Toán - Số phức

SỐ PHỨC
I. GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC
I.1. CÁC KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng , trong đó được gọi là một số phức
Đối với số phức , ta nói là phần thực, là phần ảo của .
Tập hợp các số phức kí hiệu là .
Chú ý:
 Mỗi số thực được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: 
 Như vậy ta có .
 Số phức với được gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)
 Số được gọi là số vừa thực vừa ảo; số được gọi là đơn vị ảo.
2. Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau: 
3. Số phức đối và số phức liên hợp
 Cho số phức ,
Số phức đối của kí hiệu là và .
Số phức liên hợp của kí hiệu là và .
4. Biểu diễn hình học của số phức
Điểm trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức .
5. Môđun của số phức
Giả sử số phức được biểu diễn bởi trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của vectơ được gọi là môđun của số phức và kí hiệu là .
Vậy: hay .
Nhận xét: .
I.2. CÁC PHÉP TOÁN
1. Phép cộng và phép trừ
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức.
Tổng quát:
2. Phép nhân
Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay trong kết quả nhận được.
Tổng quát:
Chú ý: 
 Phép cộng và phép nhân các số phức có đầy đủ các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.
 Cho số phức ,. Ta có:; .
3. Phép chia hai số phức
Với , để tính thương , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của 
Cụ thể: .
I.1.3. TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức ,
Tính chất 1: Số phức là số thực 
Tính chất 2: Số phức là số ảo 
Cho hai số phức ta có:
Tính chất 3: 
Tính chất 4: 
Tính chất 5: 
Tính chất 6: 
Tính chất 7: 
Tính chất 8: 
I.1.4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG TẬP HỢP SỐ PHƯC
1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai: có 
TH1: a, b, c là các số thực
 Nếu thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt 
Nếu thì phương trình có nghiệm kép thực 
Nếu thì phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt 
TH2: a, b, c là các số phức
 thì phương trình có nghiệm kép thực 
 Khi đó phương trình có hai nghiệm 
2. Chú ý
Phương trình bậc hai trên tập hợp số phức với hệ số thực luôn có 2 nghiệm là 2 số phức liên hợp.
Khi b là số chẵn ta có thể tính và công thức nghiệm tương tự như trong tập hợp số thực.
 Gọi là 2 nghiệm của phương trình a, b, c là các số thực hoăc số phức. Khi đó ta có:
II. GIẢI PHÁP 2: CHIA THÀNH CÁC CHUYÊN ĐỂ NHỎ
II.1. CHUYÊN ĐỀ 1: Tính toán trên tập hợp số phức
II.1.1.Dạng 1: Thực hiện các phép tính trên tập hợp số phức. Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của một số phức
A. Phương pháp
Sử dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức để tính toán giá trị các biểu thức.
Để xác định phần thực, phần ảo và môđun của số phức thì ta phải sử dụng các khái niệm liên quan đến số phức và các phép toán trên tập hợp số phức để biến đổi số phức . Khi đó: có phần thực bằng phần ảo bằng 
Trong khi tính toán về số phức ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực.
B. Bài tập minh họa
Bài 1: Cho số phức 
Tìm các số phức sau: 
Lời giải:
a) 
b) 
c) 
d) 
Nhận xét: Với bài tập trên, học sinh dễ dàng tính được. Qua bài tập này mục đích giúp học sinh nhớ lại khái niệm số phức liên hợp và biết cách tính toán đơn giản về phép cộng, phép trừ số phức và phép tính luỹ thừa của một số phức. 
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
Lời giải:
a) 
Ngoài cách áp dụng quy tắc nhân chia số phức như cách làm trên, ta có thể tính bằng cách quy đồng mẫu số và thực hiện nhân chia như trong số thực.
Tương tự, ta có kết quả sau:
Nhận xét: 
Bài tập trên giúp học sinh rèn kĩ năng tính toán bằng cách sử dụng phép nhân, phép chia số phức kết hợp với phép cộng và phép trừ. 
Đây là dạng bài tập không khó đối với học sinh ngay cả với học sinh trung bình. Nhưng thực tế, trong quá trình giảng dạy chúng tôi thấy rằng các em biết cách làm nhưng tính toán thường hay sai, nhất là đối với học sinh có kĩ năng tính toán kém và không cẩn thận. Vì vậy khi dạy phần này chúng tôi cho nhiều bài tập và hỏi các câu hỏi khác nhau để rèn cho học sinh kĩ năng nhận dạng bài toán, kĩ năng tính toán và trình bày bài cho khoa học. 
Sau khi cho học sinh làm xong bài, chúng tôi thay đổi cách hỏi như sau: Tìm phần thực, phần ảo của số phức và tính mô đun của số phức để khắc sâu cho học sinh các khái niệm: phần thực, phần ảo, môđun của số phức. 
Để học sinh ghi nhớ kĩ hơn, chúng tôi cho học sinh làm bài tập:
Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức biết:
a) 
b) 
c) biết n là số tự nhiên thỏa mãn phương trình:
d) 
Lời giải : 
a) Ta có:
Vậy có phần thực bằng 5; phần ảo bằng 
và có môđun: 
b) 
Vậy có phần thực bằng 2; phần ảo bằng ; 
c) Giải phương trình tìm được (thỏa mãn điều kiện)
Khi đó 
Vậy có phần thực bằng 8; phần ảo bằng ; 
d) Ta có:
Vậy có phần thực bằng ; phần ảo bằng 16; 
Bài 4: Tính biểu thức sau:
Lời giải:
a) 
Để làm bài toán trên, giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tính lũy thừa của i. Ta có: 
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: Với mọi số tự nhiên n ta có:
Như vậy: 
b) Ta có:
Nhận xét: Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài trên theo cách phân tích lũy thừa của i như ý a). Tuy nhiên, việc sử dụng hằng đẳng thức ở đây ta sẽ tính toán nhanh hơn và thuận tiện hơn.
 c) Ta có C là tổng của 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là công bội 
Áp dụng công thức tính tổng 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:
Để tính biểu thức giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tính một cách thuận tiện nhất.Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi hướng dẫn học sinh làm theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Đối với học sinh học ban cơ bản
Phân tích 
Cách 2: Đối với học sinh học ban nâng cao
Phân tích 
Khi đó 
Thay vào biểu thức, ta có: 
Nhận xét: Để làm bài tập này đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng biến đổi biểuthức lượng giác và công thức tính tổng của cấp số nhân.Qua đó giúp học sinh ôn lại các kiến thức về công thức lượng giác, về cấp số nhân.
 d) 
Cách 1: Áp dụng cho ban cơ bản
Ta có:
Thay vào biểu thức D ta có:
Cách 2: Áp dụng cho ban nâng cao
Ta có:
Thay vào D ta có:
Nhận xét: Qua các bài tập trên, giáo viên nêu phương pháp tính các bài toán chứa các biểu thức sau:
Cách 1: Phân tích
Cách 2: Biểu diễn dưới dạng lượng giác các biểu thức:
Với cách làm tương tự, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm bài sau: Hãy biểu diễn các biểu thức sau dưới dạng lượng giác:
Trong tính toán trên tập hợp số phức, công thức nhị thức Niu-tơn vẫn đúng khi ta thay hai số thực bởi hai số phức. Để học sinh hiểu rõ hơn và biết áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn vào tính toán trên tập hợp số phức, chúng tôi cho học sinh làm bài tập sau:
Bài 5: Tính tổng 
c) 
Lời giải: 
a) Ta có: 
Mặt khác : 
Vậy 
b) Lại có: 
Vậy 
c) 
Gọi thì là các nghiệm của phương trình 
Nên 
Xét . Ta có:
	(1)
Mặt khác: 
Từ (1)(2)
Thay cho việc hỏi tính tổng như trên, chúng tôi có thể hỏi dưới dạng chứng minh, rút gọn.
II.1.2.Dạng 2: Tìm căn bậc hai của một số phức
A. Phương pháp: 
Cho số phức . Tìm căn bậc hai của z
Nếu thì có một căn bậc hai là: 
Nếu thì có hai căn bậc hai là: 
Nếu thì có hai căn bậc hai là: 
Nếu 
Gọi là căn bậc hai của . 
Khi đó ta có: 
Giải hệ tìm x, y. Từ đó kết luận số căn bậc hai của z
Chú ý: Mỗi một số phức khác luôn có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
B. Bài tập minh họa
Bài 1:Tìm căn bậc hai của số phức sau:
a) 
b) 
Lời giải:
Gọi là một căn bậc hai của 
Khi đó ta có:
Giải hệ phương trình tìm được nghiệm: 
Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 
Tương tự, ta có số phức có hai căn bậc hai là:
II.1.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính biểu thức sau:
Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, từ đó tính môđun và tìm căn bậc hai của số phức sau:
Bài 3: 
a) Tính tổng : 
b) Rút gọn: 
II.2. CHUYÊN ĐỀ 2: Tìm số phức thoả mãn điều kiện cho trước
II.2.1. Phương pháp:
Ví dụ mở đầu: 
Học sinh đã được luyện tập về các phép toán trên trường số phức nên tôi yêu cầu học sinh làm ví dụ sau:
1) Thực hiện phép tính để tìm số phức z biết:
.
2) Tìm a, b biết:
.
Lời giải:
2) , từ giả thiết bài toán ta có:
Nhận xét:
Với cách dạy cũ tôi cho học sinh đề bài là: Tìm số phức z biết:
1) 
2) .
Học sinh khá giỏi có thể phát hiện ra cách làm của ý 1 nhưng ý 2 học sinh rất khó định hướng cách làm. Nhưng khi thay đổi cách hỏi thì ngay cả học sinh có lực học trung bình cũng có thể định hướng được cách làm bài. Sau khi học sinh làm song bài tôi mới thay đổi lại câu hỏi như trên, từ đó đưa ra phương pháp cụ thể của dạng câu hỏi tìm số phức z như sau:
 Nếu trong điều kiện đề bài chỉ có duy nhất một kí hiệu z hoặc thì ta quy
về bài toán thực hiện phép tính.
 Nếu trong điều kiện đề bài có nhiều hơn một kí hiệu z hoặc hoặc có kí hiệu môđun ta giải theo phương pháp sau:
Gọi 
Sử dụng giả thiết bài toán và khái niệm về số lập hệ hai phương trình với hai ẩn a,b 
Giải hệ phương trình lập được trên tập hợp số thực và kết luận.
Có học sinh khá làm ý 1 bằng cách gọi Tôi đã phân tích cả 2 cách làm và các em nhận thấy ngay là việc quy về thực hiện phép toán sẽ đơn giản hơn.
II.2.2. Bài tập minh họa
Tìm số phức z biết:
a) (1)
b) (2)
c) và là số ảo.
d) và có phần ảo bằng 1.
e) là số thực và có một acgumen là .
Lời giải:
a) Điều kiện . Khi đó
 (thỏa mãn điều kiện).
b) Gọi . Từ giả thiết ta có:
Vậy số phức cần tìm là: 
c) Gọi số phức z cần tìm dạng: . Từ giả thiết ta có:
Để là số ảo thì 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy số phức cần tìm là: .
d) Gọi số phức z cần tìm dạng: . Từ giả thiết ta
có:
 có phần ảo bằng 1 khi (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy số phức cần tìm là: .
e) Gọi số phức z cần tìm dạng: . Từ giả thiết ta có:
 là số thực khi 
+) (loại không thể có một acgumen là )
+) 
Vì có một acgumen là nên 
Vậy 
Nhận xét: Với dạng toán này học sinh chỉ cần nắm được các khái niệm cơ bản của số phức như: hai số phức bằng nhau, mođun của số phức, điều kiện để số phức là số ảo, số thuần ảo, số thực, xác định được phần thực, phần ảo của một số phức, dạng lượng giác của số phức và đặc biệt là các phép toán và sự cẩn thận khi tính toán là các em có thể biết cách làm và làm đúng . Sau khi học sinh đã làm tốt được dạng toán trên chúng tôi thay đổi đề để bài tập không đơn điệu và quan trọng là giúp các em có thể linh hoạt để định hướng cách giải khi gặp những bài tập cùng dạng. Cụ thể là:
Tính mođun của số phức 
Tính tổng lũy thừa bậc 4 của tất cả các số phức vừa tìm được.
Tìm phần ảo của hoặc hỏi là và là số thuần ảo.
Tìm phần ảo của 
Viết dạng lượng giác của z.
II.2.3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm số phức z biết và điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng (d) có phương trình: 3x –y +1 = 0.
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn; Tính 
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn: Hãy xác định phần thực, phần ảo của số phức z.
Bài 4: Cho và có một acgumen bằng . Hãy biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.
Bài 5: Tìm số phức thoả mãn: là số thực và 
Bài 6: Tìm số phức z thoả mãn: 
II.3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC
II. 3.1. Phương pháp giải phương trình 
Tính 
Dựa vào giá trị của để xác định công thức nghiệm (dựa vào mục I.1.4 )
II. 3.2. Bài tập minh họa
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
Lời giải:
Ta có 
Ta có nên phương trình có nghiệm là:
Nhận xét: 
Ngoài cách giải chuẩn mực là tính hoặc sau đó đọc nghiệm theo công thức, thì ngay ở ý a tôi đã hướng dẫn học sinh cách làm như sau:
.
Từ đó chuyển sang ý b, học sinh sẽ định hướng ngay được cách làm tắt như trên. Tôi cũng lưu ý cho học sinh là chỉ nên làm tắt với những trường hợp đọc nhanh được hằng đẳng thức.
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
Lời giải:
d) Điều kiện: , khi đó phương trình tương đương với:
(thỏa mãn điều kiện)
Nhận xét:
Giải phương trình trên tập hợp số phức cần đầy đủ các kĩ năng của việc giải phương trình trên tập hợp số thực, qua các ví dụ trên ta đã sử dụng phương pháp phân tích thành tích để đưa một phương trình bậc 3, bậc 4 về thành tích của các phương trình bậc nhất, bậc 2. Tôi nhấn mạnh cho học sinh: một phương trình đa thức bậc n xét trên tập hợp số phức thì có n nghiệm phức(các nghiệm không nhất thiết phân biệt ).
Kĩ năng đặt ẩn phụ để quy phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 sẽ được minh họa trong bài tập sau:
Bài 3: Giải các phương trình:
Lời giải:
+) không là nghiệm của phương trình.
+) phương trình tương đương với:
 Đặt , khi đó ta được phương trình: 
+) Với ta có:
+) Với ta có:
Đặt , khi đó phương trình trở thành:
+) Với 
+) Với 
+) Với 
Đặt , khi đó phương trình trở thành: 
+) Với 
+) Với 
 Đặt , khi đó phương trình trở thành:
+) Với 
+) Với 
Nhận xét:
Với những phương trình nêu trên rõ ràng là không nhẩm được nghiệm đẹp để đưa về phương trình tích, do đó ta cần tìm ra một cách đặt ẩn phụ phù hợp. Ngay ở 3 ý đầu chúng tôi đã đưa ra 3 phương trình bậc 4 có cách giải đặc biệt đó là:
TH1: Kiểm tra có là nghiệm của phương trình
TH2: ,chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Đặt , ta đưa phương trình về phương trình bậc 2 ẩn t.
Đặc biệt: 
Đặt , đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 4 trùng phương với ẩn t
 với 
Đặt , đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 ẩn t.
Khi giải phương trình đa thức trên tập hợp số phức thực chất chúng tôi đã ôn tập cho học sinh các phương pháp giải phương trình trên tâp hợp số thực.
Bài 4: Giải hệ phương trình với ẩn phức sau: 
Lời giải:
 nên là nghiệm của phương trình bậc 2:
Vậy nghiệm của hệ phương trình () là và 
II.3.3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Bài 2: là nghiệm phức của phương trình: 
Tính 
IV. CHUYÊN ĐỀ 4: Biểu diễn hình học của số phức
IV.4.1. Dạng 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước 
A. Phương pháp 
Gọi biểu diễn cho số phức trong mặt phẳng toạ độ.
Dựa vào dữ kiện bài toán, thiết lập mối liên hệ giữa và 
Dựa vào mối liên hệ đó, để kết luận tập hợp điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức .
B. Bài tập minh hoạ
Bài 1: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
Lời giải:
Gọi biểu diễn cho số phức trong mặt phẳng toạ độ.
a) Ta có 
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm và bán kính .
Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiện bài tập này, chúng tôi thay đổi giả thiết và hướng dẫn các em cách làm tương ứng.
 . Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm O, bán kính .
 . Vậy tập hợp các điểm M là miền trong hình tròn tâm O, bán kính .
 .Vậy tập hợp các điểm M là những điểm không thuộc miền trong hình tròn tâm O, bán kính .
 . Vậy tập hợp các điểm M là miền ngoài hình tròn tâm O, bán kính .
Từ đó học sinh có thể tự trình bày lời giải cho bài tập: 
b)Tập hợp những điểm M là những điểm nằm ngoài hình tròn tâm và bán kính đồng thời nằm trong hình tròn tâm và bán kính .
 Ngoài ra còn có thể giàng buộc thêm điều kiện ( ví dụ phần thực không âm)
c) 
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm và bán kính 
 d) Ta có . 
Tập hợp M là đường tròn(C) tâm và bán kính 
Bài 2: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện sau:
 a) 
 b) là số ảo.
 c) là số thực.
 d) 
Lời giải: 
Gọi biểu diễn cho số phức trong mặt phẳng toạ độ.
a) Ta có 
Tập hợp M là đường thẳng có phương trình 
b) Ta có nên là số ảo
Tập hợp M là hai đường phân giác và 
c) Ta có 
Nên là số thực 
Vậy tập hợp điểm M là hai trục toạ độ bỏ đi điểm 
d)
Cách 1
Ta có 
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng.
Cách 2
Từ . Gọi A và B là hai điểm biểu diễn các số và tức là.
Ta có . Vậy M nằm trên đường trung trực của AB tức là M nằm trên đường thẳng.
Bài 3: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau:
 a) 
 b) 
 c) 
Lời giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
a) 
Vậy tập hợp điểm M là đường parabol (P) có phương trình .
b) 
Đặt 
Suy ra tập hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là .
Gọi (E) có phương trình 
Ta có 
Vậy (E) có phương trình 
c) Ta có 
Vậy tập hợp điểm M là đường hybebol (H) có phương trình là và 
Bài 4: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện .
Lời giải:
Gọi và biểu diễn cho só phức trong mặt phẳng toạ độ
Ta có:
.
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn tâm , bán kính .
II.4.2. Dạng 2. Tìm số phức z có hình biểu diễn cho trước.
A. Phương pháp
Tìm toạ độ điểm M (phụ thuộc tham số) biểu diễn cho số phức trên mặt phẳng toạ độ.
Cho M thuộc và hình biểu diễn của , ta tìm được giá trị của tham số.
Kết luận số phức cần tìm.
B. Bài tập minh hoạ
Bài 1: Cho số phức 
Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai.
Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hybebol .
Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.
Lời giải:
Số phức điểm biểu diễn cho số phức trên mặt phẳng toạ độ là:
a) Để M nằm trên đường phân giác thứ hai thì .
b) Để M nằm trên đường hybebol thì 
c) Để khoảng cách từ M đến O nhỏ nhất nhỏ nhất nhỏ nhất nhỏ nhất 
Bài 2: Cho số phức . Hỏi phải thoả mãn điều kiện gì để:
Điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng và ?
Điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng và ?
Điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2?
Lời giải: 
Để điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng và thì 
Để điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng và thì 
c) Để điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2 thì .
II.4.3. Dạng 3: Chứng minh tính chất liên quan đến hình biểu diễn của số phức hoặc dùng hình biểu diễn của số phức chứng minh tính chất của số phức.
A. Phương pháp: Để chứng minh các điểm biểudiễn cho các số phức thoả mãn điều kiện (T), thông thường ta làm như sau
Đọc toạ độ các điểm biểu diễn cho các số phức đã cho.
Dựa vào điểu kiện (T), ta qui được bài toán về bài toán hình giải tích trong mặt phẳng.
B. Bài tập minh hoạ
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A, B là hai điểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân.
Lời giải: 
Phương trình có nên có hai nghiệm 
Trong mặt phẳng toạ độ số phức có biểu diễn là 
 số phức có biểu diễn là 
 có nên cân tại O
 nên vuông tại O.
Vậy vuông cân tại O.
Bài 2: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức ;; .
Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Lời giải:
a) Ta có
có điểm biểu diễn là 
 có điểm biểu diễn là 
 có