Tổng hợp hai dao động điều hòa - Trương Hồng Minh

Chương I: Dao động cơ – Tổng hợp dao động điều hòa 
Trương Hồng Minh – Phone: 0942831777 Trang 1 
TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 
I. Lý thuyết về tổng hợp dao động điều hòa 
 1.Tổng hợp hai dao động: 
x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2) được một dao động x = Acos(ωt + φ). 
 Trong đó 
 










)(;
coscos
sinsin
tan
cos2cos2
21
2211
2211
2
2
2
1
2
2
2
112
2
2
2
1
2
2
2
1
2





AA
AA
AAAAAAAAA
 Chú ý: |A1 - A2|  A  A1+ A2 
 2. Khi biết một dao động thành phần x1 = A1cos(ωt + φ1) và dao động tổng hợp x = Acos(ωt + φ) thì dao 
động thành phần còn lại là x2 = A2cos(ωt + φ2). 
 Trong đó: 
 










)(;
coscos
sinsin
tan
cos2
21
11
11
2
1
2
1
22
1
22
2





AA
AA
AAAAA
 3. Khi hai dao động thành phần lệch pha nhau góc φ > 

2
 thì ta có bài toán tìm A1 để A2 max hoặc ngược 
lại. 
 + Khi A1 thay đổi để A2 max thì AA

1  

















22
max21
22
1max2
2
tan.
sin
AAAA
AA
A
A



 + Khi A2 thay đổi để A1 max thì AA

2  

















22
max12
22
2max1
2
tan.
sin
AAAA
AA
A
A



II. Vận dụng máy tính cầm tay để giải toán tổng hợp dao động điều hòa 
1. Đưa dao động điều hòa về dạng số phức 
Cách nhập: Máy tính CASIO fx – 570ES 
Ví dụ: cho: x= 8cos(t+ /3) sẽ được biểu diễn với số phức 8 600 hay 8/3 ta làm như sau: 
 - Chọn mode: Bấm máy: MODE 2 màn hình xuất hiện chữ CMPLX 
 -Chọn đơn vị đo góc là độ (D) ta bấm: SHIFT MODE 3 trên màn hình hiển thị chữ D 
 -Nhập máy: 8 SHIFT (-) 60 sẽ hiển thị là: 8 60 
 -Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) ta bấm: SHIFT MODE 4 trên màn hình hiển thị chữ R 
-Nhập máy: 8 SHIFT (-) (:3 sẽ hiển thị là: 8
1
π
3
Chương I: Dao động cơ – Tổng hợp dao động điều hòa 
Trương Hồng Minh – Phone: 0942831777 Trang 2 
Kinh nghiệm: Nhập với đơn vị độ nhanh hơn đơn vị rad nhưng kết quả sau cùng cần phải chuyển sang 
đơn vị rad cho những bài toán theo đơn vị rad. 
2. Lưu ý: Khi thực hiện phép tính kết quả được hiển thị dạng đại số: a +bi (hoặc dạng cực: A  ). 
 - Chuyển từ dạng : a + bi sang dạng: A  , bấm SHIFT 2 3 = 
 Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (:3 ->Nếu hiển thị: 4+ 4 3 i .Ta bấm phím SHIFT 2 3 = kết quả: 8
1
π
3
 - Chuyển từ dạng A  sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 = 
 Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (:3 -> Nếu hiển thị: 8
1
π
3
, ta bấm phím SHIFT 2 4 = kết quả: 4+4 3 i 
3. Tìm dao động tổng hợp xác định A và  bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng: 
a.Với máy FX570ES: Bấm chọn MODE 2 trên màn hình xuất hiện chữ: CMPLX. 
 - Chọn đơn vị đo góc là độ (D) ta bấm: SHIFT MODE 3 trên màn hình hiển thị chữ D 
 (hoặc Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) ta bấm: SHIFT MODE 4 trên màn hình hiển thị chữ R ) 
 - Nhập A1 ,bấm SHIFT (-) , nhập φ1, bấm +, Nhập A2, bấm SHIFT (-) ,nhập φ2 nhấn = hiển thị kết 
quả. 
 (Nếu hiển thị số phức dạng: a+bi thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả: A) 
b.Với máy FX570MS : Bấm chọn MODE 2 trên màn hình xuất hiện chữ: CMPLX. 
Nhập A1, bấm SHIFT (-) nhập φ1 , bấm + , Nhập A2 , bấm SHIFT (-) nhập φ2 nhấn = 
 Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A. SHIFT = hiển thị kết quả là: φ 
c.Lưu ý Chế độ hiển thị màn hình kết quả: 
Sau khi nhập ta ấn dấu = có thể hiển thị kết quả dưới dạng số vô tỉ, muốn kết quả dưới dạng thập phân 
ta ấn SHIFT = (hoặc dùng phím SD ) để chuyển đổi kết quả Hiển thị. 
Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình: 
x1 = 5cos( t + /3) (cm); x2 = 5cos t (cm). Dao động tổng hợp của vật có phương trình 
 A. x = 5 3 cos( t - /4 ) (cm) B.x = 5 3 cos( t +  /6) (cm) 
 C. x = 5cos( t +  /4) (cm) D. x = 5cos( t -  /3) (cm) 
Phương pháp đại số: 
Biên độ: 2 21 2 1 2 2 12. .cos( )   A A A A A   
 Thế số: 
 A= 2 25 5 2.5.5.cos( / 3) 5 3   (cm) 
Pha ban đầu : tan  = 
tan  = 
5.sin( / 3) 5.sin 0 5. 3 / 2 3
15cos( / 3) 5.cos0 3
5. 1
2

 




=>  = /6. Vậy :x = 5 3 cos( t +  /6) (cm) 
Dùng máy tính cầm tay để giải nhanh: 
-Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2 
- Đơn vị đo góc là độ (D)bấm: SHIFT MODE 3 
Nhập: 5 SHIFT (-) (60) + 5 SHIFT (-)  0 
SHIFT 2 3 = 
Hiển thị kết quả: 5 3 30 
Vậy: x = 5 3 cos( t +  /6) cm 
 Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX. 
- Đơn vị đo góc là độ (R)bấm: SHIFT MODE 4 
 Nhập :5 SHIFT (-)  (/3) + 5 SHIFT (-)  0 
SHIFT 2 3 = 
Hiển thị: 5 3 
1
π
6
Vậy :x = 5 3 cos( t +  /6) cm 
2211
2211
coscos
sinsin


AA
AA


Chương I: Dao động cơ – Tổng hợp dao động điều hòa 
Trương Hồng Minh – Phone: 0942831777 Trang 3 
Ví dụ 2: 
Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: 
x1 = 3cos(ωt + /2) cm, x2 = cos(ωt + ) cm. Phương trình dao động tổng hợp: 
A. x = 2cos(ωt - /3) cm B. x = 2cos(ωt + 2/3)cm 
C. x = 2cos(ωt + 5/6) cm D. x = 2cos(ωt - /6) cm 
Với máy FX570ES: Bấm chọn MODE 2 trên màn 
hình xuất hiện chữ: CMPLX 
Chọn chế độ máy tính theo độ: SHIFT MODE 3 
Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy: 3  SHIFT 
(-). (90) + 1 SHIFT (-).  180 SHIFT 2 3 = 
Hiển thị: 2120 
Với máy FX570ES: Bấm chọn MODE 2 trên màn 
hình xuất hiện chữ: CMPLX 
Chọn chế độ máy tính theo (R): SHIFT MODE 4 
Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy: 3  SHIFT 
(-). (/2) + 1 SHIFT (-).   SHIFT 2 3 = 
Hiển thị:22/3 
Ví dụ 3: Hai dao động có cùng phương, cùng tần số f = 50 Hz, có biên độ A1 = 20 cm, A2 = 10 cm. Các pha 
ban đầu φ1 = π/3 rad; φ2 = π rad. 
 a. Viết phương trình của hai dao động đó. 
 b. Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp. 
Ví dụ 4: Cho hai dao động có phương trình x1 = 3cos(πt + π/3) cm và x2 = 5cos(πt + φ2) cm. Hãy xác định 
phương trình và vẽ giản đồ véc tơ của dao động tổng hợp trong các trường hợp sau: 
 a. Hai dao động cùng pha. 
 b. Hai dao động ngược pha. 
 c. Dao động 2 sớm pha dao động thứ nhất một góc π/2. 
Ví dụ 5: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1= 3
cos(ωt -/2) cm; x2 = cosωt cm. Viết phương trình của dao động tổng hợp? 
 Ví dụ 6: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình: 
x1 = 5cos(πt + π/3) cm; x2 = 5cos(πt) cm. Viết phương trình của dao động tổng hợp? 
 Đáp số: x = 5 3cos(πt + /6) cm. 
Ví dụ 7: Cho hai dao động cùng phương, cùng tần số, có các phương trình dao động là x1 = 3cos(ωt) cm và 
x2=4cos(ωt + 5π/6) cm. Tìm biên độ của dao động tổng hợp trên? 
Ví dụ 8: Hai dao động cơ điều hoà, cùng phương, cùng tần số góc ω = 50 rad/s, có biên độ lần lượt là 6 cm và 8 
cm, dao động thứ hai trễ pha hơn dao động thứ nhất là π/2. Xác định biên độ của dao động tổng hợp. Từ đó suy 
ra vận tốc cực đại của dao động tổng hợp. 
Ví dụ 9: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương. Hai phương trình dao động thành 
phần là x1 = 9cos(10πt + π/2) cm và x2 = 9cos(10πt + φ2) cm. Tìm φ2 và lập phương trình dao động tổng hợp 
trong các trường hợp sau 
 a. Dao động 1 sớm pha 2π/3 so với dao động 2. 
 b. Dao động 1 sớm pha π/2 so với dao động 2. 
 c. Hai dao động ngược pha 
Ví dụ 10: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số 10 Hz và có biên độ lần 
lượt là 7 cm và 8 cm. Biết hiệu số pha dao động thành phần là π/6 rad. Tính vận tốc của vật khi vật có li độ 12 
cm. 
Ví dụ 11: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ 
x=- 5sin(πt - 5/6) cm. Biết dao động hợp thành thứ hai có phương trình li độ x2 = 3cos(πt - /3) cm. Dao động 
hợp thành thứ nhất có phương trình li độ như thế nào? 
Đáp số: x1 = 2cos(πt + 2/3) cm 
Ví dụ 12: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình li độ 
x =3cos(5πt- 5π/6) cm. Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x1 = 5cos(5πt + π/6) cm. Dao động thứ hai 
Chương I: Dao động cơ – Tổng hợp dao động điều hòa 
Trương Hồng Minh – Phone: 0942831777 Trang 4 
có phương trình li độ như thế nào? 
Ví dụ 13: Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần 
lượt là x1 = 2cos(100πt - π/3) cm; x2 = sin(100πt + π/6) cm. 
 a. Viết phương trình của dao động tổng hợp. 
 b. Vật có khối lượng là m = 100 (g), tính năng lượng dao động của vật. 
 c. Tính tốc độ của vật tại thời điểm t = 2 (s). 
Ví dụ 14: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt 
là x1 = A1cos(20t + π/6) cm; x2 = A2cos(20t + 5π/6) cm. Biết tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động là 
vmax = 140 cm/s. Biết A2 = 7 cm. Tính biên độ dao động A1 của vật. 
Ví dụ 15: Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có biên độ và pha ban đầu lần lượt 
là A1, A2, φ1 = π/3, φ2 = - π/2 rad, dao động tổng hợp có biên độ là 18 cm. 
 a. Khi A2 có giá cực đại thì A1 có giá trị là bao nhiêu? 
 b. Khi A1 có giá cực đại thì A2 có giá trị là bao nhiêu? 
Ví dụ 16: Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số với các phương trình 
x1=A1cos(ωt+2π/3) và x2 = A2cos(ωt - /6). Phương trình của dao động tổng hợp là x = 12cos(ωt + φ). Khi A2 
có giá trị cực đại thì 
 a. pha ban đầu của dao động tổng hợp có giá trị là 
 b. A1 và A2 có giá trị là bao nhiêu? 
Ví dụ 17: Hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số f =10 Hz, có biên độ lần lượt là 100mm và 173mm, 
dao động thứ hai trể pha 
2

 so với dao động thứ nhất. Biết pha ban đầu của dao động thứ nhất bằng 
4

. Viết 
các phương trình dao động thành phần và phương trình dao động tổng hợp. 
Ví dụ 18: Một vật tham gia đồng thời hai dao động: x 1 =3cos(5t + 
3

) cm và x 2 =3 3 cos(5t + 
6

) cm. Tìm 
phương trình dao động tổng hợp. 
Ví dụ 19: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các 
phương trình là: 1x 4cos(10t )
4

  cm và x2 = 3cos(10t +
4
3
) cm. Xác định vận tốc cực đại và gia tốc cực 
đại của vật. 
Ví dụ 20: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x=5 3 cos(6t + 
2

) cm. 
Dao động thứ nhất có biểu thức là x1=5cos(6t + 
3

) cm. Tìm biểu thức của dao động thứ hai. 
Ví dụ 21: Một vật có khối lượng 200g thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số với 
các phương trình: x1 = 4cos(10t + 
3

) cm và x2 A2cos(10t + ). Biết cơ năng của vật là W = 0,036 J. Hãy xác 
định A2. 
Ví dụ 22: Vật khối lượng 400g tham gia đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương với các phương trình 
x1=3sin(5t+
2

) cm; x2 = 6cos(5t +
6

) cm. Xác định cơ năng, vận tốc cực đại của vật.