Tổng hợp kiến thức Toán 9

tổng hợp kiến thức toán 9
	1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.
 có nghĩa khi A ³ 0
	2. Các công thức biến đổi căn thức.
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
i. 
k. 
m. 
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
	Xét đường thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d')
	(d) và (d') cắt nhau ô a ạ a'
	(d) // (d') ô a = a' và b ạ b'
	(d) º (d') ô a = a' và b = b'
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong.
	Xét đường thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P)
	(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm: 2 nghiệm phân biệt
	(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm: 1 có nghiệm kép
	(d) và (P) không có điểm chung: vô nghiệm
5. Phương trình bậc hai.
	Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0)
Công thức nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn
D = b2 - 4ac
Nếu D > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
	 ; 
Nếu D = 0 : Phương trình có nghiệm kép : 
Nếu D < 0 : Phương trình vô nghiệm
D' = b'2 - ac với b = 2b'
- Nếu D' > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
	 ; 
- Nếu D' = 0 : Phương trình có nghiệm kép: 
 - Nếu D' < 0 : Phương trình vô nghiệm
6. Hệ thức Viet và ứng dụng.
- Hệ thức Viet:
Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (aạ0) thì: 
- Một số ứng dụng:
	+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x2 - Sx + P = 0
(Điều kiện S2 - 4P ³ 0)
	+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (aạ0)
	Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = 
	Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = 
7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
	Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình ( đk)
	Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình
	Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận
8. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
	 F Điều kiện có hai nghiệm phân biệt hoặc
9. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm.
	F Điều kiện có một nghiệm: hoặchoặc 
10. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép.
	F Điều kiện có nghiệm kép: hoặc 
11. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
	F Điều kiện có một nghiệm: hoặc 
12. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm cùng dấu.
	F Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:	 hoặc 
13. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương.
	F Điều kiện có hai nghiệm dương: hoặc 
14. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có 2 nghiệm âm.
	F Điều kiện có hai nghiệm âm: hoặc 
15. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
	F Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0 
16. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm x = x1.
	F Cách giải:
	- Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = 0 đ m
	- Thay giá trị của m vào (*) đ x1, x2
	- Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 = 
17. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn các điều kiện:
a. 	b. 	c. 	d. 	e. 
	 F Điều kiện chung: D ³ 0 hoặc D' ³ 0 (*)
	Theo định lí Viet ta có: 
 	a. Trường hợp: 
x1, x2
	Giải hệ 	
	Thay x1, x2 vào (2) đ m
	Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
	b. Trường hợp: 
	Thay x1 + x2 = S = và x1.x2 = P = vào ta có: 
	S2 - 2P = k đ Tìm được giá trị của m thoả mãn (*)
	c. Trường hợp: 
	Giải phương trình - b = nc tìm được m thoả mãn (*)
	d. Trường hợp: 
	Giải bất phương trình S2 - 2P - h ³ 0 chọn m thoả mãn (*)
	e. Trường hợp: 
	Giải phương trình chọn m thoả mãn (*)
18. Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0
	F Đặt t = x2 (t³0) ta có phương trình at2 + bt + c = 0
	Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x
Bảng tóm tắt
at2 + bt + c = 0
ax4 + bx2 + c = 0
vô nghiệm
vô nghiệm
2 nghiệm âm
vô nghiệm
nghiệm kép âm
vô nghiệm
1 nghiệm dương
2 nghiệm đối nhau
2 nghiệm dương
4 nghiệm 
2 cặp nghiệm đối nhau
 19. Giải phương trình 
	F Đặt = t ô x2 - tx + 1 = 0
	Suy ra t2 = ()2 = ô
20. Giải phương trình 
	F Đặt = t ô x2 - tx - 1 = 0
	Suy ra t2 = ()2 = ô
21. Giải hệ phương trình 
	F Các phương pháp giải:
	+ Phương pháp cộng
	+ Phương pháp thế
	+ Phương pháp đặt ẩn phụ
	22. Giải phương trình dạng (1)
	F Ta có 
	Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp đ nghiệm của (1)
	23. Giải phương trình dạng 
	F Điều kiện có nghĩa của phương trình 
	Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x.
	24. Giải phương trình dạng 
	F Phương pháp 1: ô 
	F Phương pháp 2: 	Xét f(x) ³ 0 đ f(x) = g(x) 
	Xét f(x) < 0 đ - f(x) = g(x)
	F Phương pháp 3:	Với g(x) ³ 0 ta có f(x) = ± g(x)
25. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
	F Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
	- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
	y = M - [g(x)]2n , n ẻZ đ y Ê M
	Do đó ymax = M khi g(x) = 0
	- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
	y = m + [h(x)]2k kẻZ đ y ³ m
	Do đó ymin = m khi h(x) = 0
	F Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.
	F Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức. 
26. Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số 
	y = f(x) và y = g(x)
	Hãy khảo sát sự tương giao của hai đồ thị
	F Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phương trình hoành độ điểm chung:
f(x) = g(x) (*)
	- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung.
	- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau.
	- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung.
	- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung.
27. Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA) và có hệ số góc bằng k.
	F Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b (*)
	- Xác định a: ta có a = k
	- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b đ b = yA - kxA
	- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình của (D)
28. Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) 
	 F Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b 
	 (D) đi qua A và B nên ta có: 
	Giải hệ ta tìm được a và b suy ra phương trình của (D)
29. Lập phương trình của đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x) 
	 F Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b 
	 Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
	f(x) = kx + b (*)
	Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm được b và suy ra phương trình của (D)
30. Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA) k và tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x) 
	 F Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b 
	 Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
	f(x) = kx + b (*)
	Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. 
	Từ điều kiện này ta tìm được hệ thức liên hệ giữa a và b (**)
	Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA = axA + b (***)
	Từ (**) và (***) đ a và b đ Phương trình đường thẳng (D).
Phần II:
hình học
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
b2 = ab' 	c2 = ac'	h2 = b'c'	ah = bc 	
a2 = b2 + c2	
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. 
	0 < sina < 1 0 < cossa < 1
	 sin2a + cos2a = 1
	tga.cotga = 1 
3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
b = asinB = acosC	b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB	c = btgC = bcotg B
4. Đường tròn.
- Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
+ Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
- Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
5. Tiếp tuyến của đường tròn
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính 
+ Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
 MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
	+ MA = MB
	+ MO là phân giác của góc AMB
	+ OM là phân giác của góc AOB
 F Chú ý: Trong một đường tròn
	- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
	- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
	- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
	- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
	- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn.
	- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
6. Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn.
	- Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2pR = pd
	- Độ dài cung tròn n0 bán kính R : 
7. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
	- Diện tích hình tròn: S = pR2
	- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0: 
8. Các loại đường tròn
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp
tam giác
Tâm đường tròn là giao của ba đường trung trực của tam giác
Tâm đường tròn là giao của ba đường phân giác trong của tam giác
9. Các loại hình không gian.
a. Hình trụ.
	- Diện tích xung quanh: Sxq = 2prh
	- Diện tích toàn phần: Stp = 2prh + pr2
	- Thể tích hình trụ: V = Sh = pr2h
	b. Hình nón:
	- Diện tích xung quanh: Sxq = 2prl
	- Diện tích toàn phần: Stp = 2prl + pr2
	- Thể tích hình trụ: V = 
c. Hình nón cụt:
	- Diện tích xung quanh: Sxq = p(r1 + r2)l
	- Thể tích: V = 
	d. Hình cầu.
	- Diện tích mặt cầu: S = 4pR2 = pd
	- Thể tích hình cầu: V = 
10. Tứ giác nội tiếp:
 F Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
	- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
	- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
	- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
	- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a.
11. Chứng minh MT là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
 F Cách chứng minh: 
	- Chứng minh OT ^ MT tại T ẻ (O;R)
	- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng MT bằng bán kính
	- Dùng góc nội tiếp.
12. Các bài toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc
 F Cách tính:
	- Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.
	- Dựa vào tỷ số lượng giác
	- Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
	- Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích...