Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9

Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 1 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Câu 1. (4 điểm) 
 1. Cho biểu thức: A = 
x 1 x 2 x 3 x 3 2
:
x 1 x 1x 1 x 1
     
        
,với x 0;x 1  . 
 a) Rút gọn A. 
 b) Tìm x để A nguyên. 
 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có a3 + 11a  6 
Câu 2. (4 điểm) 
 1. Giải phương trình: 2x 4 x 4 2 x 16 2x 12       
 2. Cho các số dương x, y, z thoả mãn 
xy x y 3
yz y z 8
zx z x 15
  

  
   
 Tính giá trị của biểu thức P = x + y + z. 
Câu 3. (5 điểm) 
 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0. 
 2. Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a + b + c  2015.Chứng minh rằng 
3 3 3 3 3 3
2 2 2
5a b 5b c 5c a
2015
ab 3a bc 3b ca 3c
  
  
   
 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
 (x + y)4 = 40y + 1. 
Câu 4. (6 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, 
M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM 
cắt AB tại I. 
 a) Chứng minh tích OI.OM không đổi. 
 b) Tìm vị trí của M để  MAB đều. 
 c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định. 
Câu 5. (1điểm) Cho a > 0, b > 0 và 
1 1
1
a b
  . Chứng minh rằng: 
 a b a 1 b 1.     
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 1 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 2 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Câu 1. ( 6 điểm ) 
1. Cho biểu thức: 
2 5 x 1 x 1
A 1 ( ) :
4x 11 2 x 1 2 x 4x 4 x 1

   
   
 a) Rút gọn A 
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên 
 c) Tính giá trị của A với 
3x 7 49(5 4 2)(3 2 1 2 )(3 2 1 2 2 )       . 
2. Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho : 
 
2
2
abc n 1
cba n 2
  

 
 , với n là số nguyên lớn hơn 2. 
Câu 2. ( 4 điểm ) 
1. Giải phương trình sau: 2x 3 1 x 3 x 1 1 x       
2. Cho x, y,z là ba số thỏa mãn: x.y.z 1 và 
1 1 1
x y z
x y z
     . Tính giá trị của 
biểu thức:      2013 2014 2015P x 1 y 1 z 1    
Câu 3. ( 3 điểm ) 
1. T×m c¸c nghiệm nguyên của phương trình : x2 + xy + y2 = x2y2 
2. Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1   . Chứng minh rằng 
ab bc ca 1
c 1 a 1 b 1 4
  
  
. 
Câu 4.( 6 điểm ) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ 
AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D 
sao cho góc COD = 900. Kẻ OH vuông góc với CD tại H. 
 a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB; 
 b) Chứng minh 
2AB
AC.BD
4
 ; 
 c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng 
diện tích tam giác AHB. 
Câu 5. ( 1 điểm ) T×m nghiÖm nguyªn dương cña ph­¬ng tr×nh : x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0 
 --------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 2 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 3 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Câu 1. (4 điểm) 
 a. Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện: 2 2a a 2b b   . 
 Chứng minh rằng a b và a b 1  đều là các số chính phương. 
 b. Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của n hợp số 
nhưng không thể viết được thành tổng của n 1 hợp số. 
Câu 2. (5 điểm): 
 a. Giải phương trình: 2 26x 1 9x 1 6x 9x     . 
 b. Giải hệ phương trình: 
2 2
3 3
x y xy 2
x y 2x 4y
  

  
Câu 3. (3 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc 1 . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 1 1
P
a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3
  
     
. 
Câu 4. (6 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC 
của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các 
điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 
 a. Ba điểm D, E, F thẳng hàng. 
 b.
AB AC BC
+ =
MF ME MD
. 
Câu 5. (2 điểm). Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác 
đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng 
3 cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho. 
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 3 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 4 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Câu 1. (2,0 điểm) 
a) Tính giá trị của biểu thức: A = 3 22x 3x 4x 2   
với 
5 5 5 5
x 2 2 3 5 1
2 2
 
       
b) Cho x, y thỏa mãn: 
 x 2014 2015 x 2014 x y 2014 2015 y 2014 y           
Chứng minh: x y 
Câu 2. (2,0 điểm) 
a) Giải phương trình    
3
3x x 1 x 1 2 2 x x 1 2        
b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau: 
   
23x xy 4x 2y 2
x x 1 y y 1 4
    

   
Câu 3. (2,0 điểm) 
a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2 2 22p 1; 2p 3; 3p 4   đều là số nguyên tố. 
b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 23x 18y 2z 3y z 18x 27     . 
Câu 4. (3,0 điểm) 
Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. 
AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung BC không chứa 
D lấy F(F  B, C). AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N  F) và cắt đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ADE tại P(P  A). 
a) Giả sử  0BAC 60 , tính DE theo R. 
b) Chứng minh AN.AF = AP.AM 
c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC. Các 
đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Tìm vị trí của F trên cung BC để biểu thức 
BC BD CD
FH FI FK
  đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 5. (1,0 điểm) 
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy yz zx xyz   . Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức: 1 1 1M
4x 3y z x 4y 3z 3x y 4z
  
     
. 
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 4 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 5 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bài 1. (5 điểm) Cho biểu thức P = 
x 2 x 1 x 1
:
2x x 1 x x 1 1 x
  
  
    
 a) Rút gọn P 
 b) Tìm x để P = 
7
2
 c) So sánh P2 với 2P. 
Bài 2. (3 điểm) 
 a) Giải phương trình: 
 b) Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện: 
x y 4z 1
y z 4 x 1
z x 4 y 1
   

  

  
Bài 3. (2 điểm) Cho x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức 3 3x y 2xy  . 
Chứng minh rằng 1 xy là một số hữu tỉ. 
Bài 4. (5 điểm) 
Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp 
tuyến d của đường tròn. Gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến 
đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh: 
 a) CI = CK 
 b) CH2 = AI.BK 
 c) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IK. 
Bài 5. (2 điểm) 
Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc 
nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam 
giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM. 
Bài 6. (3 điểm) 
 a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
2 2 2 2x xy y x y   
 b) Cho 0 x, y,z 1  .Chứng minh rằng
x y z 3
1 y xz 1 z xy 1 x yz x y z
  
       
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
2 24 4 0x x   
Đề số 5 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 6 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bài 1. (4,0 điểm) 
 1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: 
 A = 
6x (x 6) x 3 3 1
2(x 4 x 3)(2 x ) 2x 10 x 12 3 x x 2
  
 
       
 . 
 Điều kiện x 0 , x  4; x  9 ; x  1 
 2) Rút gọn biểu thức: B = 
322
32
322
32





Bài 2. (6,0 điểm) 
 1) Cho phương trình : 
2
2 2
3a 1 a 1 2a(a 1)
a x a x x a
  
 
  
 ( a là tham số) 
 a) Giải phương trình trên. 
 b ) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên 
tố. 
 2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau: 
3 3 3
2
x y z 3xyz
x 2(y z)
   

 
Bài 3. (4,0 điểm) 
 1) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho : 
2
2
 abc n -1
cba (n 2)
 

 
 Với n   ; n >2 
 2) Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 . 
 Chứng minh : 52  3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54 
Bài 4. (4,0 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD cạnh là a và N là một điểm trên cạnh AB. Tia CN cắt tia 
DA tại E. Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DE. Gọi M là trung điểm của 
EF. 
 1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM. 
 2) Xác định vị trí điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần 
diện tích hình vuông ABCD. 
Bài 5. (2,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC có    0B C 105 và AB AC 2 2BC. Tính B và C    
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 6 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 7 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bài 1. (5 điểm). 
 Cho biểu thức: A = 
2 a 1 2 a
1 :
a 1 1 a a a a a 1
   
    
       
, với a ≥ 0 
 1. Rút gon biểu thức A. 
 2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009 . 
Bài 2. (4 điểm). 
 1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 
 2. Giải hệ phương trình: 
3 3x y 3(x y)
x y 1
   

  
Bài 3. (4 điểm). 
 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6 - x3y - 32) 
 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hình 
chiếu của B, C lên đường thẳng AD. 
Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN 
Bài 4. (5 điểm). 
 Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểm 
trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN. 
 1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL. 
 2. Chứng minh ∆LMN vuông cân 
 3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP. 
Bài 5. (2 điểm). 
 Cho a b và ab = 6. Chứng minh:
2 2a b
4 3
a b



--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 7 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 8 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bài 1. (4,0 điểm) 
 1) Cho a +b + c = 0 và a, b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức: 
 A = 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
ab bc ca
a b c b c a c a b
 
     
 2) Tính giá trị của biểu thức: 
 P = 
3 2
3 2
x x 5x 3 6
x 2x 7x 3
   
  
 tại x = 3 31 2 4  . 
Bài 2. (4,0 điểm) 
 1) Giải hệ phương trình: 
2 2x xy y 3
x y xy 5
   

  
 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
 ( 2x + 5y + 1)(
x 22 x x  + y ) = 105 
Bài 3. (4,0 điểm) 
 1) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho 
n3 + 2012n. 
 2) Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y. 
 Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương. 
Bài 4. ( 6,0 điểm) 
 Cho đường tròn (O ; R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường 
tròn. Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn 
(A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E. 
a) Chứng minh BCM đồng dạng với BEO 
b) Chứng minh CM vuông góc với OE. 
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB và diện tích tứ giác MAOB. 
Bài 5. (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2
1 2 2015
1 2 3 2015
x x x
M
x (x x x )
  

  


, với x1, x2,..., x2015 > 0. 
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 8 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 9 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bài 1. (3 điểm ) Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5   = cotg450 
Bài 2. (4 điểm ) Cho biểu thức 
   
 2
x 4 x 1 x 4 x 1 1
Q 1
x 1x 4 x 1
      
   
  
 a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa 
 b) Rút gọn biểu thức Q 
Bài 3. (3 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
y x 1 x y 4
M
xy
  
 
Bài 4. (4 điểm ) Chứng minh rằng nếu 
   
2 2x yz y xz
x 1 yz y 1 xz
 

 
với x y,yz 1,xz 1,x 0,y 0,z 0      thì 
1 1 1
x y z
x y z
     
Bài 5. (4 điểm ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh 
M vẽ góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. 
Chứng minh rằng: MEF ABC
1
S S
4
 
Bài 6. (2 điểm ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và 
AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường 
thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). 
Chứng minh MK = MA. 
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 9 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 10 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bài 1. (1,5 điểm) 
 Cho biểu thức 
2 3
3 3 x 3
Q 1
xx x 3 3 x 27 3
  
     
    
 a. Rút gọn Q 
 b.Tính giá trị của Q khi x 3 2010  
Bài 2 (1 điểm) Rút gọn biểu thức M 4 7 4 7    
Bài 3 (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có 
2 2 2a b c ab bc ac     
Bài 4 (2 điểm) 
 a. Cho a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 
 b. Cho x + 2y = 8 . Tìm giá trị lớn nhất của B = xy 
Bài 5. ( 2điểm ) Giải phương trình 
 a. 2 29 6 9 0x x x     
 b. 2 24 4 0x x    
Bài 6. (2,5 điểm ) 
Cho hình vuông cạnh a. Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB tại M .D là điểm 
đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tại E. CA cắt 
Dx tại F. Đặt MDC  
 a.Chứng minh AM là phân giác của FCB. Tính độ dài DM, CE theo a và α 
 b.Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của sinα 
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 10 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 11 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bµi 1. (1,5 ®iÓm) Rót gän c¸c biÓu thøc sau : 
a. A =
51
1

+
95
1

+
139
1

 ++
20052001
1

+
20092005
1

b. B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 223  + 3 223  
Bài 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: 
 a. 3x2 + 4x + 10 = 2 214x 7 
 b. 2 4 2 24 44 x x 16 4x 1 x y 2y 3 5 y           
 c. x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên) 
Bµi 3. (2,0 ®iÓm) 
 a. Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× ,a b ta lu«n cã: 
2
a b
ab
2
 
 
 
. 
 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ? 
 b. Cho ba sè thùc a,b,c kh«ng ©m sao cho a b c 1   . 
Chøng minh: b c 16abc  . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ? 
 c. Víi gi¸ trÞ nµo cña gãc nhän α th× biÓu thøc 6 6P sin cos    cã gi¸ trÞ bÐ 
nhÊt ? Cho biÕt gi¸ trÞ bÐ nhÊt ®ã. 
Bµi 4. (1,5 ®iÓm) Mét ®oµn häc sinh ®i c¾m tr¹i b»ng « t«. NÕu mçi « t« chë 22 ng­êi th× 
cßn thõa mét ng­êi. NÕu bít ®i mét « t« th× cã thÓ ph©n phèi ®Òu tÊt c¶ c¸c häc sinh lªn 
c¸c « t« cßn l¹i. Hái cã bao nhiªu häc sinh ®i c¾m tr¹i vµ cã bao nhiªu « t« ? BiÕt r»ng 
mçi « t« chØ chë kh«ng qu¸ 30 ng­êi. 
Bµi 5 ( 3,0 ®iÓm ) 
 1. Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a, gäi R vµ r lÇn l­ît lµ c¸c b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn 
ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABD vµ ABC. 
 a) Chøng minh :
2 2 2
1 1 4
R r a
  
 b) Chøng minh : 
3 3
ABCD 2 2 2
8R r
S
(R r )


; ( KÝ hiÖu 
ABCDS lµ diÖn tÝch tø gi¸c ABCD ) 
 2. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã  0BAC 108 .Chøng minh : 
BC
AC
 lµ sè v« tØ. 
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 11 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 12 
1
a b c d  
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bài 1. (4 điểm) 
 a. Tính tổng: 
 b. Cho a, b, c, d là các số dương và 
a c
b d
 . Hãy trục căn thức ở mẫu của 
biểu thức sau: 
Bài 2. (4 điểm ) 
 a. Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 . Chứng minh :
2 2a b
2 2
a b



 b. Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho : 
 
2
2
abc n 1
cba n 2
  

 
 với n là số nguyên lớn hơn 2 
Bài 3. (4 điểm ) 
 a. Phân tích thành nhân tử: 
 M = 1xxx1x7 23  với 1x  
 b. Giải phương trình : 83xx326x3 2  
Bài 4. (2 điểm ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: x(m 2) (m 3)y m 8     
 a. Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1). 
 b. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm 
cố định. 
Bài 5. (2 điểm ) Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho: 
 AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC ? 
Bài 6. (4 điểm ) Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di 
động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt 
là hình chiếu của H lên AC và AB. 
 a. Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 
 b. Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích 
lớn nhất đó theo R. 
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 12 
2 2 2 2
...
15 35 63 399
P     
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 13 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bài 1. (1.5 điểm) Thực hiện tính: 
2
2
2x 2 x 4
x 4 x 2
 
  
 với x 2 6 3  
Bài 2. (2.5 điểm) 
 Giải các phương trình: 
 a. 2 2x 5x x 5x 4 2      
 b. 2 2x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3         
Bài 3. (2.0 điểm) 
a. Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu 
tỉ với mọi số n nguyên. 
b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x
2 + 2009x + 1 = 0 
 x3, x4 là nghiệm của phương trình x
2 + 2010x + 1 = 0 
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) 
Bài 4. ( 3.0 điểm) 
 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC 
với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M. Trên 
cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung điểm của 
DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K. 
a. Chứng minh: bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. 
b. Chứng minh:   ICB IDK  
c. Chứng minh: H là trung điểm của DK. 
Bài 5. ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự 
nhiên n. 
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 13 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 14 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Bài 1. (2.0 điểm) 
a) Chứng minh bất đẳng thức: 
1 1 4
a b a b
 

 . Với a;b là các số dương. 
b) Cho x ; y là hai số dương và x y 1  .Tìm giá trị nhỏ nhất của 
1
P
2xy
 ; 
2 2
2 3
M
xy x y
 

. 
Bài 2. (2.0 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
2 2x y 11
x xy y 3 4 2
  

   
Bài 3. (2.0 điểm) 
 Hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Trên tia 
đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đường thẳng qua O song 
song vơi AB cắt QM tại H. 
a. Chứng minh HM = HN. 
b. Chứng minh MN là phân giác của góc QMP. 
Bài 4. (3.0 điểm) 
 Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa 
đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH 
cắt AB tại I 
a. Tính góc CIF. 
b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn. 
c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó. 
Bài 5. (1.0 điểm) 
 Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. 
--------------Hết---------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Đề số 14 
Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014
Email: maithequynh160282@gmail.com. 15 
(Thời gian làm bài 150 phút.) 
Câu 1. (4,0 điểm ) 
 a. Cho a, b là 2 số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: a2