Toán khối 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian

CHƯƠNG III – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. = (xB-xA; yB-yA;zB-zA); 
2. AB = 
3. Cho = (a1;a2;a3), = (b1;b2;b3) và số thực k. Thế thì:
	a)	 = a1 = b1 và a2 = b2 và a3 = b3.	b)	 = (a1 b1; a2 b2; a3 b3)
	c)	k. = (ka1;ka2;ka3)	d)	Tích vô hướng = a1b1 + a2b2 + a3b3 
	e)	Độ dài véc tơ là : || = 
	f)	Góc giữa hai véc tơ và là : cos(,) = 
	g)	 = 0 a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
4. Tích có hướng : Cho = (a1;a2;a3), = (b1;b2;b3).Thế thì = [,] = 
	Lưu ý : Tích có hướng của 2 véctơ là một véctơ. Véctơ này vuông góc với cả 2 véctơ ban đầu.
	Tức là 	 và ; và cùng phương [,] = 
A
B
C
D
	Như vậy, nếu thấy [,] thì , không cùng phương
5. Diện tích hình bình hành ABCD: S = |[,]| 
Và do đó diện tích tam giác ABC : S = |[,]|
6. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ,, đồng phẳng[,] = 0
A
B
C
A’
B’
D’
D
7. A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện ,, không đồng phẳng[,] 0
8. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V = |[,]|
(Cách nhớ: Từ một đỉnh bất kỳ phát ra 3 cạnh)
Và do đó, thể tích tứ diện ABCD là : V =|[,]|
9. Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R là :
	(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 	(dạng 1)
Hoặc 	x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by – 2cz + d = 0	(dạng 2). Với lưu ý a2 + b2 + c2 – d > 0
Phương trình mặt cầu ở dạng 2, có tâm là I(a;b;c), bán kính R = 
10. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 0
* Mặt phẳng () qua M0(x0;y0;z0) và nhận = (A;B;C) làm véctơ pháp tuyến (VTPT) phương trình là : 
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
* Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng () cắt 0x tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0) và cắt Oz tại C(0;0;c), 
a,b,c 0, phương trình là : 
* Các trường hợp riêng của mp ():Ax + By + Cz +D = 0
a. Khuyết D : khi đó ():Ax + By + Cz = 0, mp này qua gốc O
b. Khuyết A (B, C, D 0) khi đó (): By + Cz + D = 0, mp này song song với Ox
c. Khuyết A và B (C, D 0) khi đó (): Cz + D = 0, mp này song song với mp(Oxy)
Cách nhớ: Nhìn vào phương trình thấy không có D thì mp qua O; không thấy x thì // hoặc Ox, 
11. VTTĐ của 2 mặt phẳng: Cho 2 mp
(): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, VTPT = (A1;B1;C1)
(): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, VTPT = (A2;B2;C2)
Nếu thấy = k và D1 kD2 thì ()//()
Nếu thấy = k và D1 = kD2 thì () ()
Nếu thấy k thì () cắt (). Đặc biệt : ()()A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
12. Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mp ():Ax + By + Cz +D = 0 là :
d(M0,( )) = 
13. Phương trình tham số của đường thẳng (d) : t R
trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm mà (d) đi qua và = (a;b;c) là véctơ chỉ phương (VTCP) của (d).
* Phương trình chính tắc của đường thẳng (d): (abc 0)
14. VTTĐ của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (d): và (d’): 
Từ 2 phương trình đó, ta lấy ra M0(x0;y0;z0) (d) ; M’0(x’0;y’0;z’0) (d’); 
VTCP của (d): = (a;b;c); VTCP của (d’): = (a’;b’;c’)
a. Nếu thấy 3 véctơ , và cùng phương thì kết luận (d) (d’)
(Tức là [, ] = và [,] = )
b. Nếu thấy 2 véctơ , cùng phương và chúng không cùng phương với thì kết luận (d) // (d’)
(Tức là [, ] = và [,] )
c. Nếu thấy 2 véctơ , không cùng phương và 3 véctơ , , đồng phẳng thì kết luận (d) cắt (d’)
(Tức là [, ] và [, ]. = 0)
d. Nếu thấy 3 véctơ , , không đồng phẳng thì kết luận (d) và (d’) chéo nhau
(Tức là [, ]. 0)
15. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng : d(A,) = 
Trong đó là VTCP của ; M0 là điểm thuộc .
(Cách nhớ: Tử số là diện tích hình bình hành, chia cho mẫu số là độ dài cạnh đáy ra chiều cao)
16. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 1 và 2 : d(1, 2) = 
Trong đó 1 , 2 là VTCP của 1 , 2 và M1 1 , M2 2
(Cách nhớ: Tử số là thể tích khối hộp, chia cho mẫu số là diện tích đáy ra chiều cao hộp)
17. VTTĐ của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng (d): và mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0
Từ 2 phương trình này, ta lấy ra VTCP của (d) là = (a;b;c) và VTPT của () là = (A;B;C) 
và M0(x0;y0;z0) (d)
a. Nếu thấy và tọa độ của M0 không thỏa mãn phương trình () thì (d) // ()
(Tức là Aa+Bb+Cc = 0 và Ax0 + By0 + Cz0 + D 0)
b. Nếu thấy và tọa độ của M0 thỏa mãn phương trình () thì (d) ()
(Tức là Aa + Bb + Cc = 0 và Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0)
c. Nếu thấy và không vuông góc thì (d) cắt ()
(Tức là Aa + Bb + Cc 0 thì (d) cắt ())
Đặc biệt : Nếu thấy và cùng phương (tức là = k) thì (d) ().