Tuyển tập 55 đề bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

Đề số 1: 
đề thi học sinh giỏi huyện
Môn Toán Lớp 7
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương:
 a) ; b) 27 < 3n < 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:
Bài 3. a) Tìm x biết: 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC
Đáp án đề 1 - toán 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
 a) ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1
 b) 27 33 n = 4
Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)
 = 
 = 
Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
 a) Tìm x biết: 
 Ta có: x + 2 0 => x - 2.
 + Nếu x - thì => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
 + Nếu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả mãn)
 + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Khi x thay đổi
 + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi)
 Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có:
 x – y = (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)
 và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
 Do đó: 
x = (giờ)
 Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là giờ
D
 B
A
 H
 C
 I 
 F
 E
 M
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)
 Đường thẳng AB cắt EI tại F
 ABM = DCM vì:
 AM = DM (gt), MB = MC (gt),
 = DMC (đđ) => BAM = CDM
 =>FB // ID => IDAC 
 Và FAI = CIA (so le trong) (1) 
 IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
 Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) 
 => IC = AC = AF (3) 
 và E FA = 1v (4) 
 Mặt khác EAF = BAH (đđ), 
 BAH = ACB ( cùng phụ ABC) 
 => EAF = ACB (5)
 Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB 
 =>AE = BC
Đề số 2: 
đề thi học sinh giỏi huyện
Môn Toán Lớp 7
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phộp tớnh: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tỡm x biết:
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba số đú bằng 24309. Tỡm số A.
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tớnh và 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC
 AM = BC
-----------------------
Đáp án đề 2 toán 7
Bài 1:(4 điểm):
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
 = 
 =
 =
 = 10( 3n -2n)
Vậy 10 với mọi n là số nguyờn dương.
Bài 2:(4 điểm)
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
Bài 3: (4 điểm)
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta cú: a : b : c = (1) 
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) = k 
Do đú (2) 
k = 180 và k =
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
 Khi đú ta cú số A = a + b + c = 237.
+ Với k =, ta được: a = ; b =; c =
Khi đú ta cú sú A =+( ) + () = . 
b) (1,5 điểm)
Từ suy ra 	
 khi đú 
 	= 	
Bài 4: (4 điểm)
a/ (1điểm) Xột và cú :
 AM = EM (gt )	
 = (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nờn : = (c.g.c )	0,5 điểm
 AC = EB	
Vỡ = = 
(2 gúc cú vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) 
Suy ra AC // BE . 	0,5 điểm	
b/ (1 điểm )
Xột và cú : 
AM = EM (gt )
= ( vỡ )
AI = EK (gt )
Nờn ( c.g.c ) 	
Suy ra = 	
Mà + = 180o ( tớnh chất hai gúc kề bự )	
 + = 180o 
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giỏc vuụng BHE ( = 90o ) cú = 50o 
 = 90o - = 90o - 50o =40o 	
 = - = 40o - 25o = 15o 	
 là gúc ngoài tại đỉnh M của 
 Nờn = + = 15o + 90o = 105o 
 ( định lý gúc ngoài của tam giỏc ) 	
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	
suy ra 	
Do đú 	
b) ABC cõn tại A, mà (gt) nờn 
ABC đều nờn 	
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra .
 Tia BM là phõn giỏc của gúc ABD 
nờn 	
Xột tam giỏc ABM và BAD cú:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) 
 suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC	
Đề số 3: 
đề thi học sinh giỏi 
Môn Toán Lớp 7
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết 
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn 
Câu 3. Cho 2 đa thức 
 P = x + 2mx + m và
 Q = x + (2m+1)x + m
 Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
 A = +5 
 B = 
Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC BE
Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA 
Chứng minh: MA BC
Đáp án đề 3 toán 7
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết 
0 
=>= 0; 1; 2; 3 ; 4
* = 0 => a = 0
* = 1 => a = 1 hoặc a = - 1
* = 2 => a = 2 hoặc a = - 2
* = 3 => a = 3 hoặc a = - 3
* = 4 => a = 4 hoặc a = - 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn 
Gọi mẫu phân số cần tìm là x
Ta có:
 => => -77 9x = -72 
=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là 
Câu 3. Cho 2 đa thức 
 P = x + 2mx + m và
 Q = x + (2m+1)x + m
 Tìm m biết P (1) = Q (-1)
P(1) = 12 + 2m.1 + m2
 = m2 + 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2
 = m2 – 2m 
Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
 => 
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14
=> y2 = 4.4 = 16 => x = 4
Do x,y cùng dấu nên:
x = 6; y = 14
x = -6; y = -14
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=> 
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:
=>1+ 3y = -12y
=> 1 = -15y
=> y = 
Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
 A = +5 
Ta có : 0. Dấu = xảy ra x= -1.
 A 5.
Dấu = xảy ra x= -1.
Vậy: Min A = 5 x= -1.
B = = = 1 + 
Ta có: x 0. Dấu = xảy ra x = 0
 x + 3 3 ( 2 vế dương )
 4 1+ 1+ 4
 B 5
Dấu = xảy ra x = 0
 Vậy : Max B = 5 x = 0. 
Câu 6: 
a/ 
Xét ADC và BAF ta có:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét AIE và TIC
I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)
=> D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt) 
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP MH
Xét AHC và EPA có:
CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA BC (đpcm)
Đề số 4: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 ( 2 điểm)
 Thực hiện phép tính :
a- 
b- 
Câu 2 ( 2 điểm)
Tìm số nguyên a để là số nguyên
Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0
Câu 3 ( 2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0
Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để được một số có ba chữ số giống nhau .
Câu 4 ( 3 điểm) 
Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1
Đáp án đề 4 
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
1Điểm
1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
1Điểm
2.a
Ta có : =
 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
Vậy với athì là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Từ : x-2xy+y=0 
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :
Hoặc 
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra ( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
Hay n(n+1) =2.3.37.a 
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37
Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó không thoả mãn 
Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn 
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,25
0,5
4
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH = CH = BC 
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H 
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả mãn 
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19 không thoả mãn 
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
Đề số 5: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (3đ):
1, Tớnh: P = 
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A = 
Tớnh giỏ trị của A biết là số nguyờn õm lớn nhất.
Bài 2 (1đ):
Tỡm x biết:
 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trờn một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường cũn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trờn đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. 
Hỏi vận tốc của con thỏ trờn đoạn đường nào lớn hơn ? Tớnh tỉ số vận tốc của con thỏ trờn hai đoạn đường ?
Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phớa ngoài ∆ABC cỏc ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC
2, 
Bài 5 (3đ):
Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuụng gúc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ∆ABC là ∆ gỡ ? Chứng minh điều đú.
2, Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. 
Chứng minh: AE = AB
Đề số 6: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4đ):
Cho cỏc đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 
B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 
1, Tớnh M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
2, Tớnh giỏ trị của M(x) khi x = 
3, Cú giỏ trị nào của x để M(x) = 0 khụng ?
Bài 2 (4đ):
1, Tỡm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tỡm x biết:
Bài 3 (4đ):
Tỡm giỏ trị nguyờn của m và n để biểu thức
1, P = cú giỏ trị lớn nhất
2, Q = cú giỏ trị nguyờn nhỏ nhất
Bài 4 (5đ):
Cho tam giỏc ABC cú AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuụng gúc với đường phõn giỏc trong của gúc A, cắt cỏc đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE.
2, Tớnh AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ):
Cho ∆ABC cõn tại A, . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho .
Tớnh gúc ADB ?
Đề số 7: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (3đ): Tớnh:
1, 
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 
Bài 2 (3đ):
1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tớnh b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta cú hệ thức:
Bài 3 (4đ): 
Độ dài ba cạnh của tam giỏc tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đú tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 4 (3đ):
Vẽ đồ thị hàm số: 
y = 
Bài 5 (3đ):
Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ):
Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 600. Tia phõn giỏc của gúc B cắt AC tại D, tia phõn giỏc của gúc C cắt AB tại E. Cỏc tia phõn giỏc đú cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IE
Đề số 8: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (5đ): 
1, Tỡm n N biết (33 : 9)3n = 729
 2, Tớnh :
 A = + 
Bài 2 (3đ):
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả món b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
Bài 3 (4đ):
 Ba đội cụng nhõn làm 3 cụng việc cú khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành cụng việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biờt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi cụng nhõn là bằng nhau. Hỏi mỗi đội cú bao nhiờu cụng nhõn ?
Cõu 4 (6đ):
 Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phớa ngoài ∆ABC cỏc ∆ đều ABD và ACE.
 1, Chứng minh: BE = DC.
 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tớnh số đo gúc BHC.
Bài 5 (2đ):
 Cho m, n N và p là số nguyờn tố thoả món: = .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
Đề số 9: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a, Cho 
Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
b) Số có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm)
 Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. 
Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3: 
a) Cho với a, b, c là các số hữu tỉ.
 	Chứng tỏ rằng: . Biết rằng 
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị lớn nhất.
Câu 4: (3 điểm)
Cho DABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900. F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB.
a) Chứng minh rằng: DABF = DACE
b) FB ^ EC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm chữ số tận cùng của 
Đề số 10: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính 
b) Cho 
Chứng minh rằng .
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu thì 
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b) Tìm x biết: 
Câu 3: (2điểm)
a) Cho đa thức với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên.
Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Câu 4: (3 điểm) 
Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5: (1 điểm) 
Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất.
Đề số 11: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:
A = 
B = 
b) Tìm các giá trị của x để: 
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: không là số nguyên.
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: .
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12.
b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. 
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4: (3 điểm) 
 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. 
Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: 
Đề số 12: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có:
A= 
b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho 
b) Biết 
Chứng minh rằng: 
Bài 3: (2 điểm)
An và Bách có một số bưu ảnh, số bưu ảnh của mỗi người chưa đến 100. Số bưu ảnh hoa của An bằng số bưu ảnh thú rừng của Bách. 
+ Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bưu ảnh thú rừng của tôi thì số bưu ảnh của bạn gấp 7 lần số bưu ảnh của tôi.
+ An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bưu ảnh hoa của tôi thì số bưu ảnh của tôi gấp bốn lần số bưu ảnh của bạn. 
Tính số bưu ảnh của mỗi người.
Bài 4: (3 điểm)
Cho DABC có góc A bằng 1200 . Các đường phân giác AD, BE, CF .
a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của DADB.
b) Tính số đo góc EDF và góc BED.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
Đề số 13: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm)
Tính: 
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: chia hết cho 77.
b) Tìm các số nguyên x để đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng: P(x) có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
 và 
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: chia hết cho 7.
Bài 4: (2 điểm)
 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: (a, b ẻ Z )
Đề số 14: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm) 
a) Tìm số nguyên dương a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a.
b) Tính 
Bài 2: (2 điểm)
Cho 
chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.
Bài 3: (2 điểm) 
 Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến C. Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. 
Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng.
Bài 4: (3 điểm)
 Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH ^ BC (H ẻ BC). Vẽ AE ^ AB và AE = AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N ẻ AH). EF cắt AH ở O. 
Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Bài 5: (1 điểm)
So sánh: và 
Đề số 15: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
Tính : ; 	
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
b) Tìm x, y, z biết: (x, y, z )
Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có:
 	 chia hết cho 10.
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP. Chứng minh:
a) AC // BP.
b) AK ^ MN.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền. Chứng minh rằng:
 ; n là số tự nhiên lớn hơn 0.
Đề số 16: 
đề thi học sinh giỏi 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) 
Tính:
Câu 2: ( 2, 5 điểm) 
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b) 
2) Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết:
 	; và 
b) Cho . Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên. 
Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Câu 4: (2,5 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
 a) Chứng minh: EM + HC = NH.
 b) Chứng minh: EN // FM.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh là hợp số.
Đề số 17: