Toán học - Chủ đề 9: Một số ứng dụng của số phức

Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 1 
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 2 
MỤC LỤC 
CHỦ ĐỀ 9. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC....................................................................................................... 3 
Bài toán 1. Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình .............................................................................................. 3 
Bài toán 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh các công thức, đẳng thức lượng giác .......................................... 10 
Bài toán 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức .............................................................................................. 20 
Bài toán 4. Ứng dụng giải toán khai triển hay tính tổng nhị thức Niutơn ............................................................ 23 
Bài toán 5. Ứng dụng giải toán đa thức và phép chia đa thức .................................................................................. 27 
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 3 
CHỦ ĐỀ 9. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC 
Bài toán 1. Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình 
Xét hệ phương trình: 
f(x; y) g(x; y) (1)
h(x; y) k(x; y) (2)
 


Lấy (2) nhân i sau đó cộng (trừ) (1) vế theo vế ta được : f(x;y) h(x;y).i g(x;y) k(x;y).i (*)   
Đặt z x yi  , biểu diễn (*) thông qua các đại lương z,z,|z|,... 
I. Các ví dụ điển hình thường gặp 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
3 2
2 3
2x 6xy 5
.
6x y 2y 5 3
  

 
Giải 
Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai nhân i ta được 
   33 2 2 3 1 32x 6xy i 6x y 2y 5 5 3i x yi 5 i
2 2
 
         
 
 
z x yi   là một căn bậc ba của số phức 
1 3
5 i
2 2
 
 
 
 
Ta có: 
1 3 1 3
5 i 5 cos isin 5 i
2 2 3 3 2 2
     
               
 có ba căn bậc ba là 
3 3 3
0 1 0
7 7 13 13
z 5 cos isin , z 5 cos isin , z 5 cos isin
9 9 9 9 9 9
          
          
     
Vậy với 0 1 2z z ,z z ,z z   ta được nghiệm của phương trình là: 
3 3 3
3 3 3
7 13
x 5 cos x 5 cos x 5 cos
9 9 9, ,
7 13
y 5 sin y 5 sin y 5 sin
9 9 9
    
      
  
      
    
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:
3 2 2 2
3 2
x 3xy 3x 3y 3x 0
y 3x y 6xy 3y 1 0
     

    
 . 
Giải 
Hệ đã cho tương đương với 
   
 
3 2
2 3
x 1 3y x 1 1
3 x 1 y y 1
    

   
Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ 2 nhân i ta đươc 
     
3 22 3x 1 3y x 1 i 3 x 1 y y 1 i        
  
 
3
x 1 iy 1 i z x 1 iy         là một căn bậc 3 của 1 i . 
Ta có: 
1 i 2 cos isin
4 4
  
   
 
 nên 1 i có ba căn bậc ba là 
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 4 
6 6 6
0 1 2
3 3 17 17
z 2 cos isin , z 2 cos isin ,z 2 cos isin
4 4 4 4 4 4
          
          
     
Vậy với 0 1 2z z ,z z ,z z   ta được nghiệm của phương trình là: 
6 6 6
6 6 6
3 17
x 1 2 cos x 1 2 cos x 1 2 cos
12 4 12, ,
3 17
y 2 sin y 2 sin y 2 sin
12 4 12
    
            
  
      
    
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3x y
x 3 (1)
x y
x 3y
y (2)
x y
 
 


 
 
. 
Giải 
Cách 1. Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được 
       
2 2 2 2 2 2
3x y x 3y i 3 x yi x yi i
x yi 3 x yi 3(*)
x y x y x y
    
       
  
Đặt z x yi;x,y   . Lúc đó: 
   
2
3 i z 3 i z 2 i
(*) z 3 z 3
z 1 iz|z|
x 2
y 1x yi 2 i
x yi 1 i x 1
y 1
    
       
 
 

    
       
 
. 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:        x,y 2;1 , x,y 1; 1   . 
Cách 2. Ta thấy x 0,y 0  không là nghiệm của hệ phương trình 
 Nhân (1) với x , nhân (2) với y ta được 
2
2
2 2
2
2
2 2
3x xy
x 3x
x y
xy 3y
y 0
x y
 
 



 

 trừ vế theo vế ta được 2 2x y 3 3x (*)   
 Nhân (1) với y , nhân (2) với x ta được 
2
2 2
2
2 2
3xy y
xy 3y
x y
x 3xy
xy 0
x y
 
 



 

 cộng vế theo vế ta được 2xy 1 3y (*)  
Ta được hệ 
2 2x y 3 3x
2xy 1 3y
   

 
Đáp số:        x,y 2;1 , x,y 1; 1   
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 5 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: 
3 2 2 2
3 2 2 2
x 3xy x 1 x 2xy y (1)
y 3x y y 1 y 2xy x (2)
      

     
. 
Giải 
Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được 
       
   
       
3 2 3 2 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 2 2
3 2 2
x 3xy x 1 y 3x y y 1 i x 2xy y y 2xy x i
x 3x(yi) 3x (yi) (yi) x yi 1 i x 2xyi y 2xy x i y i
x yi x yi i 1 x yi x yi i (*)
            
             
         
Đặt z x yi; x,y   . Lúc đó phương trình (*) trở thành 
     3 2
z 1
z 1 i z z 1 i 0 z 1 z 1 z 1 i 0 z 1
z 1 i
x 1 x 1 x 1
y 0 y 0 y 1
 

              
  
     
    
    
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là            x;y 1;0 ; x;y 1;0 ; x;y 1;1    . 
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y : 
12
x 1 2
3x y
12
y 1 6
3x y
  
   
  

      
. 
Giải 
Điều kiện: 
x 0
y 0
y 3x
 


  
 . Đặt  u 3x,v y u,v 0   . 
Hệ đã cho có dạng: 
2 2
2 2
12
u 1 2 3
u v
12
v 1 6
u v
  
   
  

      
. Đặt z u iv  . Ta có
2 2
1 u vi
z u v



. 
Từ hệ đã cho ta có 
 
2 2 2
2 2
2
12 12
u 1 iv 1 2 3 6
u v u v
u iv 12
u iv 12 2 3 6i z 2 3 6i
zu v
z 2 2 3iz 12 0 ,(*)
   
       
    

        

    
Giải phương trình (*), ta có  
2
' 6 6 3i 3 3 i     suy ra các nghiệm: 
   z 3 3 3 3 i,z 3 3 3 3 i        
Vì u,v 0 nên ta có: u 3 3,v 3 3    , suy ra nghiệm của hệ là: 
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 6 
   x;y 4 2 3;12 6 3 .   
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình trên tập số phức: 
  
  
  
x x y x z 3
y y x y z 3
z z x z y 3
   

  

  
. 
(Đề thi học sinh giỏi Romania năm 2002) 
Giải 
Xét hệ phương trình 
    
    
    
x x y x z 3, 1
y y x y z 3, 2
z z x z y 3, 3
   

  

  
Rõ ràng x,y,z 0 và x,y,z đôi một khác nhau. 
Từ (1) và (2) ta có          x x y x z y y x y z x x z y y z          
Hay 2 2x y xz yz.   
Tương tự hệ đã cho trở thành 
2 2
2 2
2 2
x y xz yz
y z yx zx
z x zy xy
   

  

  
 (4) 
Cộng vế với vế ta được 2 2 2x y z xy yz zx.     
Kết hợp với (4) ta có: 2 2 2x yz,y zx,z xy.   Suy ra 2 2 2x y z xyz.   
Đặt a xyz thì từ 2 2 2x y z xyz a    và x,y,z đôi một khác nhau nên 
23 3 3x a ,y a ,z a     với 3 21,1 0.       
Mà   x x y x z 3   nên   2a 1 1 3.     
Ta có   2 2 31 1 1 3           nên a=1 
Vậy các số phức  x,y,z cần tìm là các hoán vị của 2(1, , ).  
II. Bài tập rèn luyện 
Bài tập 1. Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực: 
3 2
3 2
x 3xy 1
y 3x y 3
   

  
. 
Hướng dẫn giải 
Đây là hệ đẳng cấp bậc ba. tuy nhiên, nếu giải bằng phương pháp thông thường ta sẽ đi đến giải 
phương trình bậc ba: 3 23t 3t 3 3t 1 0    
Phương trình này không có nghiệm đặc biệt! 
Xét số phức z x iy  . Vì  3 3 2 2 3z x 3xy i 3x y y    ,nên từ hệ đã cho ta có 
3 2 2z 1 3i 2 cos isin
3 3
  
     
 
, tương tự cách làm ở chương 1, ta tìm được 3 giá trị của z là: 
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 7 
3 2 22 cos isin
9 9
  
 
 
, 3
8 8
2 cos isin
9 9
  
 
 
, 3
14 14
2 cos isin
9 9
  
 
 
Từ đó suy hệ đã cho có 3 nghiệm là: 
3 3 3
3 3 3
2 8 14
x 2 cos x 2 cos x 2 cos
9 9 9; ;
2 8 14
y 2 cos y 2 sin y 2 sin
9 9 9
    
      
  
      
    
Bài tập 2. Giải hệ phương trình trong tập số thực: 
4 2 2 4
3 3
x 6x y y 3
1
x y y x
4
   


 

. 
Hướng dẫn giải 
Xét số phức z x iy.  
Vì  4 2 2 4 3 3z 6x y y 4i x y y x     , nên từ hệ đã cho suy ra: 
4z 3 i 2 cos isin
6 6
  
    
 
 (*) 
Các số phức thỏa mãn (*): 
4 4
4 4
13 13
2 cos isin , 2 cos isin
24 24 24 24
25 25 37 37
2 cos isin , 2 cos isin
24 24 24 24
      
    
   
      
    
   
Vậy các nghiệm cần tìm của hệ là: 
4 4 4 4
4 4 4 4
13 25 37
x 2 cos x 2 cos x 2 cos x 2 cos
24 24 24 24; ; ;
13 25 37
y 2 sin y 2 sin y 2 sin y 2 sin
24 24 24 24
      
         
   
         
      
Bài tập 3. Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y R : 
2 2
2 2
16x 11y
x 7
x y
11x 16y
y 1
x y
 
 


   
 
. 
Lời giải 
Điều kiện 2 2x y 0.  Đặt z x iy  . Ta có: 
2 2
x yi1
.
z x y



Vì hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nên hệ đã cho 
tương đương với: 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2
16x 11y 11x 16y
x i y 7 i
x y x y
x iy x iy
x iy 16 11i 7 i
x y x y
16 11i
z 7 i z 7 i z 16 11i 0
z
  
     
   
 
     
 

         
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 8 
Phương trình  2z 7 i z 16 11i 0     có hai nghiệm z 2 3i,z 5 2i    nên hệ đã cho có các nghiệm 
   x;y 2; 3  hoặc    x;y 5;2 . 
Chú ý: Muốn giải được các hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng số phức, cần nhớ một công 
thức cơ bản của số phức, đăc biệt là với mỗi số phức z x iy  thì ta có 2 2x y là bình phương mođun 
và 
2 2
x iy1 z
z zz x y

 

. 
Bài tập 4. Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y : 
3
10x 1 3
5x y
3
y 1 1
5x y
  
   
  

       
. 
Hướng dẫn giải 
Từ hệ suy ra x 0, y 0.  
Bài hệ này không có ngay dàng giống ví dụ trên, tuy nhiên với mục đích chuyển mẫu số về dạng nình 
phương mođun của số phức, chỉ cần đặt u 5x,v y  với u,v 0. 
Hệ đã cho có dạng: 
2 2
2 2
3 3
u 1
2u v
3
v 1 1
u v
  
   
  

       
Đặt z u iv  . Ta có: 
2 2
1 u iv
.
z u v



Hệ đã cho tương đương với: 
 
2 2 2 2
2 2
2
3 3 3
u 1 iv 1 i
2u v u v
u iv 3 3 3 2 2i
u iv 3 i z
z 22u v
2z 3 2 2i z 6 0,(*)
   
       
    
 
       

    
Giải phương trình (*), ta có  
2
' 34 12 2i 2 6i      suy ra các nghiệm là 
2 2i
z 2 2i,z .
2

   
Vì u,v 0 nên 
2 2i
z
2

 do đó 
2 1
u ,v 1 x ,y 1.
2 10
     
Vậy nghiệm cần tìm là  
1
x; y ;1 .
10
 
  
 
Bài tập 5. Giải hệ phương trình: 
 
4 4 3 2
22 2 3 3 2
x y 4x 3xy 2x 4y 0
2x y 3x y 2xy 3y 2x 1 1 2y 4y
      

       
. 
Hướng dẫn giải 
Hệ phương trình đã cho tương đương với 
      
       
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y 3x x y 2 x 2y 0
2xy x y 3y x y 4 x y 2 2x y 0
       


       

Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 9 
Nhận thấy x y 0  là một nghiệm của hệ phương trình 
Nếu 2 2x y 0  thì hệ đã cho viết thành 
2 2
2 2
2 2
x 2y
x y 3x 2. 0
x y
2x y
2xy 3y 4 2. 0
x y
 
   


    
 
Suy ra: 
2 2
2 2 2 2
x 2y 2x y
x y 3x 2. i 2xy 3y 4 2. 0
x y x y
  
        
   
   
2
2 2 2 2
x iy y ix
x yi 3 x yi 2 4. 4i 0
x y x y
 
       
 
Đặt 
2 2 2 2
x iy y ix1 i
z x yi ,
z zx y x y
 
    
 
 ta có phương trình 
  
2 3 2
2
2 4i
z 3z 4i 0 z 3z 4iz 2 4i 0
z z
z 1
z 1 z 2z 4i 2 0 z 3 i
z 1 i
          
 

        
   
Với z 1 ta được nghiệm của hệ là 
x 0
y 0
 


Với z 3 i  ta được nghiệm của hệ là 
x 3
y 1
 

 
Với z 1 i   ta được nghiệm của hệ là 
x 1
y 1
  


Bài tập 6. Giải hệ phương trình: 
1
3x 1 2
x y
1
7y 1 4 2
x y
  
   
  

      
(Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1996) 
Hướng dẫn giải 
Từ hệ suy ra x 0,y 0.  
Đặt  u x,v y, u,v 0 .   
Hệ đã chho có dạng: 
2 2
2 2
1 2
u 1
3u v
1 4 2
v 1
7u v
  
   
  

      
Đặt z u iv.  
Ta có: 
2 2
1 u iv
.
z u v



Hệ đã cho tương đương với: 
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 10 
2 2
2
u iv 2 4 2 1 2 4 2
u iv i z i
z3 7 3 7u v
2 4 2
z i z 1 0,(*)
3 7

       

 
     
 
 
Giải (*): Vì 
2 2
2 4 2 4
i 4 2 2i
3 7 21
   
            
nên các nghiệm: 
1 2 2 2 1 2 2 2
z i 2i 2 i
3 7 21 3 21 7
1 2 2 2 1 2 2 2
z i 2i 2 i
3 7 21 3 21 7
  
              
  
              
Ta có nghiệm u,v và do đó nghiệm của hệ là: 
22
1 2 2 2
x & y 2
3 21 7
  
       
   
hoặc 
1 2 2 2
x & y 2
3 21 7
  
       
   
Bài toán 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh các công thức, đẳng thức lượng giác 
Phương pháp 
Cho dạng lượng giác số phức  z r cos isin   ;  1 1 1 1z r cos isin    ;  2 2 2z r cos isin    . 
Ta có các công thức sau: 
1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
z r
z .z r r cos( ) icos( ) ; cos( ) icos( )
z r
                  
Công thức Moa-vrơ : n nz r cos(n ) isin(n )      
Nếu 1 1 1 2 2 2z a b i; z a b i;    với 1 2 1 2a , a , b , b  . Lúc đó 
1 2
1 2
1 2
a a
z z
b b
 
  

I. Các ví dụ điển hình thường găp 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 
3 3sin3 3sin 4sin ; cos3 3cos 4cos         
Giải 
Đặt z cos isin   . Ta có: 
     
   
 
3 2 33 3 2
3 2 2 3
3 3
z cos isin cos 3cos .i.sin 3cos . isin isin
cos 3i 1 sin sin 3cos 1 cos i.sin
4cos 3cos i 3sin 4sin (1)
             
           
       
Mặt khác: 3z cos3 isin3 (2)   . 
Từ (1) và (2) ta được: 3 3sin3 3sin 4sin ; cos3 3cos 4cos         
Nhận xét: Ta có bài toán tổng quát sau: Biểu diễn cosnx; sinnx theo các lũy thừa của cosx; sinx vơi n là 
số nguyên dương bất kỳ. 
Áp dụng công thức Moivre ta có  
n
cosx isinx cosnx isinnx   
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 11 
Mặt khác, theo công thức khai triển nhị thức Newton: 
 
n 0 n 1 n 1 2 2 n 2 2
n n n
3 3 n 3 3 n 1 n 1 n 1 n n n
n n n
cosx isinx C cos x iC cos xsinx i C cos xsin x
i C cos xsin x ... i C cosxsin x i C sin x
 
   
   
   
Từ đó suy ra: 
0 n 2 n 2 2 4 n 4 4
n n n
1 n 1 3 n 3 3
n n
cosnx C cos x C cos xsin x C cos xsin x ... M
sinnx C cos xsinx C cos xsin x ... N
 
 
    
   
Trong đó: 
   
   
m 2m
m 2m 2m
2m 1
1 sin x, n 2m
M , m
1 C cosxsin x, n 2m 1


  
 
   
   
   
m 1 2m 1 2m 1
2m
m 2m 1
1 C cosxsin x, n 2m
N , m
1 sin x, n 2m 1
  


  
 
   
Cụ thể: Với n 4 ta có: 
0 4 2 2 2 4 4 4 2
4 4 4
1 3 3 3 3 3
4 4
cos4x C cos x C cos xsin x C sin x 8cos x 8cos x 1
sin4x C cos xsinx C cosxsin x 4cos xsinx 4cosxsin x
     
   
Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 
a) 
3 5 1
cos cos cos
7 7 7 2
  
   ; b) 
3 5 1
sin sin sin cot .
7 7 7 2 14
   
   
Giải 
Xét z cos isin .
7 7
 
  Ta có 
3 5 3 5 3 5z z z cos cos cos i sin sin sin
7 7 7 7 7 7
      
        
 
Mặt khác: 
7
3 5
2 2
2
2
z z 1 z 1 1
z z z
1 zz 1 z 1 1 cos isin
7 7
1 cos isin
1 17 7 i cot
2 2 14
1 cos sin
7 7
  
     
    
 
 

  
  
  
 
Từ (1) và (2) suy ra: 
3 5 1
cos cos cos
7 7 7 2
  
   và 
3 5 1
sin sin sin cot .
7 7 7 2 14
   
   
Ví dụ 3. Cho 
2 6
sina sin b ,cosa cosb
2 2
    . Tính  sin a b . 
Giải 
Đặt 1 2z cosa isina,z cosb isinb    . Khi đó: 
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 12 
1 2
6 2
z z i 2 cos isin
2 2 6 6
  
     
 
1 2
6 2
z z i 2 cos isin
2 2 6 6
  
     
 
Mà 
2 2
1 1 1 2 2 2z z z 1,z z z 1    nên 
1 2
1 2
1 2 1 2
z z1 1
z z
z z z z

    , 
suy ra: 
1 2
1 2
1 2
cos isin cos isinz z 6 6 6 6z z cos isin
3 3z z cos isin cos isin
6 6 6 6
   
   
    
             
   
Ta lại có    1 2z .z cos a b isin a b    nên 
3
sin(a+b) sin
3 2

  . 
Chú ý: Ta cũng có kết quả  
1
cos a b cos
3 2

   . 
Ví dụ 4. Tính tổng với n  và  a 2k k :   
     
     
A cosx cos x a cos x 2a ... cos x na
B sinx sin x a sin x 2a ... sin x na
       
       
Giải 
Đặt z cosx isinx,w cosa isina.    Theo công thức nhân và cộng thức Moivre ta có: 
  
      
     
        
kk
k
zw cosx isin x cosa isina
zw cosx isin x coska isin ka cos x ka isin x ka .
Xeùt A iB cosx isin x cos x a isin x a
cos x 2a isin x 2a ... cos x na isin x na
  
      
         
            
n 1
2 n 1 wz zw zw ... zw z
1 w

     

 (Vì a 2k  nên w 1 ). 
Vậy  
   n 1 1 cos n 1 a isin n 1 a1 w
A iB z cosx isinx
1 w 1 cosa isina
    
   
  
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 13 
 
 
 
n 1 n 1 n 1
sin a sin a icos a
2 2 2
cosx isin x
a a a
sin sin icos
2 2 2
n 1
sin a
n 1 n 1 a a2 sin a icos a sin icos cosx isin x
a 2 2 2 2
sin
2
n 1
sin a
na na2 cos isin cosx isin x
a 2 2
sin
2
n 1
sin a
na2 cos x
a 2
sin
2
   
 
  
 
 
 

   
     
  

 
   
 


 

na
isin x
2
   
     
   
Xét phần thực và phần ảo của hai vế ta được: 
n 1 n 1
sin a sin a
na na2 2A cos x ; B sin x
a a2 2
sin sin
2 2
 
   
      
   
Nhận xét: Từ hai loại công thức trên, xét các trường hợp riêng: 
a) Nếu x 0 thì suy ra: 
 
n 1
sin a
na21 cosa cos2a .... cosna cos
a 2
sin
2

     
 
n 1
sin a
na2sina sin 2a ... sin 3a ... sin na sin
a 2
sin
2

      
b) Nếu x 2a thì ta có: 
  
 sin2 n 1 a
cosa cos3a cos5a ... cos 2n 1 a
2sina

      
  
 2sin n 1 a
sina sin3a sin5a ... sin 2n 1 a
sina

      
Ví dụ 5. Chứng minh các công thức: 
0 05 1 5 1a) sin18 ; b) cos36 .
4 4
 
  
Giải 
Ta có: 
   0 0 0 0
3 0 0 0 0
2 0 2 0
cos54 sin 36 cos 3.18 sin 2.18
4cos 18 3cos18 2sin18 cos18
4sin 18 2sin 18 1 0
  
  
   
Chuyên đề: Số phức 
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội. SĐT: 01234332133 Page 14 
Do đó 0sin18 là nghiệm dương của phương trình 24x 2x 1 0.   
Vậy 0
5 1
sin18
4

 suy ra 0 2 0
5 1
cos36 1 2sin 18 .
4

   
Nhận xét: Áp dụng công thức 0
5 1
sin18
4

 ta tính được biểu thức 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1sin2 sin18 sin22 sin38 sin42 sin58 sin62 sin78 sin82
1024

 
Để làm được bài toán này trước hết ta chứng minh công thức sau: 
   0 0 1sinasin 60 a sin 60 a sin3a.
4
   
Thật vậy: 
   
  
 
0 0
0 0 0 0
2 2 2 2
sinasin 60 a sin 60 a
sina sin60 cosa sinacos60 sin60 cosa sinacos60
3 1 3 1
sina cosa sina cosa sina
2 2 2 2
3 1 3 1
sina cos a sin a sina 3 1 sin a sin a sin 3a.
4 4 4 4
 
  
  
    
  
