Tổng hợp Giải tích 11

Mục lục
I Hàm số 3
1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Giới hạn vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Một số định lý mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Liên tục điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Liên tục một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Liên tục trên một khoảng, đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Giá trị tức thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Đạo hàm tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Đạo hàmmột phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Đạo hàm trên một khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Ý nghĩa của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7 Các phương pháp tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.8 Các bài toán về tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.9 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh các hằng đẳng thức . 39
3.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Vi phân của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1 Khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1
L
ê
L
a
n
C
h
i
MỤC LỤC MỤC LỤC
4.2 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng . . . . . . . 41
2
L
ê
L
a
n
C
h
i
Hàm số
1 Giới hạn hàm số
1.1 Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1. Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a,b) có giới hạn hữu hạn
khi x tiến dần tới x0 (hay tại x0). Nếu mọi dãy (xn) thuộc khoảng (a,b) mà
limxn = x0 ta đều có lim f (xn)= L ∈R. Khi đó ta viết
lim
x→x0
f (x)= L
Định nghĩa 2. Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a,+∞) có giới hạn hữu khi
x tiến dần đến +∞ (hay tại +∞). Nếu mọi dãy (xn) thuộc khoảng (a,+∞) mà
limxn =+∞ ta đều có lim f (xn)= L ∈R. Khi đó ta viết
lim
x→+∞ f (x)= L
Định nghĩa 3. Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a,+∞) có giới hạn hữu khi
x tiến dần đến −∞ (hay tại −∞). Nếu mọi dãy (xn) thuộc khoảng (a,−∞) mà
limxn =−∞ ta đều có lim f (xn)= L ∈R. Khi đó ta viết
lim
x→−∞ f (x)= L
Chú ý 1.
• Ta nói hàm có giới hạn thì hiểu là hàm có giới hạn hữu hạn
• Hàm không có giới hạn thì hàm đó có thể có giới hạn vô cùng (ta sẽ nhắc tới
nó ở phần sau) hoặc giới hạn không xác định.
Ví dụ: lim
x→0
1
x2
=+∞,
lim
x→0
(
sin
1
x2
)
=KXĐ. Vì hàm lấy giới hạn có giá trị tuần hoàn
3
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
1.2 Giới hạnmột phía
Định nghĩa 4. Cho hàm f (x) xác định trong khoảng (a,x0). Nếu mọi dãy (xn)
thuộc khoảng (a,x0)mà limxn = x0 kéo theo lim f (xn) = L ∈ R thì ta nói hàm số
có giới hạn trái là L khi x tiến dần đến x0 (hay tại x0). Kí hiệu là
lim
x→x−0
f (x)= L.
Định nghĩa 5. Cho hàm f (x) xác định trong khoảng (x0,b). Nếu mọi dãy (xn)
thuộc khoảng (x0,b)mà limxn = x0 kéo theo lim f (xn) = L ∈ R thì ta nói hàm số
có giới hạn phải là L khi x tiến dần đến x0 (hay tại x0). Kí hiệu là
lim
x→x+0
f (x)= L.
Từ hai định nghĩa 4 và 5 ta có định lý sau
Định lí 1. Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a,b) có giới hạn tại x0 ∈ (a,b)
nếu và chỉ nếu f (x) có giới hạn trái và phải tại x0 và hai giới hạn đó phải bằng
nhau. Tức là
lim
x→x0
f (x)= L⇔ lim
x→x−0
f (x)= lim
x→x0+
f (x)= L
Chú ý 2.
• Hàm f (x) xác định trong khoảng (a,b), điểm x0 ∈ (a,b) gọi là điểmchia khoảng
của hàm f (x) nếu đi từ trái qua phải điểm x0 thì hàm f (x) biểu diễn theo các
công thức khac nhau.
Ví dụ: f (x)= |x| =
 x nếu x ≥ 0−x nếu x < 0
thì điểm chia khoảng của hàm f (x) là x = 0
• Khi xét giới hạn của f (x) tại những điểm chia khoảng hoặc tại những điểm
hàm không xác định (trừ ra một số giới hạn vô đinh dạng
0
0
), ta phải xét các
giới hạn một phía
thì giới hạn của hàm f (x) tại x0 ∈TXĐ được tính bằng lim
x→x0
f (x)= f (x0)
1.3 Hàm số sơ cấp
Định nghĩa 6. Cho các hàm số
Hàm lũy thừa xa
Hàmmũ ax (a > 0)
Hàm logarit loga b (b > 0,0< a 6= 1)
Hàm lượng giác sinx,cosx, tanx,cotx....
Hàm lượn giác ngược arcsinx,arccosx,arctanx, ...
4
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
Các hàm số đã nêu ở bảng gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản.
Định nghĩa 7. Nếu f (x) là hàm hình thành từ các hàm số sơ cấp cơ bản nhờ
một phép hữu hạn tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp thì gọi là các hàm số sơ
cấp.
Định lí 2. Cho f (x) là hàm số sơ cấp thì f (x) có giới hạn tại mọi điểm x0 ∈TXĐ.
Và giới hạn đó chính bằng f (x0)
1.4 Giới hạn vô cùng
Định nghĩa 8. Hàmsố f (x) xác định trên (a,b). Nếu vớimọi dãy (xn) trong (a,b)
mà limxn = x0 kéo theo lim f (xn)=±∞ thì ta nói hàm f (x) có giới hạn vô cùng
tại x0. Ta kí hiệu
lim
x→x0
f (x)=±∞
Định nghĩa 9. Hàm số f (x) xác định trên (a,+∞). Nếu với mọi dãy (xn) trong
(a,+∞)mà limxn =+∞ kéo theo lim f (xn)=±∞ thì ta nói hàm f (x) có giới hạn
vô cùng tại +∞. Ta kí hiệu
lim
x→+∞ f (x)=±∞
Định nghĩa 10. Hàm số f (x) xác định trên (−∞,b). Nếu với mọi dãy (xn) trong
(−∞,b)mà limxn =−∞ kéo theo lim f (xn)=±∞ thì ta nói hàm f (x) có giới hạn
vô cùng tại −∞. Ta kí hiệu
lim
x→−∞ f (x)=±∞
1.5 Các tính chất
Tính chất 1. Nếu lim
x→x0
f (x)=A, lim
x→x0
g (x)=B;A,B ∈R,x0 ∈R∨x0 =±∞ thì ta có
• lim
x→x0
( f (x)± g (x))= lim
x→x0
f (x)± lim
x→x0
g (x)
• lim
x→x0
(
f (x)·g (x))= lim
x→x0
f (x)· lim
x→x0
g (x)
• lim
x→x0
f (x)
g (x)
=
lim
x→x0
f (x)
lim
x→x0
g (x)
(B 6= 0)
• lim
x→x0
n
√
f (x)= npA với điều kiện
n chẵn,A> 0,n lẻ,Atùy ý
• lim
x→x0
| f (x)| = | lim
x→x0
f (x)|
• lim
x→x0
A=A
5
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
Tính chất 2 (Bảng giới hạn cơ bản).
lim
x→x0
f (x) lim
x→x0
g (x) lim
x→x0
f (x)g (x)
L> 0 +∞ +∞
L> 0 −∞ −∞
L< 0 +∞ −∞
L< 0 −∞ +∞
lim
x→x0
f (x) lim
x→x0
g (x) lim
x→x0
f (x)
g (x)
L 6= 0 ∞ 0
L> 0 0, g (x)> 0 +∞
L> 0 0, g (x)< 0 −∞
L 0 −∞
L< 0 0, g (x)< 0 +∞
1.6 Một số định lýmở rộng
Định lí 3 (Chuyển qua bất đẳng thức). Giả sử (a,b) là một khoảng chứa x0 và
f (x),g (x) là các hàm số xác định trên (a;b)\{x0}. Nếu các giới hạn của f (x),g (x)
tại x0 tồn tại và f (x)> g (x) thì
lim
x→xo
f (x)≥ lim
x→xo
g (x)
Định lí 4 (Giới hạn kẹp). Giả sử (a,b) là một khoảng chứa x0 và f (x),g (x),h(x)
là các hàm số xác định trên (a;b)\{x0}. Nếu các giới hạn của g (x),h(x) tại x0 tồn
tại và bằng L, đồng thời g (x)< f (x)< h(x) thì
lim
x→x0
f (x)= L
1.7 Các dạng toán
Việc tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa và các giới hạn cơ bản ta sẽ bỏ qua
mà chỉ tập trung vào viêc xét giới hạn hàm số (Sử dụng định lý 1), khử các dạng
giới hạn vô định ( dạng ∞∞ ,
0
0 ,∞−∞, 0 ·∞) và tính một số giới hạn đặc biệt (sử
dụng định lý 2 và 3)
1.7.1 Xét giới hạn hàm số
Ví dụ 1. Xét giới hạn của các hàm số sau
a) f (x)=
x2+1 vớix ≥ 01−x vớix < 0 tại x = 0
b) f (x)=
x5−1 vớix <−13x2−5 vớix ≥−1 tại x =−1
Giải
a) Dễ thấy x = 0 là điểm chia khoảng của f (x) bởi từ trái qua phải điểm x = 0
hàm số mang 2 công thức khác nhau. Ta xét giới hạn 2 phía của hàm f (x)
tại điểm x = 0
6
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ

lim
x→0− f (x)= limx→0−(1−x)= 1
lim
x→0+
f (x)= lim
x→0−(x
2+1)= 1 ⇒ limx→0− f (x)= limx→0+ f (x)
⇒Hàm có giới hạn tại x = 0
b) Điểm x =−1 là điểm chia khoảng của f (x). Ta xét giới hạn 2 phía tại x =−1
lim
x→−1− f (x)= limx→−1−(x
5−1)=−2
lim
x→−1+
f (x)= lim
x→−1+
(3x2−5)=−2 ⇒ limx→−1− f (x)= limx→−1+ f (x)
⇒Hàm có giới hạn tại x =−1
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x)=
x−m ,x < 2x2+m2−4m ,x ≥ 2
Tìmm để hàm số có giới hạn tại x = 2
Giải
Hàm số có giới hạn tại x = 2 khi và chỉ khi giới hạn 2 phía của hàm khi x→ 2
bằng nhau.
⇔ lim
x→21− f (x)= limx→2− f (x)
⇔ lim
x→2−(x−m)= limx→2+(x
2+m2−4m)
⇔ 2−m =m2−4m+4⇔
m = 1
m = 2
Vậym ∈ {1;2} thì hàm số có giới hạn tại x = 2
1.7.2 Khử dạng vô định
∞
∞
Phương pháp: Xét I = lim
x→x0
P (x)
Q(x)
với P (x),Q(x) thường là các đa thức hoăc các
hàm đai số. Gọi bậc của P (x) bằng p, bậc củaQ(x) bằng q vàm =min(p,q). Khi
đó ta sẽ chia cả tử và mẫu cho xm.
• Nếu p ≤ q thì tồn tại giới hạn.
• Nếu p > q thì có giới hạn vô cùng
Chú ý 3 (Cách xác định bậc của hàm chứa căn). : Cho hàm F (x) = npP (x) và
P (x) là một đa thức thì bậcF (x)= bậcP (x)
n
.
Bây giờ, ta sẽ đi vào một số ví dụ để hiểu rõ hơn
Ví dụ 3. I1 = lim
x→+∞
2x3−3x2+4x+1
x4−5x3+2x2−x+5
7
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
Thấy degP (x) = 3,degQ(x) = 4⇒ dự đoán rằng I1 = A ∈ R. Ta chia cả tử và mẫu
cho x3 được
I1 = lim
x→+∞
2− 3
x
+ 4
x2
− 1
x3
x−5+ 2
x
− 1
x2
+ 5
x3
= 0
Ví dụ 4.
a) I2 = lim
x→+∞
5x+3p1−x
1−x b) I3 = limx→−∞
5x+3p1−x
1−x
Giải
a) I3 = lim
x→+∞
5+ 3
x
p
1−x
1
x
−1
= lim
x→+∞
5+
√
1
x2
− 1
x
1
x
−1
=−5
b) I3 = lim
x→−∞
5+ 3
x
p
1−x
1
x
−1
= lim
x→−∞
5−
√
1
x2
− 1
x
1
x
−1
=−5
Nhận xét: Ta thấy hai giới hạn có dạng gàn giống nhau và cách giải cũng như
nhau. Nhưng để ý kĩ sẽ có sự khác biệt ở khâu biến đổi. Tại bước cho x vào
trong căn: ở giới hạn I2 thì x dương còn ở giới hạn I3 thì x âm. Từ nhận xét ta
có chú ý sau.
Chú ý 4. Khi đưamột biểu thức vào trong căn bậc hai hay căn bậc chẵn ta phải
để ý đến dấu của biểu thức đó. Cụ thể là
A
2np
B =

p
A2nB nếu A > 0
−
p
A2nB nếu A < 0
1.7.3 Khử dạng vô định
0
0
Phương pháp: Ta cố gắng khử đi thành phần làm cho mẫu bằng 0 thông qua
một số phép biến đổi sau:
• Phân tích thành nhân tử
8
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
• Đưa về hằng đẳng thức (sử dụng nhân liên hợp):
a2−b2 = (a−b)(a+b)
a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
. .............................................
an−bn = (a−b)(an−1+an−2b+·· ·+abn−2+bn−1)
an+bn = (a+b)(an−1−an−2b+·· ·++abn−2−bn−1),n lẻ
• Sử dụng phép thêm bớt để đưa về một số dạng quen thuộc (sẽ được nhắc
đến trong phần ví dụ)
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau
a) I1 = lim
x→3
x3−4x2+4x−3
x2−3x b) I2 = limx→ 12
8x3−1
6x2−5x+1
Giải
a) Thấy tử và mẫu đều có nghiệm là x−3 nên ta biến đổi thành
I1 = lim
x→3
(x−3)(x2−x+1)
(x−3)x =
x2−x+1
x
= 7
3
b) Thấy tử và mẫu đều có nghiệm là x− 1
2
nên ta biến đổi thành
I2 = lim
x→ 12
(2x−1)(4x2+2x+1)
(2x−1)(3x−1) = limx→ 12
4x2+2x+1
3x−1 = 6
Ví dụ 6.
a) B1 = lim
x→0
p
1+x2−1
x
b) B2 = lim
x→2
p
x+7−3
x2−4
c) B3 = lim
x→−1
p
x+2−1p
x+5−2 d) B4 = limx→0
p
x2+4−2p
x2+9−3
Giải
a) Đây là dạng vô định 00 . Ta cố gằng khử đi phần làm chomẫu bằng 0, có nghĩa
là phải làm mất “x ” ở mẫu. Thấy rằng
(p
1+x2
)2−1= x2 chia hết cho x nên ta
nghĩ đến phép nhân liên hợp ở tử để tạo hằng đẳng thức.
B1 = lim
x→0
x2
x
(p
x2+1+x
) = lim
x→0
xp
x2+1+x
= 0
b) x2−4= (x−2)(x+2) nên phần làm chomẫu bằng 0 chính là x−2, bằng cách
nhân liên họp ta sẽ khử đi x−2.
B2 = lim
x→2
x−2
(x−2)(x+2)(px+7+3) = limx→2 1(x+2)(px+7+3) = 124
c) Ta cùng nhân liên hợp ở cả tử và mẫu được
9
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
B3 = lim
x→−1
(x+1)(px+5+2)
(x+1)(px+2+1) = limx→−1
p
x+5+2p
x+2+1 = 2
d) Tương tự như ý c ta có
B4 = lim
x→0
x2
(p
x2+9+3
)
x2
(p
x2+4+2
) = lim
x→0
p
x2+9+3p
x2+4+2
= 3
2
Ví dụ 7.
a) C1 = lim
x→0
3p1+4x−1
x
b) C2 = lim
x→0
5p1+3x−1
x
Giải
a) Sử dụng phép nhân liên hợp để tạo ra hằng đẳng thức
a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
C1= lim
x→0
4x
x
[( 3p1+4x )2+p1+4x+1]= limx→0 4( 3p1+4x )2+p1+4x+1 = 43
b) Vẫn sử dụng phép nhân liên hợp để khửmẫu nhưng lần này thấy biểu thức
liên hợp
( 5p1+3x)4+( 5p1+3x)3+( 5p1+3x)2+ 5p1+3x+1 khá dài và phưc tạp nên
ta thử làm gon nó lại bằng phép đổi biến.
Đặt t = 5p1+3x suy ra x = t
5−1
3
. Do x→ 0 nên t→ 1
C2= lim
t→1
3(t −1)
t5−1 = limt→1
3(t −1)
(t −1)(t4+ t3+ t2+ t +1)= limt→1
3
t4+ t3+ t2+ t +1=
3
5
Chú ý 5.
• Nếu tính giới hạn dạng lim
x→0
np1+ax−1
x
(hoặc những giới hạn gần giống thế)
mà chỉ số n lớn (n > 3) thì ta dùng phép đổi biến tương tự như ví dụ 3b. Và
cần lưu ý rằng đổi biến thì phải đổi điểm lấy giới hạn.
• Ta sử dụng kết quả sau để kiểm tra giới hạn khi tính toán
lim
x→0
npb+ax− npb
x
= a
n
np
bn−1
~
Đặc biệt
lim
x→0
np1+ax−1
x
= a
n
.
Các bài toán dạng gần giống như ~ sẽ được nhắc đến nhiều trong phần bài
tập
Ví dụ 8.
10
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
a) D1 = lim
x→0
3p1+x−p1−x
x
b) D2 = lim
x→0
2
p
1+x− 3p8−x
x
c) D3 = lim
x→0
3p1+2xp1+3x−1
x
d) D4 = lim
x→0
p
4+2x 3p8+2x−4
x
Giải
Bốn câu ỏ ví dụ này đều có phần gì đó giống dạng ~. Vậy ta thử biến đổi về
dạng đó hi vọng có thể tìm được giới hạn.
a) D1 = lim
x→0
(
3p1+x−1
x
−
p
1−x−1
x
)
Tính nhanh được
D11 = lim
x→0
3p1+x−1
x
= 1
3
và D12 = lim
x→0
p
1−x−1
x
=−1
2
⇒D1 =D11+D12 = 1
3
− 1
2
= 1
6
b) D2 = lim
x→0
(
2 ·
p
1+x−1
x
−
3p8+x−2
x
)
Tính nhanh được
D21 = lim
x→0
(
2 ·
p
1+x−1
x
)
= 2 lim
x→0
(p
1+x−1
x
)
= 1 và
D22 = lim
x→0
3p8+x−2
x
= 1
3
⇒D2 =D21−D22 = 1− 1
3
= 2
3
c) D3 = lim
x→0
(
3p1+2x (p1+3x−1)
x
+
3p1+2x−1
x
)
D31 = lim
x→0
3p1+2x (p1+3x−1)
x
= 3
2
và
D32 = lim
x→0
3p1+2x−1
x
= 2
3
⇒D3 =D11+D32 = 3
2
+ 2
3
= 13
6
d) D4 = lim
x→0
(p
4+2x ( 3p8+2x−2)
x
+
p
4+2x−2
x
)
D41 = lim
x→0
p
4+2x ( 3p8+2x−2)
x
= 1
3
và
D42 = lim
x→0
p
4+2x−2
x
= 1
2
11
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
⇒D4 =D41+D42 = 1
3
+ 1
2
= 5
6
Nhận xét:. Tại sao biến đổi được như thế ?
⊕ Ở câu b ta thêm số c như sau
lim
x→0
(
2
p
1+x− c
x
−
p
8+x− c
x
)
sao cho 2 hạng tử đều có dạng~
⊕ Ở câu c và d cách thêm bớt có vẻ đơn giản hơn. Trong tích p....... 3p....... thì
chỉ cần thêmmột trong haip....... và 3p....... là dạng~ tự khắc xuất hiện
Chú ý 6. Cách thêm bớt ở ví dụ 4 khá đơn giản, tự nhiên và có thể tự nhẩm ra
mà không cần làm đầy đủ từng bước giống như nhận xét. Nhưng ở những bài
toán phức tạp hơn thì cách làm (hay ý tưởng giải toán) ở phần nhận xét rất có
ich.
1.7.4 Khử dạng vô định∞−∞
Phương pháp: Sử dụng các phép biến đôi cở bản, bao gồm: nhân liên hợp tạo
ra hằng dẳng thức, thêm bớt, đổi biến,... để đưa về dạng ∞∞ .
Trước khi khử dạng vô đinh này ta cần xem qua bảng sau:
lim f (x) limg (x) lim( f (x)− g (x))
−∞ +∞ −∞
+∞ −∞ +∞
−∞ −∞
+∞ +∞
Bảng giới hạn∞−∞
Ví dụ 9.
a) I1 = lim
x→+∞
(√
x+px+px
)
b) I2 = lim
x→+∞
(√
x+px−px
)
Giải
a) Khẳng định ngay I1 =+∞
b) Sử dụng phép nhân liên hợp được: I2 = lim
x→+∞
p
x√
x+px+px
.
Đây là dạng ∞∞ và ta tính nhanh được I2 =
1
2
Ví dụ 10. Tìm giới hạn I3 = lim
x→+∞
(p
(x+3)(x+2)−x)
Giải
12
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
Tương tự như ví dụ 1, ta dùng phép nhân liên hợp
I3 = lim
x→+∞
(x+3)(x+2)−x2p
(x+3)(x+2)+x = limx→+∞
5x+6p
(x+3)(x+2)+x
= lim
x→+∞
5+ 6
x√(
1+ 2
x
)(
1+ 3
x
)
+1
= 5
2
Ví dụ 11. tìm giới hạn sau: I4 = lim
x→1
(
3
1−x3 −
1
1−x
)
.
Giải
Quy đồng mẫu số, có: I4 = lim
x→1
3− (x2+x+1)
1−x3 = limx→1
(1−x2)+ (1−x)
1−x3
I4 = lim
x→1
(1−x)(2+x)
(1−x)(1+x+x2) = limx→1
2+x
1+x+x2 = 1
Chú ý 7. Giới hạn ở ví dụ 2 và 3 có dạng tổng quát sau:
lim
x→+∞
(
n
p
(x+a1)(x+a2)...(x+an)−x
)= a1+a2+ ...+an
n
,
lim
x→1
(
m
1−xm −
1
1−x
)
= m−1
2
.
Ta có thể áp dụng hai giới hạn này để kiểm tra nhanh kết quả tính toán.
Ví dụ 12.
a) I5 = lim
x→+∞
(
3
p
(x+5)(x+6)(x+7)− 4p(x+1)(x+2)(x+3)(x+4))
b) I6 = lim
x→1
(
3
1−x3 −
4
1−x4
)
Giải
a) I5= lim
x→+∞
[(
3
p
(x+5)(x+6)(x+7)−x)
− ( 4p(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−x)]
I51 =
(
3
p
(x+5)(x+6)(x+7)−x)= 5+6+7
3
= 6
I52 =
(
4
p
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−x)= 1+2+3+4
4
= 5
2
=⇒ I5 = I51− I52 = 6− 5
2
= 7
2
b) I6 = lim
x→1
[(
3
1−x3 −
1
1−x
)
−
(
4
1−x4 −
1
1−x
)]
I61 = lim
x→1
(
3
1−x3 −
1
1−x
)
= 3
2
I61 = lim
x→1
(
4
1−x4 −
1
1−x
)
= 4
2
=⇒ I6 = I61− I62 =−1
2
13
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
1.7.5 Khử dạng vô định 0 ·∞
Phương pháp: Sử dụng các phép biến đôi cở bản, bao gồm: nhân liên hợp tạo
ra hằng dẳng thức, thêm bớt, đổi biến,... để đưa về dạng ∞∞ ,
0
0 .
Ví dụ 13. Tìm giới hạn
a) I1 = lim
x→+∞x
(p
x2+1−x
)
b) I2 = lim
x→+∞
p
x3
(
3p
x3+1− 3
p
x3−1
)
Giải
Sử dụng phép nhân liên hợp thì
a) I= lim
x→+∞
xp
x2+1+x
= lim
x→+∞
1√
1+ 1
x2
+1
= 1
2
.
b) I2 = lim
x→+∞
2
p
x3
3p
x3+1+ 3
p
x3−1
= lim
x→+∞
2
3
√
1+ 1
x3
+ 3
√
1− 1
x3
= 1.
1.7.6 Khử dạng vô định vô định hàm lượng giác
Phương pháp: Thực ra giới hạn vố định của hàm lương giác chính là dạng 00
và nguồn gốc của nó chính là giới hạn sau
lim
u(x)→0
sinu(x)
u(x)
= 1.
Sử dụng các phép thêm bớt, các công thức biến đổi lương giác, các phép đổi
biến để đưa về dạng
lim
u(x)→0
sinu(x)
u(x)
u(x)
a(x)
Đến đây ta chỉ cần đi tinh giới hạn của
u(x)
v(x)
Chú ý 8. Ta sử dụng các kết quả sau để kiểm tra giới hạn
• lim
x→0
sinax
bx
= lim
x→0
(
sinax
ax
· ax
bx
)
= a
b
• lim
x→0
sinax
sinbx
= lim
x→0
axbx ·
sinax
ax
sinbx
bx
= ab
• lim
x→0
tanax
bx
= lim
x→0
(
sinax
ax
· ax
bx
· 1
cosbx
)
= a
b
• lim
x→0
tanax
tanbx
= lim
x→0
axbx ·
tanax
ax
tanbx
bx
= ab
14
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
Ví dụ 14. Tìm các giới hạn sau
a) I1 = lim
x→0
sin2 x
3x2
b) I2 = lim
x→0
tan33x
9x3
Giải
a) I1 = lim
x→0
1
3
(
sinx
x
)2
= 1
3
b) I2 = lim
x→0
(
sin33x
27x3
· 3
cos33x
)
= 3
Ví dụ 15. Tìm các giới hạn sau
a) I1 = lim
x→0
1−cos3x
x2
b) I2 = lim
x→0
sin2 x
1−cos24x
c) I3 = lim
x→0
sin9x2
1−cos6x d) I4 = limx→0
1−cos2x3
sin62x
e) I5 = lim
x→0
1−cos3 x
x sin2x
f) I6 = lim
x→0
(
2
sin2x sinx
− 1
sin2 x
)
Giải
a) I1 = lim
x→0
2sin2
3x
2
x2
= 9
2
lim
x→0
sin2
3x
2
9x2
4
= 9
2
b) I2 = lim
x→0
sin22x
sin24x
= lim
x→0
(
sin2x
sin4x
)2
= 1
4
c) I3 = lim
x→0
sin9 x
2sin23x
= 1
2
lim
x→0
(
sin9x
sin3x
)2
= 9
2
d) I4 = lim
x→0
2sin2 x3
sin62x
= lim
x→0
sin2 x3
x6
sin62x
(2x)6
· 1
25
= 1
32
e) I4 = lim
x→0
(1−cosx)(cos2 x+cosx+1)
2x sinx cosx
I41 = lim
x→0
1−cosx
2x sinx
= lim
x→0
sin2
x
2
x sinx
= lim
x→0
sin
x
2
x
sin
x
2
sinx
= 1
4
I42 = lim
x→0
cos2 x+cosx+1
cosx
= 3
=⇒ I4 = I41 · I42 = 3
4
f) I4 = lim
x→0
2sinx−2sinx cosx
sin2x sin2 x
= lim
x→02
1−cosx
sin2x sinx
15
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. GIỚI HẠNHÀM SỐ CHƯƠNG I. HÀM SỐ
= lim
x→0
4sin2
x
2
sin2x sinx
= lim
x→0
2sin2
x
2
4 ·
(x
2
)2
sin2x
2x
sinx
x
= 1
2
Ví dụ 16.
a) I1 = lim
x→+∞x sin
2pi
x
b) I2 = lim
x→+∞3x
2
(
cos
1
x
−cos 3
x
)
c) I3 = lim
x→pi3
sin
(
x− pi
3
)
sin3x
Giải
Nhận thấy ở câu a và b đều có dạng 0 ·∞. Ta sẽ đưa nó về dạng 00 bằng phép
đổi biến.
t = 1
x
vì x→+∞⇒ t→ 0
a) I1 = lim
t→0
sin2pit
t
= lim
t→0
sin2pit
2pit
·2pi= 2pi
b) I2 = lim
t→0
3(cos t −cos3t )
t2
= lim
t→0
−6sin2t sin t
2
t2
=−6lim
t→0
sin2t
2t
·
sin
t
2
t
2
=−6