Toán 9 - Đường tròn

Trần Lê Quyền
(Tổng hợp và trình bày LATEX)
Toán 9 - Đường tròn
Nhận đánh máy LATEX tài liệu, bài giảng, tiểu luận,
luận văn. . . theo yêu cầu
Liên hệ:
\ Thầy Quyền - Quận 6, TP HCM - 0122 667 8435
\ Page: Casiotuduy - https://www.facebook.com/casiotuduy
\ Mua trà giảm béo của Học Viện Quân Y - 0979 118 113 (free ship)
Tháng 12 năm 2017
Chương 2
Đường tròn
2.1 Sự xác định của đường tròn
Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng cách không đổi r được
gọi là đường tròn tâm O bán kính r, kí hiệu là (O; r). Các tính chất:
1) A ∈ (O; r)⇔ OA = r.
2) Nếu ∆ABC vuông tại A thì ba điểm A,B,C thuộc đường tròn đường kính BC.
3) Xét đường tròn (O),{
A ∈ (O)
BC là đường kính
⇒ ∆ABC vuông tai A
4) Xét đường tròn (O),{
A,B,C ∈ (O)
∠A = 90◦
⇒ BC là đường kính.
Bài 1. Cho ∆ABC có ba góc nhọn, các đường cao AH,BK (H ∈ BC,K ∈ CA) cắt
nhau tại I. Chứng minh rằng
a) C,K, I,H cùng thuộc một đường tròn;
b) A,K,H,B cùng thuộc một đường tròn.
1
GV. Trần Lê Quyền
Bài 2. Cho ∆ABC có đường cao AH, gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của
AB,AC,HC,HB. Chứng minh M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có ∠C +∠D = 90◦. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm
của AB,BD,DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một
đường tròn.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD có ∠A = 60◦. Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB,BC,CD,DA. Chứng minh 6 điểm E,F,G,H,B,D cùng nằm trên
một đường tròn.
Bài 5. Cho hình thoi ABCD. Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt
AC tại F . Chứng minh E,F lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác
ABC và ABD.
Bài 6. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm ba cạnh AB,AC,BC của tam giác đều
ABC. Chứng minh B,M,N,C cùng thuộc một đường tròn.
Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD,AB < CD) có ∠C = ∠D = 60◦, CD = 2AD.
Chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn.
Bài 8. Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. M,N,R và S lần
lượt là hình chiếu của O trên AB,BC,CD và DA. Chứng minh 4 điểm M,N,R và
S cùng thuộc một đường tròn.
Bài 9. Cho đường tròn (O; r) đường kính MN , trên (O) lấy tùy ý các điểm A,B,C.
Chứng minh các tam giác AMN,BMN,CMN đều là các tam giác vuông.
Bài 10. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA.
Bán kính OC của đường tròn (O) cắt đường tròn (I) tại D. Vẽ CH ⊥ AB. Chứng
minh tứ giác ACDH là hình thang cân.
Bài 11. Cho ∆ABC có ba góc nhọn, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB,AC
lần lượt tại D và E,BE cắt CD tại H.
a) Chứng minh tam giác BDC vuông;
b) Chứng minh AH ⊥ BC;
c) Chứng minh D,A,E,H cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I và vẽ
đường tròn đó;
d) Chứng minh OE ⊥ EI.
Bài 12. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) có BC là đường kính. Kéo dài BA một
đoạn AD = AB. Chứng minh ∆ABC cân.
Bài 13. Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; r) có AD là đường kính.
Gọi H là trực tâm của ∆ABC.
https://www.facebook.com/casiotuduy 2
GV. Trần Lê Quyền
a) Chứng minh BH ‖ CD;
b) Tứ giác DBHC là hình bình hành;
c) Vẻ OI ⊥ BC tại I chứng minh H, I,K thẳng hàng;
d) Giả sử BC = R
√
3, tính BH theo r.
Bài 14. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O; r) có ∠A = 90◦.
a) Chứng minh BC là đường kính;
b) Cho AB = 6 cm, AC = 8 cm, tính R.
Bài 15. Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (I) đường kính AO, C
là điểm bất kỳ trên (O), AC cắt (I) tại D. Chứng minh rằng
a) ∆ABC, ∆ADO là các tam giác vuông;
b) D là trung điểm của AD;
c) OD ‖ BC, ID ‖ OC.
Bài 16. Cho ∆ABC cân, nội tiếp đường tròn (O), chứng minh OA ⊥ BC.
Bài 17. Cho đường tròn (O; r) đường kính AB và một điểm C trên (O), phân giác
của ∠CAB cắt (O) tại M,BM cắt AC tại N .
a) Chứng minh ∆ABN cân;
b) Cho R = 2, 5 cm, AC = 4 cm, tính BC;
c) Tính diện tích các tam giác ABC,ABN .
Bài 18. Cho ∆ABC cân tại A, vẽ đường tròn (I) đường kính LK cắt AB,BC lần
lượt tại L và K, AK cắt CL tại H.
a) Chứng minh K là trung điểm BC;
b) Chứng minh BH ⊥ AC.
Bài 19. Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao, đường tròn (I) đường kính
BH cắt AB tại D, đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại E. Chứng minh rằng
a) ADHE là hình chữ nhật;
b) AD.AB = AE.AC.
https://www.facebook.com/casiotuduy 3
GV. Trần Lê Quyền
2.2 Đường kính và dây cung của đường tròn
Dây cung của một đường tròn là đoạn thẳng nối hai điểm thuộc đường tròn đó.
Đường kính là một dây cung đi qua tâm của đường tròn. Các tính chất:
1) Xét đường tròn (O),{
OH là một phần đường kính
OH ⊥ AB tại H
⇒ H là trung điểm AB.
2) Xét đường tròn (O),{
OH là một phần đường kính
H là trung điểm AB
⇒ OH ⊥ AB tại H.
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC, vẽ đường tròn
(I) đường kính AO cắt AB,AC lần lượt tại D,E. Chứng minh rằng
a) ∆ADO vuông;
b) D là trung điểm AB;
c) DE ‖ BC.
Bài 2. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O),∠A = 90◦.
a) Xác định vị trí tâm O trên cạnh BC;
b) Gọi D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC. Tứ giác ADOE là hình gì?
Bài 3. Cho (O) đường kính BC, qua trung điểm H của BO vẽ dây MN ⊥ OB. Tứ
giác BNOM là hình gì?
Bài 4. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và
B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M .
a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
b) Giả sử R = 6, 5 cm,MA = 4 cm. Tính CD.
https://www.facebook.com/casiotuduy 4
GV. Trần Lê Quyền
c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh
MH.MK =
MC3
2R
.
Bài 5. Cho đường tròn (O;R) và hai dây AB,CD bằng nhau và vuông góc với nhau
tại I. Giả sử IA = 2 cm, IB = 4 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây
Bài 6. Cho đường tròn (O;R). Vẽ hai bán kính OA,OB. Trên các bán kính OA,OB
lần lượt lấy các điểm M,N sao cho OM = ON . Vẽ dây CD đi qua M,N (M ở giữa
C và N).
a) Chứng minh CM = DN .
b) Giả sử ∠AOB = 90◦. Tính OM theo R sao cho CM = MN = ND.
Bài 7. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
OA,OB. Qua M,N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng
nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB).
a) Chứng minh tứ giác CDEF là hình chữ nhật.
b) Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc ∠30◦. Tính diện tích hình chữ
nhật CDFE.
Bài 8. Cho (O; r) đường kính AB và M là trung điểm của AO. Vẽ dây CD ⊥ OA
tại M .
a) Chứng minh tứ giác OCAD là hình thoi;
b) Gọi S là trung điểm của BC, chứng minh D,S,O thẳng hàng;
c) Tính các góc và các cạnh của ∆ABC theo r;
d) Chứng minh CO ⊥ DB.
Bài 9. Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn đường tròn (O) có AD là
đường kính. Gọi H là trực tâm của ∆ABC
a) Chứng minh BH ‖ CD,CH ‖ CD;
b) Vẽ OI ⊥ BC (I ∈ BC), chứng minh H, I,D thẳng hàng.
Bài 10. Cho ∆ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn (O; r).
a) Xác định vị trí tâm O trên cạnh BC;
b) Vẽ đường tròn (I) đường kính AO cắt AB,AC,BC lần lượt là tại D,E,H.
Chứng minh AH là đường cao và ED là đường trung bình của ∆ABC;
c) Tính các cạnh và các góc của ∆ABC theo r.
https://www.facebook.com/casiotuduy 5
GV. Trần Lê Quyền
Bài 11. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và đường tròn (I; r) đường kính
AO,C là điểm bất kỳ trên đường tròn (O), AC cắt (I) tại D.
a) Chứng minh ∆ABC vuông, ∆ADO vuông;
b) Chứng minh D là trung điểm AC;
c) Chứng minh ID ‖ OC;
d) ID cắt (I) tại F,AF cắt (O) tại K. Chứng minh K,O,C thẳng hàng và ba
đường thẳng AO,CF,KD đồng qui.
Bài 12. Cho đường tròn (O; r) có hai bán kính OA,OB vuông góc nhau, M là trung
điểm AB.
a) Chứng minh OM ⊥ AB;
b) Tính OM,AB theo r;
c) Cho AB di động sao cho OM ⊥ AB. Chứng minh M chạy trên một đường tròn
cố định.
Bài 13. Cho đường tròn (O; r) đường kính BC vuông góc với dây AD tại H.
a) Chứng minh các ∆ABD,ACD cân;
b) Cho r = 5 cm, AC = 8 cm, tính AB,AD.
Bài 14. Cho đường tròn (O) và một dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M ,
cắt (O) tại H. Tính bán kính R của (O) biết: CD = 16 cm,MH = 4 cm.
Bài 15. Cho đường tròn (O; 12 cm) có đường kính CD. Vẽ dây MN qua trung điểm
I của OC sao cho ∠NID = 30◦. Tính MN .
Bài 16. Từ điểm A trên đường tròn (O; r) vẽ hai dây cung AB,AC vuông góc nhau.
a) Chứng minh B,O,C thẳng hàng;
b) Vẽ OM ⊥ AB,QN ⊥ AC (M ∈ AB,N ∈ AC); chứng minh MN ‖ BC và tính
MN theo r.
Bài 17. Cho đường tròn (O; r) và hai dây cung AB,CD bằng nhau sao cho AB,CD
kéo dài cắt nhau tại S nằm ngoài đường tròn. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
AB,CD. Chứng minh rằng
a) OI ⊥ AB,OJ ⊥ CD;
b) SI = SJ .
Bài 18. Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), AH là đường cao, AM là đường trung
tuyến. Đường tròn (T ) đường kính MC cắt tia AM tại E.
https://www.facebook.com/casiotuduy 6
GV. Trần Lê Quyền
a) Chứng minh MI ‖ AB và I là trung điểm AC;
b) Chứng minh A,M,H, I cùng thuộc một đường tròn;
c) Chứng minh A,E,H,C cùng thuộc một đường tròn;
d) Gọi K là giao điểm của AH và CE, chứng minh K,M, I thẳng hàng và ∆KAC
cân.
2.3 Dấu hiệu tiếp tuyến - Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
1. Tiếp tuyến của đường tròn (O) là đường thẳng chỉ có một điểm chung với (O).
Điểm chung đó được gọi là tiếp điểm. Các tính chất:
1) Xét (O), {
a là tiếp tuyến của (O)
H là tiếp điểm
⇒ a ⊥ OH tại H
2) Xét (O), {
a ⊥ OH tại H
H là tiếp điểm
⇒ a là tiếp tuyến của (O)
3) Nếu AB,AC là hai tiếp tuyến của (O) thì ta có
AB = AC
OA là tia phân giác của ∠BOC
AO là tia phân giác của ∠BAC
2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
• Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường
tròn đó.
• Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
• Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.
Bài 1. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến MA. Trên đường tròn, lấy
điểm B sao cho MA = MB, chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB; đường cao BH của
∆ABO cắt (O) tại C. Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).
Bài 3. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AM,AN . Đường thẳng
vuông góc với AM tại A cắt tia ON tại S. Chứng minh SO = SA.
https://www.facebook.com/casiotuduy 7
GV. Trần Lê Quyền
Bài 4. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB,AC đến (O). Gọi
BD là đường kính của (O).
a) Chứng minh OA ⊥ BC,OA ‖ DC;
b) Trung trực của BD cắt AC tại tại S. Chứng minh ∆ASO cân.
Bài 5. Cho đường tròn (O; r) đường kính AB với Ax,By là hai tiếp tuyến của (O),
tiếp tuyến tại điểm M trên đường tròn (O) cắt Ax,By tại C,D.
a) Chứng minh CD = CA + DB và ∆COD vuông,
b) Chứng minh AC.BD = r2;
c) Cho ∠MAB = 60◦, chứng tỏ ∆BMD đều và tính SBMD theo r.
Bài 6. Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O; r) lấy điểm A sao cho MA = r.
Trên (O), lấy N sao cho AN = r (N 6= M). Chứng minh rằng
a) ∆AMO vuông cân và AN là tiếp tuyến của (O);
b) AMNO là hình vuông.
Bài 7. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; r) lấy hai điểm B,C (B 6= C) sao
cho AB = AC = r.
a) Chứng minh các ∆ABO,BCO vuông cân;
b) Tính OB,OC theo r, rồi suy ra B,C di động trên một đường tròn cố định khi
A thay đổi trên (O).
Bài 8. Cho đường tròn (O; r) và dây cung MN không đi qua tâm O, vẽ OH ⊥MN
tại H. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt tia OH tại A.
a) Chứng minh AN là tiếp tuyến của (O);
b) Vẽ đường kính NE, chứng minh ME ‖ OA.
Bài 9. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O; r) với OA = 2r. Vẽ tiếp tuyến AB đến
(O), B là tiếp điểm
a) Tính các góc của ∆AOB và tính độ dài AB theo r;
b) Đường thẳng chứa đường cao BH của ∆ABO cắt (O) tại C. Chứng minh AC
là tiếp tuyến của (O);
c) Chứng minh ∆ABC đều, tính SABC theo r;
d) Trung trực của đường kính CD cắt BD tại E, tính AE theo r.
Bài 10. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; r) lấy điểm I sao cho AI = r
√
3.
https://www.facebook.com/casiotuduy 8
GV. Trần Lê Quyền
a) Tính số đo các góc của ∆AOI theo r;
b) Kéo dài đường cao AH của ∆AOI cắt (O) tại B. Chứng minh IA = IB và IB
là tiếp tuyến của (O);
c) Chứng minh ∆AIB đều và tính SOAIB theo r.
Bài 11. Trên đường tròn (O) đường kính BC lấy điểm A.
a) Chứng minh ∆ABC vuông;
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC kéo dài tại I, chứng minh IA2 =
IB.IC;
c) Cho AB = r, tính AC, IA, IB, IC theo r.
Bài 12. Cho ∆ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O là
tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AHE.
a) Chứng minh ED = 12 .BC và HB.HE = HA.HD;
b) Chứng minh BH.BE = 2BD2;
c) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của (O).
d) Tính DE biết DH = 2 cm, HA = 6 cm.
Bài 13. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O; r) với OA = 2r, từ A vẽ hai tiếp tuyến
AB,AC đến (O).
a) Chứng minh ∆ABC đều, tính cạnh của nó theo r;
b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OB, cắt AC tại K. Chứng minh ∆KAO
cân;
c) AO cắt (O) tại I, chứng minh KI là tiếp tuyến của (O), tính KI theo r;
d) Tia đối của tia OA cắt (O) tại D, chứng minh ABDC là hình thoi.
Bài 14. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O) với OA = r
√
2. Từ A vẽ hai tiếp tuyến
AB,AC đến (O) (B,C ∈ (O))
a) Chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông;
b) OA cắt BC tại H và cắt cung BI tại I. Tính OH, IB, IH theo r.
Bài 15. Cho AB,AC là hai tiếp tuyến vẽ từ A của đường tròn (O; r). Cho M di
động trên cung nhỏ BC, từ M kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB,AC tại D,E.
a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC;
b) Chứng minh ∆ADE có chu vi không đổi khi M di động.
https://www.facebook.com/casiotuduy 9
GV. Trần Lê Quyền
Bài 16. TừM bên ngoài đường tròn (O; r) vẽ hai tiếp tuyếnMA,MB đến (O) (A,B ∈
(O)), BC là đường kính.
a) Chứng minh OM ⊥ AB,OM ‖ AC;
b) Trung trực của BC cắt đường thẳng AC tại D; chứng minh MD = r và tứ giác
MDAO là hình thang cân;
c) Khi M di động sao cho ∆MAB luôn đều thì D di động trên đường nào?
Bài 17. Cho ∆MAB vuông tại M nội tiếp đường tròn (O) và có ∠A = 60◦
a) Chứng minh ba điểm O,A,B thẳng hàng, tính MA,MB theo r;
b) Tiếp tuyến tại M cắt AB tại I và cắt trung trực của AB tại K. Chứng minh
IK2 = IA.IB?;
c) Tính độ dài các cạnh của ∆OIK theo r và chứng minh IM = 3.MK;
d) BM cắt OK tại C, chứng minh ∆CKM đều, AC ⊥ OM và MB = 3MC.
Bài 18. Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C bất kì trên (O), tiếp tuyến
tại A của (O) cắt BC tại D, gọi M là trung điểm của AD
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O);
b) OM cắt AC tại I. Khi C di động, chúng tỏ I di động trên một đường tròn cố
định;
c) Cho BC = r, tính SCAD, SOACM theo r.
2.4 Vị trí tương đối của hai đường tròn
1. Tính chất đường nối tâm:
• Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai
đường tròn đó.
• Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường
nối tâm.
• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
2. Vị trí tương đối của hai đường tròn: Cho hai đường tròn (O;R) và (O′; r) (R > r),
đặt OO′ = d. Ta có các trường hợp sau:
Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm
chung
Liên hệ giữa R, r, d
https://www.facebook.com/casiotuduy 10
GV. Trần Lê Quyền
Hai đường tròn cắt nhau 2 R− r < d < R + r
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài 1 d = R + r
Hai đường tròn tiếp xúc trong 1 d = R− r
Hai đường tròn ở ngoài nhau 0 d > R− r
(O′) chứa trong (O) 0 d < R− r
Bài 1. Cho hai đường tròn (A;R1), (B;R2) và (C;R3) đôi một tiếp xúc ngoài nhau.
Tính R1, R2 và R3 biết AB = 5 cm, AC = 6 cm và BC = 7 cm.
Bài 2. Cho hai đường tròn (O; 5 cm) và (O′; 5 cm) cắt nhau tại A và B. Tính độ dài
dây cung chung AB biết OO′ = 8 cm.
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A và B. Vẽ cát tuyến chung
MAN sao cho MA = AN . Đường vuông góc với MN tại A cắt OO′ tại I. Chứng
minh I là trung điểm của OO′.
Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O′) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Gọi M là giao
điểm một trong hai tiếp tuyến chung ngoài BC và tiếp tuyến chung trong. Chứng
minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO′ tại M .
Bài 5. Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (I) đường kính OA
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn đó;
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh AC = AD.
Bài 6. Cho hai đường tròn (O), (O′) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC, B ∈ (O), C ∈ (O′), tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài
BC tại I.
a) Chứng minh rằng ∠BAC = 90◦;
b) Tính ∠OIO′;
c) Tính BC biết OA = 3 cm, O′A = 4 cm.
Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính BD, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi
E,F theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ H đến AB,AC. Gọi (I), (K) lần lượt là
các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE,HCF .
a) Xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O), (O) và (K), (I) và
(K);
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC;
d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (K);
https://www.facebook.com/casiotuduy 11
GV. Trần Lê Quyền
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Bài 8. Cho hai đường tròn (O), (O′) tiếp xúc ngoài tại A,BC là tiếp tuyến chung
ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O′). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở M . Gọi E là giao
điểm của OM và AB, F là giao điểm của O′M và AC. Chứng minh rằng
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật;
b) ME.MO = MF.MO′;
c) OO′ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC ′;
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO′.
Bài 9. Cho hai đường tròn (O;R) và (O′; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là
trung điểm OO′, kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A cắt các đường tròn (O) và
(O′) theo thứ tự tại C,D (khác A)
a) Chứng minh rằng AC = AD;
b) Gọi K là điểm đối xứng với A qua I. Chứng minh ∠ABK = 90◦.
2.5 Bài tập ôn chương II
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ đường phân giác BI.
a) Chứng minh rằng đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC.
b) Cho biết AB = a. Chứng minh rằng AI = (
√
2− 1)a. Từ đó suy ra tan 22◦33′ =√
2− 1.
Bài 2. Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A
vẽ tiếp tuyến xy. Từ một điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O).
Hai đường cao AD và BE của tam giác MAB cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng ba điểm M,H,O thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tứ giác AOBH là hình thoi.
c) Khi điểm M di động trên xy thì điểm H di động trên đường nào?
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường
tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a) Chứng minh rằng MC = MD.
b) Chứng minh rằng AD+BC có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa
đường tròn.
https://www.facebook.com/casiotuduy 12
GV. Trần Lê Quyền
c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng
AD,BC và AB.
d) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để cho diện tích tứ giác
ABCD lớn nhất.
Bài 4. Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB,AC lần
lượt lấy các điểm di động D,E sao cho ∠DOE = 60◦.
a) Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi.
b) Chứng minh ∠BOD = ∠OED. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của
∠BDE.
c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn
tiếp xúc với DE.
Bài 5. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm E di động trên nửa
đường tròn đó (E không trùng với A hoặc B). Vẽ các tia tiếp tuyến Ax,By với nửa
đường tròn. Tia AE cắt By tại C, tia BE cắt Ax tại D.
a) Chứng minh rằng tích AD.BC không đổi.
b) Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt Ax,By theo thứ tự tại M,N . Chứng
minh rằng ba đường thẳng MN, AB, CD đồng quy hoặc song song với nhau.
c) Xác định vị trí của điểm E trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD
nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.
Bài 6. Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, đường
tròn (O′) tiếp xúc với AB tại B. Hai đường tròn này luôn thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau. Hỏi tiếp điểm M của hai đường tròn
di động trên đường nào?
Bài 7. Cho đường tròn (O;R) nội tiếp ∆ABC. Gọi M,N,P lần lượt là tiếp điểm
của AB,AC,BC với (O). Chứng minh rằng P∆ABC = 2(AM + BP + NC).
Bài 8. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi
H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh
CH = DK.
Bài 9. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A,B là
tiếp điểm). Cho biết góc ∠AMB = 40◦.
a) Tính góc ∠AOB.
b) Từ O kẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại N . Chứng minh tam giác
OMN là tam giác cân.