Toán 9 - Bất đẳng thức cô si và các bất đẳng thức suy rộng

Chuyên đề Bất đẳng thức
1
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SUY RỘNG
Lời mở đầu
 Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán học phổ thông,
song nó lại luôn có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tòi, óc sáng tạo của những người
yêu toán. Dạng toán về bất đẳng thức thường có mặt trong các kì thi tuyển sinh,
thi học sinh giỏi hay các kì thi Olympic.
 Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,mỗi phương pháp
lại có những vẻ đẹp và sự độc đáo riêng .Ngay cả khi áp dụng cùng một phương
pháp thì cái hay của bài toán lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoat của từng người
sử dụng. Do vậy , khó có thể nói rằng một phương pháp chứng minh bất đẳng
thức nào đó đă chiếm vị trí độc tôn trong toán học .
 Nhưng khi nói về những bất đẳng thức cơ bản ,chúng ta phải nhắc tới bất
đẳng thức Cô si . Đây là bất đẳng thức vô cùng quan trọng và rất thiết thực
trong chương trình Toán học phổ thông.
 Bất đẳng thức Cô si được áp dụng để chứng minh nhiều bài toán ,từ đơn giản
đến phức tạp . Các em học sinh Trung học cơ sở cũng có thể hiểu và
vận dụng vào các bài toán hai biến .Nhưng , cũng có những bài toán trở thành
những thách thức lớn trong giới chuyên môn.
 Trong khuôn khổ của bài tập này,em không có tham vọng trình bày tất cả
những vấn đề liên quan tới bất đẳng thức Cô si, chỉ xin đưa ra một số cách
chứng minh và những bất đẳng thức suy rộng của nó .
 Hi vọng vốn kiến thức nhỏ bé này sẽ đem lại chút kiến thức bổ ích cho các bạn
trong lớp ,nhất là trong thời điểm chúng ta sắp xuống trường phổ thông thực
tập.
 Em xin chân thành cảm ơn Phó giáo sư,Tiến sĩ Nguyễn Minh Tuấn đã
giảng dạy nhiệt tình cho chúng em về chuyên đề Bất đẳng thức ,giúp em
học hỏi thêm nhiều kiến thức và tự tin hoàn thành bài tập này .
Chuyên đề Bất đẳng thức
2
PHẦN NỘI DUNG
§1. Bất đẳng thức Côsi.
 Trong mục này chúng ta giới thiệu bất đẳng thức Côsi và một số ví dụ
minh họa.
Trước hết chúng ta xét trường hợp đơn giản 2n
1. Với Rba , : abba 
2
22
.
Giải.
abba 
2
22
0)(022 22222  baabbaabba .(Đúng).
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba 
2. Với abbaba 
2
:0, .
 Giải
.0)(2)()(
2
222  baabbaabba (Đúng).
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  ba ba  .
Ví dụ 1. Với 0,, cba , chứng minh rằng
3
3
abccba  (I.1.1)
Giải
 (I.1.1) 333 43 abcabccbaabccba 
Ta có 33 22 abccababccba 
3222 bacab
34 abc .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chuyên đề Bất đẳng thức
3



3
3
22 abccab
abcc
ba



cba  .
Từ bất đẳng thức (I.1.1) ta thu được các bất đẳng thức sau :
Với 0,, cba , ta có:
a) abccba  3)
3
( .
b) abccba 
3
333
.
Ví dụ 2.Với naaa ,...,, 21 là các số thực không âm, chứng minh rằng
n
n
i
i
n
i
i aa
n
1
11
)(1 

 (I.1.2)
 Trong đó 


n
i
ni aaaa
1
21 ...
n
n
i
i aaaa ...... 21
1


Giải
Cách 1. (Dùng phương pháp quy nạp)
2,1n . (I.1.2) hiển nhiên đúng.
 Giả sử (I.1.2) đúng với )2(  kkn . Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với
1 kn .
Ta có
1
)1(
1
1 111
1
1 







 k
aa
k
k
a
k
S
k
k
i
ik
i
ik
Theo giả thiết quy nạp thu được
1
)( 1
1
1
1 






k
aak
S
k
k
k
i
i
k
Chuyên đề Bất đẳng thức
4
Để chứng minh bất đẳng thức đúng với 1 kn ta cần chứng minh
1
11
1
1
1
1 )(
1
)(




  

k
k
i
i
k
k
k
i
i
a
k
aak
Kí hiệu 11
1
1
1
,)( 

   kkkk
i
i
k aa 
Ta thu được
 .).1(. 11 kkk kk  
0)()(.  kkkk 
  0)...()( 121   kkkkk 
  0)(...)()()( 11   kkkkkk 
  0...)....()()( 12321212   kkkkkkk 
Bất đẳng thức đúng vì 0,  .
Vậy (I.1.2) được chứng minh.
Cách 2. (Dùng quy nạp kiểu Côsi).
2,1n . (I.1.2) hiển nhiên đúng.
Giả sử (I.1.2) đúng với n số không âm ta chứng minh (I.1.2) đúng với 2n số
không âm.


  



n
i
in
n
i
i
n
i
i a
n
a
n
a
n 11
2
1
11
2
1
2
1


n
i
ia
n
2
12
1 

  



)()(
2
1
11
n
i
in
n
i
i aa


n
i
ia
n
2
12
1
n
n
i
ia
2
12
1
)(

 .
Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với kn 2 .
Ta chứng minh (I.1.2) đúng với kn  thì đúng với 1 kn .Thật vậy:
1
11
1
1
1
)(
1
1 




  k
k
i
i
k
i
i aak
Chuyên đề Bất đẳng thức
5
1
11
1
1
11
1
1
1
)()( 







  kk
i
i
k
k
i
i
k
i
i akaa
Theo giả thiết quy nạp
 




 111
1
1
1
)( k
k
i
i
k
i
i aa
kk
k
i
i
k
i
i aak
1
1
11
1
1
1
))(( 





  




 111
1
1
1
)( k
k
i
i
k
i
i aa
1
11
1
)( 


 kk
i
iak . (đpcm).
 Cách 3: ( Ph­¬ng ph¸p hµm låi )
XÐt hµm sè f(x) = lnx; víi x > 0
Ta cã f’(x) =1/x; f’’(x) = - 21x 0
Theo bÊt ®¼ng thøc Jenxen, ta cã
f 

 
n
xxx n...21 
n
1 (f(x1) + f(x2) + . . . + f(xn);
 ln
n
xx n ...1 
n
xx nln...ln 1 
Do y = lnx ®ång biÕn, suy ra
n
xxx n ...21  n nxxx ..... 21 , xi > 0, i = 1,n
DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi x1 = x2 = . . . = xn
XÐt n sè a1, a2, ... , an  0 chØ cã 2 kh¶ n¨ng
i > nÕu ai > 0  i = 1,n theo (5)
Ta cã
n
aaa n ...21  n naaa .... 21 (6)
ii) NÕu tån t¹i ak = 0, th× hiÓn nhiªn (5) ®óng vµ (6) ®óng.
VËy bÊt ®¼ng thøc ®­îc chøng minh.
Chuyên đề Bất đẳng thức
6
Ví dụ 3. Cho ),1();,1(0 ninia ii   là các số hữu tỉ dương; 1
1


n
i
i ; chứng
minh rằng
n
nnn aaaaaa
 ...... 21 212211  . (I.1.3)
Giải
Vì ),1( nii  là các số hữu tỉ dương và 1
1


n
i
i nên ta có thể viết
),1( ni
N
Pi
i 
Suy ra







NP
niP
n
i
i
i
1
),1(,0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
n n
n
PPP P
n
PP
n
P
nnn
PP
aaa
PPP
aaaaaaaaa
...
21
21
222111 21 21
21
...
...
............ 

      
N
P
n
N
P
N
P
n
n
n
aaaa
N
P
a
N
P
a
N
P
......
21
212
2
1
1 
 nnnn aaaaaa  ...... 21 212211  .(đpcm).
Ví dụ 4. Với ),1();,1(0 nimnia ii  là các số hữu tỉ dương; chứng minh rằng
n nmmm m
n
mm
n
nn aaa
mmm
amamam 

...
21
21
2211 21 21
...
..
...
 (I.1.4)
Giải
Đặt i
n
i
mmm
m  ...22
; từ giả thiết của bài toán ta suy ra ),1( nii  là các số
hữu tỉ dương và 1
1


n
i
i . Khi đó
 (I.1.4)  nnnn aaaaaa  ...... 21 212211  . (đúng).
 ( theo bất đẳng thức (I.1.3).
Chuyên đề Bất đẳng thức
7
  




 111
1
1
1
)( k
k
i
i
k
i
i aa
1
11
1
)( 


 kk
i
iak . (đpcm).
§2.Các dạng trung bình và các bất đẳng thức liên quan .
Ta gọi 
 1
)
2
( ba  là trung bình bậc  . Một số trường hợp đặc biệt
2
:1 ba  gọi là trung bình cộng.
ab gọi là trung bình nhân.
ba
ab

2
:1 gọi là trung bình điều hòa.
Trong mục này chúng ta quan tâm tới các bất đẳng thức được chứng minh nhờ
các tính chất của các dạng trung bình như;
1. Trung bình nhân.
2. Trung bình căn.
3. Trung bình điều hòa.
4. Mối liên hệ giữa các dạng trung bình.
I. Trung bình nhân.
Chúng ta có các kết quả cơ bản sau:
Ví dụ 1. Với ),1(, niba ii  là những số thực dương. Chứng minh rằng
nn
i
ii
n
n
i
i
n
n
i
i baba
1
1
1
1
1
1
)()()( 

  

(I.2.1)
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
  n
n
i ii
i
ba
a
P
1
1
)( 1)(
1
1
 n
n
i ii
i
ba
b
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được



n
i ii
i
ba
a
n
P
1
1 
 
n
i ii
i
ba
a
n 1
1
Chuyên đề Bất đẳng thức
8
1P . (đpcm)
Ví dụ 2.Với ),1,,1( mjniaij  là các số thực dương, chứng minh rằng
nn
i
m
j
ij
nm
j
n
i
ij aa
1
1 1
1
1 1
)()( 

  
  
(I.2.2)
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
1)(
1
1
1
 

nm
j
m
j
ij
ij
a
a
P
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được
n
a
a
n
P
m
j
n
i
m
j
ij
ij 11
1 1
1
  

111
11
1
1   



 n
i
n
i
m
j
ij
ij
m
j
n
a
a
.(đpcm).
Ví dụ 3.(Bất đẳng thức Côsi dạng tích).
 Với ),1( niai  là các số thực dương, chứng minh rằng
n
n
n
i
i
n
i
i aa 

  

1
11
)(1)1( (I.2.3)
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
n
n
i
i
nn
i
i aa
1
1
1
1
)(1)1( 



 
1)
1
()
1
1(
1
1
1
   n
n
i i
in
i a
a
a
P
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được

 
n
i i
i
n
i i a
a
nan
P
11 1
1
1
11
.111
1
 

n
in
P (đpcm).
Chuyên đề Bất đẳng thức
9
Ví dụ 4.Với ),1(, niba ii  là những số thực dương,chứng minh rằng
n
n
n
i
i
n
n
i
i
n
i
ii baba 



 

1
1
1
11
)()(1)1( (I.2.4)
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
n
n
i
i
nn
i
ii aba
1
1
1
1
)(1)1( 



  n
n
i
ib
1
1
)(


1)
1
()
1
()
1
1(
11
1
1
   niiin
n
i ii
in
ii ba
b
ba
a
ba
P
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được

 
n
i ii
i
n
i ii ba
a
nban
P
11 1
1
1
11 
 
n
i ii
i
ba
b
n 1 1
1
.111
1
 

n
in
P (đpcm).
Ví dụ 5.(Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacopski)
Với ),1(,, micba iii  là những số thực dương, chứng minh rằng



m
i
m
i
m
i
m
m
i
i
m
i
i baba
111
)().(1 (I.2.5.1)



m
i
m
i
m
i
m
i
m
m
i
i
m
i
i
m
i
i cbacba
1111
)().(2 (I.2.5.2)
Giải
Ta chứng minh bất đẳng thức (2.5.2)
Đặt mii
m
ii
m
ii cCbBaA  ,,
Suy ra imiimiimi cCbBaA 
111
,, ta thu được
 (2.5.2)  

m
m
i
iA
1
1
)( 

m
m
i
iB
1
1
)( m
m
i
iii
m
m
i
i CBAC
1
1
1
1
)()( 


  )( 1
m
i iii
i
CBA
A
P  )( 1
m
i iii
i
CBA
B 1)(
1

m
i iii
i
CBA
C
Chuyên đề Bất đẳng thức
10
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được
 
m
i iii
i
CBA
A
m
P
1
1 
m
i iii
i
CBA
B
m 1
1 
 
m
i iii
i
CBA
C
m 1
1
 P 11
1



m
i iii
iii
CBA
CBA
m
.(đpcm).
Bất đẳng thức (I.2.5.1) là trường hợp riêng của bất đẳng thức (I.2.5.2)
II. Trung bình căn.
Ta có tính chất: tổng trung bình căn lớn hơn hoặc bằng trung bình căn của tổng .
Ví dụ 6. Với ),1(, niba ii  là các số thực dương bất kỳ, chứng minh rằng
2
1
2
11
22 )()( 


n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba (I.2.6)
Giải
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với 2n
 2121 ba 2212212222 )()( bbaaba 
Bình phương hai vế ta nhận được
2
21
2
21
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 )()())((2 bbaababababa 
 ))(( 22222121 baba  2121 bbaa 
2
2121
2
2
2
2
2
1
2
1 )())(( bbaababa 
.0)( 21221  baba Đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với kn 
2
1
2
11
22 )()( 


k
i
i
k
i
i
k
i
ii baba
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với 1 kn . Ta có


1
1
22
k
i
ii ba 


k
i
ii ba
1
22 2
1
2
1   kk ba



1
1
22
k
i
ii ba  2
1
2
1
)()( 


k
i
i
k
i
i ba
2
1
2
1   kk ba
Chuyên đề Bất đẳng thức
11
 2
1
1
2
1
1
)()(  




k
i
i
k
i
i ba .(đpcm).
Ví dụ 7. Với ),1(, niba ii  là các số thực dương bất kỳ, chứng minh rằng
3 3
1
1
3
11
3 33 )()( 


n
i
n
i
i
n
i
ii baba (I.2.7)
Giải
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với 2n
3 3
21
3
21
3 3
2
3
2
3 3
1
3
1 )()( bbaababa 
Lập phương hai vế bất đẳng thức ta thu được
2
212
2
1
2
212
2
1
3 23
2
3
2
3
1
3
1
3 3
2
3
2
23
1
3
1 ))(()()( bbbbaaaababababa 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng (tính chất trung bình nhân) ta thu
được
3 3
2
3
2
23
1
3
1 )()( baba   211211 bbbaaa 221 aa 221 bb
3 23
2
3
2
3
1
3
1 ))(( baba   221221 bbbaaa 221aa 221bb
Cộng từng vế của hai bất đẳng thức trên ta thu được điều phải chứng minh.
Giả sử bất đẳng thức đúng với kn  ta chứng minh bất đẳng thức đúng với
1 kn



1
1
3 33
k
i
ii ba 3
3
1
3
1
1
3 33 

 kkk
i
ii baba



1
1
3 33
k
i
ii ba   

3 3
1
1
3
1
)()(
k
i
k
i
i ba 3
3
1
3
1   kk ba
 3 3
1
1
1
3
1
1
)()(  




k
i
k
i
i ba
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
III. Trung bình điều hòa
Ta xét các bất đẳng thức cơ bản sau
Ví dụ 8. Cho ),1(0, niba ii  ,chứng minh rằng
Chuyên đề Bất đẳng thức
12




 
 n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
in
i ii
ii
ba
ba
ba
ba
11
11
1
))((
(I.2.8)
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với


 
n
i
i
ii
ii b
ba
ba
1 




n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
ba
ba
11
11
))((



n
i
ib
1

 
n
i ii
i
ba
b
1
2






n
i
i
n
i
i
n
i
i
ba
b
11
2
1
)(
Ta có
2
1
2
1
)()( ii
n
i ii
i
n
i
i baba
bb   

 
n
i ii
i
ba
b
1
2
)(
11



n
i
i
n
i
i ba . (đpcm).
Ví dụ 9.Với 0,, cba , chứng minh rằng
cba
cba
c
c
b
b
a
aP 
 6
)(6
3
3
2
2
1
(I.2.9)
Giải
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương với
6
6
)(63
3
32
2
21
1

 cba
cba
c
c
b
b
a
a
cbacba
N  6
36
3
9
2
4
1
1
Ta có
22 )3
3
32
2
21
1
1(636 c
c
b
b
a
a

Suy ra
Chuyên đề Bất đẳng thức
13
)6(36 cbaN 
cba
N  6
36
.(đpcm).
IV. Các bất đẳng thức liên hệ giữa các dạng trung bình
Ví dụ 10.Với ba, là các số thực dương, chứng minh rằng
22
2 22 baba
ab
ba
ab  (I.2.10)
Giải
Ta có
ab
ba
ab 
2 0)(
2
2  baabba .Đúng.
.0)(
24
)(
22
2
22222
 bababababa Đúng.
Suy ra
22
2 22 baba
ab
ba
ab  .(đpcm) .
Các bất đẳng thức mở rộng:
Bài 1.
 Với 0, ba , chứng minh rằng
4
44
3
33
22
baba  (I.2.11)
Giải :
Lũy thừa 12 cả hai vế bất đẳng thức trên ta nhận được
344433 )(2)( baba 
Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.5.1)
3444444433 )(2))(11()...1...1()( bababbbaaaba  .(đpcm).
Bài 2. Với 0,, cba , chứng minh rằng
Chuyên đề Bất đẳng thức
14
6
666
5
555
33
cbacba  (I.2.12)
Giải
Lũy thừa 30 cả hai vế ta thu được
56666555 )(3)( cbacba 
Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.5.2) ta có
66555 ).....1.....1.....1()( cccccbbbbbaaaaacba 
))(111( 666666 cba  . (đpcm).
Bài 3. Với 0,, cba , chứng minh rằng
)1( 3a )1( 3b  )1( 3c )1( 2ab )1( 2bc )1( 2ca
)1( 3a
Hướng dẫn
Ta có
)1( 3a )1( 3b  )1( 3c 32 )1( ab
)1( 3a )1( 3b  )1( 3c 32 )1( bc
)1( 3a )1( 3b  )1( 3c 32 )1( ca
Nhân các vế của 3 bất đẳng thứctrên ta thu được đpcm.
Bài 4. Với 0,, cba , chứng minh rằng
)1( 33 ba  )1( 33 cb  333 )21()1( abcac 
Hướng dẫn
Sử dụng
)1( 11 ba  )1( 11 cb  33 3213 32111 )1()1( bbbaaaac 
Bài 5.
Với 0,, cba , chứng minh rằng
21 a 21 b 22 )(91 cbac 
Hướng dẫn
Sử dụng
Chuyên đề Bất đẳng thức
15
 2121 ba  2121 cb 232123212121 )()( bbbaaaac 
Chọn cbbbabaaa  321321 ,,;1 ta thu đpcm.
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SUY RA TỪ
BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
§1.Các bất đẳng thức suy ra từ các dạng trung bình
I. Ta có các kết quả sau
Ví dụ 1.Với 0 BA ,chứng minh rằng :
ABAAB
BA
ABB  2
2
 (II.1.1)
 Giải
Áp dụng kết quả của bất đẳng thức (I.2.10) ta có
2
2 BAAB
BA
AB 
Ta chứng minh
BA
ABB 
2
ABBAB 2)( 
ABBBA 22 
ABB  2
0)(  BAB .Đúng.( 0B , BA  )
Ta chứng minh
ABA 
2
2ABA 
AB  .Đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Chuyên đề Bất đẳng thức
16
Ví dụ 2. Với 0 BA ,chứng minh rằng
ABABAB  


 11
)
2
()
2
( )1(   (II.1.2)
 Giải
Dễ thấy 
 1
)
2
( BAB 
ABA  
 1
)
2
(
Ta chỉ cần chứng minh



 11
)
2
()
2
( BABA 
Đặt bBaA   ,  
11
, bBaA 
 



 bBaA  ,
Khi đó



 11
)
2
()
2
( BABA 





11
)
2
()
2
( baba 
2
)
2
(





 baba 
Đặt 
  . Do 1  1


)
2
(
2
baba 

)(
ba
a )(
ba
b

)
2
1
.(2
Đặt
ba
a
t   tba
b  1 )10(  t
 )
2
1
.(2)1(  tt
Chuyên đề Bất đẳng thức
17
Xét )(tf  )1( tt  , )10(  t
11' )1)(1()(     tttf
11 )1(     tt
2
10)('  ttf
Bảng biến thiên
t 0
2
1 1
)(' tf
- 0 +
)(tf
)
2
1(2
Suy ra )
2
1(2)
2
1()(  ftf .(đpcm).
Các bất đẳng thức mở rộng:
Bài 1.
 Với 0,, cba , chứng minh rằng
)(2)(2)(3)(2 222222222444 cbacbaabcaccbbacbacabcab 
 Giải
Ta có
abba 222 
bccb 222 
caac 222 
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được
cabcabcba  222
Suy ra
Chuyên đề Bất đẳng thức
18

2
)()( 22222 cabcabcba
cabcab 222 cba 
 )(2)(2)(3)(2 222222222444 cbacbaabcaccbbacbacabcab 
Bài 2. Với 0,, cba , chứng minh rằng
cbacabcabcba  )(2
 Giải
Ta chứng minh bổ đề sau
cba  cba  3
Ta có 2)( cba  )(3))(111( cbacba 
Vậy cba  cba  3
Suy ra
cba 
2
)3()( 22 cbacba 
 cba 
2
)(2)(4 cabcabcba 
 cbacabcabcba  )(2
§2. Các bất đẳng thức suy ra từ bất đẳng thức Cô si nhờ hằng
đẳng thức
Xuất phát từ ý tưởng đơn giản : Nếu có BA  thì bất đẳng thức
0))(1(  BA )10(  mạnh hơn tùy thuộc vào độ gần 1 của  . Chúng ta
xây dựng một số BĐT nhờ việc đưa tham số vào bất đẳng thức và các trường
hợp đặc biệt của nó.
Ví dụ 1. Với 1,,0   , chứng minh rằng
a) 222 )(2 baabba   (II.2.1.1)
 b) 222222 )(
2
)(
2
)(
2
accbbacabcabcba   (II.2.1.2)
Giải
Chuyên đề Bất đẳng thức
19
a) 222 )(2 baabba  
0)1()(
0)()2(
2
222




ba
baabba
b) Áp dụng kết quả của câu a ta có :
222 )(2 baabba  
222 )(2 cbbccb  
222 )(2 accaac  
Công vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được
222222 )(
2
)(
2
)(
2
accbbacabcabcba  
Ví dụ 2. Với 1,,0;0,,  cba , chứng minh rằng

b
a 2 
c
b2
a
c 2 2)()( ba
b
cba   2)( cb
c
  2)( ac
a
  (II.2.2)
Giải
Ta chứng minh

b
a 2  ab 2 2)( ba
b

 222 )(2 baabba   .Đúng.( theo II.2.1.1).
Cộng từng vế của các bất đẳng thức

b
a 2  ab 2 2)( ba
b


c
b2  bc 2 2)( cb
c


a
c 2  ca 2 2)( ac
a

Ta thu được

b
a 2 
c
b2 )(
2
cba
a
c  2)()(2 ba
b
cba   2)( cb
c
  2)( ac
a
 

b
a 2 
c
b2
a
c 2 2)()( ba
b
cba   2)( cb
c
  2)( ac
a
  .(đpcm).
Chuyên đề Bất đẳng thức
20
Ví dụ 3. Với nm, là các số tự nhiên; 0,, cba , chứng minh rằng
nma  ))((
2
1 nnmmnm babab   ))((
2
nnmm baba   (II.2.3)
trong đó 10  
Giải
Ta chứng minh bổ đề sau : Với nm, là các số tự nhiên ; 0, ba thì
))(( nnmm baba  0
Thật vậy:
Nếu ba  thì 0))(( 



 nnmm
nn
mm
baba
ba
ba . Đúng.
 Nếu ba  thì 0))(( 



 nnmm
nn
mm
baba
ba
ba . Đúng.
Áp dụng kết quả của bổ đề ,ta có
 (II.2.3) 0))()(1(  nnmm baba .Đúng.
Ví dụ 4. Với nmba ,;0,  là các số tự nhiên, chứng minh rằng
))((
4
)
2
(
2
nnmmnm
nmnm
babababa  
 
 (II.2.4)
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (II.2.3) ta có
nma  ))((
2
1 nnmmnm babab   ))((
2
nnmm baba  
Suy ra
))((
4
)
2
(
2
nnmmnm
nmnm
babababa  
  .(đpcm).
(Do nmnnmm bababa  )
2
())((
4
1
 ).
Ví dụ 5. Với 10;0,  ba , chứng minh rằng
Chuyên đề Bất đẳng thức
21
))((
3
2)( 2233 bababaabba   (II.2.5)
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (II.2.4) với 1,2  nm ta có
))((
4
)
2
(
2
223
33
babababa  
 ))((2)(3)(4 223333 bababaabbaba  
 ))((
3
2)( 2233 bababaabba   .(đpcm).
Ví dụ 6. Với 1,,0;0,,  cba , chứng minh rằng

b
a3 
c
b3 
a
c3  ))((
3
2 22 baba
b
cabcab   ))((
3
2 22 cbcb
c

))((
3
2 22