Toán 8 - Chuyên đề 1: Nhân đa thức

Chuyên đề 1 : NHÂN ĐA THỨC
* KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau. 
- Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích tìm được với nhau.
CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1) Tính giá trị của biểu thức A(x, y) tại x = ?, y = ?
Phương pháp : 
Thay trực tiếp.
Rút gọn rồi thay giá trị.
Ví dụ : Cho biểu thức 
Hãy tính giá trị của biểu thức với x = 5.
Giải . Cách 1 : Thay x = 5 vào E ta được : 
Cách 2 : Do x = 5 nên 6 = x + 1
Dạng 2) Tính giá trị của biểu thức biết điều kiện đã cho
Phương pháp : 
Biến đổi biểu thức để sử dụng điều kiện hoặc xuất hiện điều kiện.
Biến đổi cả biểu thức và điều kiện.
Ví dụ : Cho biểu thức 
Đặt và 
a) Rút gọn D theo a và b	b) Tính giá trị của 
Giải : 	Nhận xét  ; 
Do đó : 
b) 
Dạng 3) Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Phương pháp : Áp dụng các quy tắc nhân, chia, cộng, trừ đa thức để biến đổi, kết quả của biểu thức là hằng số.
* BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1 : Cho  ;  ; 
a) Tính D = AB – C 	b) Tính giá trị của D biết 
Bài tập 2. Cho a + b + c = - 6 ; ab + bc + ca = 11 và abc = - 6 . 
Hãy tính giá trị của biểu thức với 
Bài tập 3. Tính giá trị của các đa thức :
a) tại x = 49
b) tại x = 79
Bài tập 4. Chứng minh rằng giá trị của các đa thức sau không phụ thuộc vào x :
a) 
b) 
Bài tập 5. Tính 
Chuyên đề 2 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN ĐA THỨC
I. Kiến thức cơ bản
 Phép chia đa thức:
	-Cho hai đa thức . Khi đó, tồn tại duy nhất một cặp đa thức sao cho , trong đó: 
Nếu , ta được thì ta nói chia hết cho , tức là:
 sao cho .
	- Định lí Bezout (Bơdu):
	Dư của phép chia đa thức cho là giá trị .
	-Sơ đồ Horner (Hoocne): Cho đa thức 
 chia cho dư là , thương có bậc n-1 với 
. Trong đó được tính bằng sơ đồ Hoocne:
an
an-1
.
a1
a0
a
an=bn-1
abn-1+an-1=bn-2
..
ab1+a1=b0
ab0+a0=f(a)
II. Các dạng bài tập và phương pháp giải:
1. Xác định đa thức:
	1.1. Phương pháp:
	-Dùng định lí Bezout.
	-Dùng phương pháp hệ số bất định: ta xác định sự biểu diễn hai đa thức bằng nhau bằng cách giải hệ phương trình sơ cấp.
	1.2. Ví dụ:
	Ví dụ 1: Tìm đa thức , biết rằng chia cho và đều có dư là 2 và chia cho được thương là và còn dư.
	Giải:
Ta có: chia dư là 2 nên . Suy ra: . (1)
	 chia dư là 2 nên . Suy ra: . (3)
Mặt khác: chia cho được và còn dư nên:
Do đó: và .	(3)
Kết hợp (1), (2) và (3) ta được hệ phương trình:
Vậy .
	Ví dụ 2: Chứng minh rằng đa thức có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của một tam thức bậc hai.
	Giải:
Cách 1: (Dùng phương pháp hệ số bất định).
	Xét 
Đồng nhất các hệ số, ta được:
Vậy (có dạng bình phương của tam thức).
Cách 2: (biến đổi biểu thức).
	Ta có: 
Vậy (có dạng bình phương của tam thức).
Ví dụ 3: a) Tìm điều kiện để đa thức là lập phương của một nhị thức bậc nhất.
	b) Tìm một đa thức bậc bốn sao cho .
	c) Từ đó suy ra công thức lập phương của n số nguyên tố đầu tiên.
Giải:
a) Giả sử:	
Suy ra: 
Do đó: . Thay vào đẳng thức còn lại ta được:
Hay	
Vậy điều kiện để đa thức là lập phương của một nhị thức bậc nhất là .
b) Giả sử đa thức bậc bốn có dạng:
Suy ra: 
Do đó: 
Xét: 
Suy ra: 
Vậy đa thức cần tìm .
c) Ta có: 	
	............................
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:
Vì 
Suy ra: .
Ví dụ 4: a) Tìm đa thức sao cho khi chia cho và thì lần lượt có dư là 2 và 1.
b) Tìm đa thức bậc ba sao cho khi chia cho , và , ta đều được dư là 7, biết rằng chia hết cho .
Giải:
a) Vì chia cho dư 2 nên ta có:
	.
Tương tự: chia cho dư 1 nên ta có:
Từ (1) và (2) suy ra: .
Vậy .
b) Cách 1: Giả sử đa thức bậc ba có dạng .
Ta có: 
Khi đó ta có hệ phương trình:
Vậy .
Cách 2: 
Vì đa thức bậc ba khi chia cho , và , ta đều được dư là 7 nên ta có: .
Mặt khác: . Suy ra: 
.
Do đó: 
2) Tìm dư trong phép chia:
3.1.Phương pháp:
- Dùng định lí phép chia có dư.
- Dùng định lí Bơdu.
- Phân tích đa thức.
3.2.Ví dụ:
Ví dụ 1. Xác định đa thức dư của phép chia đa thức:
Cho đa thức (23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp)
Giải:
Ta có 
Vậy đa thức dư là 
Ví dụ 2. Cho f(x) là đa thức bậc 3; g(x) có dạng . f(x) và g(x) chia cho đều dư 1, chia cho dư 2. f(x) chia cho được thương là và còn dư.
a) Tìm dư trong phép chia f(x) cho g(x).
b) Tìm f(x).
Giải:
a) Ta có  (1)
Theo định lí Bơ du ta có:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy dư của phép chia f(x) cho g(x) là 
b)Ta có 
Suy ra 
3) Tìm điều kiện để f(x) chia hết cho g(x)
4.1.Phương pháp:
- Chia trực tiếp f(x) cho g(x) rồi cho đa thức dư r(x) = 0
- Dùng phương pháp hệ số bất định.
4.2.Ví dụ:
Ví dụ 1. Cho đa thức: P(x) = x4 + x3 – x2 + ax + b và Q(x) = x2 + x – 2.
Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)
Giải:
Thực hiện phép chia P(x) cho Q(x) ta được
x4 + x3 – x2 + ax + b x2 + x – 2
x4 + x3 – 2x2 x2 + 1
 x2 + ax + b
 x2 + x - 2
 (a-1)x + b – 2
Đa thức dư là R(x) = (a-1)x + b – 2
P(x) chia hết cho Q(x) khi và chỉ khi R(x) = 0
Ví dụ 2. Cho đa thức P(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2
 Q(x) = x2 – x + b
Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x).
Giải:
Dùng phép chia đa thức ta được 
 6x4 - 7x3 + ax2 + 3x + 2 x2 - x + b
 6x4 - 6x3 + 6bx2 6x2 – x + a – 6b – 1
 - x3 + (a-6b)x2 + 3x + 2
 -x3 + x2 - bx 
 (a-6b-1)x2 + (3+b)x + 2
 (a-6b-1)x2 - (a-6b-1)x +b(a-6b-1)
 (a-5b+2)x + (6b2-ab+b+2)
P(x) chia hết cho Q(x) khi và chỉ khi đa thức dư R(x) = 0
Ví dụ 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho đa thức 
x2 + x + 1.
Giải:
Thực hiện phép chia ta được
 3x3 + ax2 + 2x + b x2 + x + 1
 3x3 + 3x2 + 3x 3x + a – 3
 (a-3)x2 – x + b
 (a-3)x2 + (a-3)x + a-3 
 (2-a)x +b-a+3
 x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho đa thức x2 + x + 1 khi và chỉ khi đa thức dư bằng 0
Vậy với thì đa thức chia hết cho đa thức .
* BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Tìm dư trong phép chia đa thức cho đa thức 
KQ: x + 5
2. Viết đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của x – 1 
3. Viết các đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của x+1
4. Cho f(x) là đa thức bậc 3; g(x) có dạng . f(x) và g(x) chia cho đều dư 1, chia cho dư 2. f(x) chia cho g(x) được thương là và còn dư.
a) Tìm dư trong phép chia f(x) cho g(x).
b) Tìm f(x).
KQ: a) -3x + 2
b) 
5. Tìm đa thức f(x) chia cho x+3 dư 1, chia cho x – 4 dư 8, chia cho (x+3)(x – 4) có thương là 3x và còn dư.
Kq: 
6. Tìm các giá trị m, n để chia hết cho .
KQ: n = -12, m = - 48 
7. Tìm các hệ số a, b, c để tam thức chia hết cho x + 2, còn khi chia cho thì dư x + 5
KQ: a = b = 1, c = 4
8. Cho f(x) là đa thức bậc 3 thỏa: 
Tìm f(x). Áp dụng tính 
KQ: