (0,5đ) 
Bài 2 (2đ): 
 a) Ta có 32S = 32 + 34 + ... + 32002 + 32004 (0,5đ) 
Suy ra: 8S = 32004 - 1 => S = 
8
132004 −
 (0,5đ) 
 b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + ... + 31998(30 + 32 + 34 ) = 
 = (30 + 32 + 34 )( 1 + 36 + ... + 31998 ) 
 = 91( 1 + 36 + ... + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S ⋮ 7 (0,25đ) 
Bài 3 (2đ): Gọi số cần tìm là: a 
 Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 (0,5đ) 29(q - p) = 2p + 23 
 Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p ≥ 1. (0,75đ) 
 Vì a nhỏ nhất hay q - p = 1 => p = 3; 
 => a = 121 (0,5đ) 
 Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ) 
Bài 4 (3đ): 
 a) theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên 
tia OC nằm giữa hai tia OB và OA 
=> góc AOC + góc BOC = góc AOB 
=> góc AOC = góc AOB - góc BOC 
=> góc AOC = 1350 - 900 = 450 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
8 
 b) vì OD là tia đối của tia OC nên C, O, D thẳng hàng. Do đó góc DOA + góc AOC = 1800 (hai 
góc kề bù) 
=> góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 => góc AOD = 1350 
góc BOD = 1800 - 900 = 900 
 Vậy góc AOD > góc BOD 
------------------------------------------------ 
ĐỀ SỐ 6 
Thời gian làm bài 120 phút 
Bài 1( 8 điểm 
 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
 a) 571999 b) 931999 
 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5. 
 3 . Cho phân số 
b
a
 (0 0) vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn 
hay bé hơn 
b
a
? 
 4. Cho số 16*4*710*155 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác 
nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 
 5. chứng minh rằng: 
 a) 
3
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
<−+−+− ; b) 
16
3
3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
2
3
1
10099432
<−++−+− 
Bài 2: (2 điểm ) 
 Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) 
 a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a 
 b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = 
2
1
(a+b). 
ĐÁP ÁN 
 Bài 1: 
1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm ) 
Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : 
a) 571999 ta xét 71999 
Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm ) 
ỵVậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 
b) 931999 ta xét 31999 
Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 
Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm ) 
2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 
Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng 
số hạng. 
Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 
Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm ) 
Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. ( 0,25 điểm ) 
3 (1 điểm )Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) ( 0,25 điểm ) 
 ⇒ ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm ) 
⇒ a(b+m) < b( a+m) 
⇒ 
mb
ma
b
a
+
+
< 
4.(1 điểm ) 
Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
9 
đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp { }3;2;1 nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6. 
Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh 
A = 16*4*710*155 chia hết cho 4 ; 9 và 11. 
Thật vậy : 
+A ⋮ 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm ) 
+ A ⋮ 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 
1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm ) 
+ A ⋮ 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. 
{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm ) 
Vậy A ⋮ 396 
5(4 điểm ) 
a) (2 điểm ) Đặt A= 
65432 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
−+−+−=−+−+− (0,25 điểm ) 
⇒ 2A= 
5432 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 −+−+− (0,5 điểm ) 
⇒ 2A+A =3A = 1- 1
2
12
2
1
6
6
6
<
−
= (0,75 điểm ) 
⇒ 3A < 1 ⇒ A < 
3
1
 (0,5 điểm ) 
b) Đặt A= 
10099432 3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
2
3
1
−++−+− ⇒3A= 1-
9998332 3
100
3
99
...
3
4
3
3
3
3
3
2
−++−+− 
 (0,5 điểm ) 
⇒ 4A = 1-
100999832 3
100
3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
−−++−+ ⇒ 4A< 1-
999832 3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
−++−+ (1) (0,5 điểm ) 
Đặt B= 1-
999832 3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
−++−+ ⇒ 3B= 2+ 
98972 3
1
3
1
...
3
1
3
1
−++− (0,5 điểm ) 
4B = B+3B= 3- 
993
1
 < 3 ⇒ B < 
4
3
 (2) 
Từ (1)và (2) ⇒ 4A < B < 
4
3
 ⇒ A < 
16
3
 (0,5 điểm ) 
Bài 2 ( 2 điểm ) 
a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB 
+OA= OA 
Từ đó suy ra: AB=a-b. 
b)(1 điểm )Vì M nằm trên tia Ox và OM = =
−
+=
−+
=
+
=+
22
2
2
)(
2
1 ba
b
babba
ba 
 = OB + ABOB
OBOA
2
1
2
+=
−
⇒ M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM 
-------------------------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 7 
Thời gian làm bài: 120 phút. 
A – Phần số học : (7 điểm ) 
Câu 1:( 2 điểm ) 
 a, Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao? 
B A x O 
Tuyển tập đề thi HSG Toán 6 
Nguồn: Sưu tầm ĐT 01234646464 
10 
99
23
 ; 
99999999
23232323
 ; 
9999
2323
 ; 
999999
232323
 b, Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 ⇔ 9x + 5y chia hết cho 17 
Câu 2:( 2 điểm ) 
 Tính giá trị của biểu thức sau: 
 A = (
7
1
 + 
23
1
 - 
1009
1
 ):(
23
1
 + 
7
1
 - 
1009
1
 + 
7
1
 . 
23
1
 . 
1009
1
) + 1:(30. 1009 – 160) 
Câu 3 :( 2 điểm ) 
 a, Tìm số tự nhiên x , biết : ( 
3.2.1
1
 + 
4.3.2
1
 + . . . + 
10.9.8
1
 ).x = 
45
23
 b,Tìm các số a, b, c , d ∈ N , biết : 
43
30
 = 
d
c
b
a
1
1
1
1
+
+
+
Câu 4 : ( 1 điểm ) 
 Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất. 
B – Phần hình học ( 3 điểm ) : 
Câu1: ( 2 điểm ) 
 Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao? 
Câu 2: ( 1 điểm) 
 Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ 
được tất cả 170 đường thẳng. 
ĐÁP ÁN 
A. PHẦN SỐ HỌC 
Câu 1: a, Ta thấy; 
9999
2323
101.99
101.23
99
23
== 
999999
232323
10101.99
10101.23
99
23
== 
99999999
23232