12 bài toán chia đôi Tam giác - Tứ giác

12 BÀI TOÁN CHIA ĐÔI TAM GIÁC - TỨ GIÁC
I.- Chia đôi tam giác
1/ Chia đôi tam giác qua 1 điểm tại đỉnh của tam giác
Bài toán này quá đơn giản, chỉ việc chia đôi cạnh đối diện rồi nối trung điểm đó với đỉnh.. Vì 2 tam giác tạo ra có chung chiều cao mà 2 đáy bằng nhau. 
Đây lại là bước rất cơ bản để thực hiện các tình huống chia đôi các hình tam giác, tứ giác phức tạp hơn.
2/ Chia đôi tam giác qua 1 điểm trên cạnh của tam giac
Bài toán 1a
Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA<NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau? 
Giải
Cách 1: Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK.
Ta có SABK = SCBK  và  SABK =   ½ SABC
Từ K kẻ KM// NB cắt BC tại M.
Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK và BOM có diện tích bằng nhau.
         (SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ; SBOM= SNBM – SNBO ==>  SNOK=SBOM )
Tứ giác ABMN có: 
 SABMN = SABK + SBOM – SNOK
  = SABK =  S CBK = 1/2 SABC
 è Vậy M chính là điểm cần tìm
Cách 2: 
 Lấy K là trung điểm cảu AB; 
 Kéo dài CA một đoạn A D cho CN =ND
 Nối DB rồi kẻ AM//DB (M Є BC).
 Nối NM à NM chia đôi ∆ABC.
 Chứng minh (tương tự cách 1)
 ∆1 bù ∆2 để S ∆NDM = Stứ gáic NMBA 
Bài toán 1b
Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA> NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau? 
Giải:
Trường hợp này điểm M trên canh AB. Cách làm tương tự cách 1 Bài 1a ( có thể coi như hình TG của bài này lật ngược TG bài 1a)
 Bài toán 1c
 Trường hợp tam giác cho là tam giác vuông
Điểm N nằm trên cạnh huyền hay cạnh góc vuông cũng làm tương tự hai bài trên
II. Chia đôi tứ gác
Định đề bổ sung:
1/ Hai đường chéo của hình thang cắt nhau tạo ra các cặp tam giác có diện tích bằng nhau
- Căp TG có đáy là 2 đáy của hình thang và cùng chiều cao hình thang
 S ∆ADC = S ∆BDC; [1]
 S ∆DAB = S ∆CAB [2]
- Cặp TG có đáy là 2 cạnh bên hình thang
 S ∆AID = S ∆BIC [3]
 2/ Mọi tứ giác lồi đểu có thể chuyển thành 1 tam giác có cùng diện tích . 
Bài toán 2
 Cho tứ giác lồi ABCD, Kẻ BC //AC (đường cheo tứ giác); Hãy chứng minh rằng S ABCD = S∆AFD, 
Chứng minh:
 Vì Hình thang ABFC có BC và AF cắt nhau tạo ra 2 tam giác bằng nhau (theo [3] trên) đó là S∆ABE = S∆EFC. 
1/ Chia đôi tứ giác lồi qua 1 điểm trùng với 1 trong 4 đỉnh tứ giác
Bài toán 3
 Từ đỉnh A của tứ giác lồi ABCD hãy vẽ một đoạn thẳng chia tứ giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau.   
Giải
Bước 1: Nối AC
 Có 3 trường hợp xảy ra:
    -AC chia tứ giác làm 2 phần có diện tích bằng nhau   (AC là ĐA)
    -SADC  > SABC
    -SADC  <  SABC   (Xét trường hợp này. Trường hợp trên tương tự)
Bước 2:  Vẽ đường thẳng đi qua D và song song với AC, cắt đường thẳng BC ở E.
Bước 3:  Lấy điểm M là trung điểm của BE.
Bước 4:  Nối AM. à AM là đoạn thẳng phải tìm
Chứng minh:
Đường chéo AE cắt DC tạo ra 2 tam giác có diện tích bằng nhau 
 SIAD = SIEC 
 SABE = S tứ giácABCD.
AM chia đôi ∆ABE thì cũng chia đôi tứ giác ABCD (ĐPCM)
Bài toán 4 (Bài toán cổ)
 Người cha để lại di chúc chia mảnh vườn hình tứ giác cho 2 người con: Mảnh vườn chia đôi thành 2 phần diện tích bằng nhau, mỗi người con nhận 1 phần còn 1 giếng nước ở góc vườn thì chung nhau. Hỏi 2 người con phải chia như thế nào?
Giải : Cách chia ứng dụng như bài 3 trên
2/ Chia đôi tứ giác lồi qua 1 điểm nằm trên 1 trong 4 cạnh tứ giác
Bài toán 5
 Từ điểm M nằm trên cạnh AD (MA>MD) của tứ giác lồi ABCD hãy vẽ một đoạn thẳng chia tứ giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
Giải: 
* Chuyển đổi tứ giác ABCD thành tam giác ABE có cùng diện tich và cạnh đáy AE ( tương tự bài 3 )
* Xác định MN chia đôi tam guác ABE tượng tự như Bài 1(phần trên).
* Ta được MN là đoạn phải tìm.
 *Trường hợp M nằm trên AB (MB <MA)
Cũng làm tương tự trường hợp trên nhưng đổi tứ giác thành tam giác EAD.
2/ Chia đôi hình chữ nhật, hình bình hành
a/ Chia đôi hình chữ nhật, hình bình hành qua 1 trong 4 đỉnh của hình đó:
 Điều này quá dễ, chỉ viếc nối với đinh đối diện
b/ Chia đôi hình chữ nhật qua 1 điểm tại 1 trong 4 cạnh:
Bài toán 6:
 Cho hình chữ nhật ABCD, qua điểm M trên AB hãy xác định đường thảng qua M chia đôi hình chữ nhật đó
Giải
 Trên cạnh đối diiện và từ góc đối diện lấy điểm N sao cho CN =AM.
 Nối MN ta có đường d thoả mãn.
Chứng minh: 
dễ dang thấy hai hình thang có diện tích bằng nhau vì chung chiều cao, các cặp đáy đã lây bằng nhau
Bài toán với hình bình hành cũng tương tự
c/ Chia đôi hình chữ nhật qua 1 điểm bên trong / bên ngoài hình chữ nhật
Bài toán 7:
Cho hình chữ nhật ABCD, qua điểm M nằm trong hình chữ nhật, hãy xác định đường thảng qua M chia đôi hình chữ nhật đó
Giải:
Từ M hạ ME AD và MF DC có hình chữ nhật EMFD. Tại góc đối diện B dựng hình chữ nhật IBHN = EMFD.
Nối M với N rồi kéo dài ta được đường thẳng d phải tìm.
* Chứng minh: Dễ dàng CM được 2 hình thang tạo ra bởi đường thảng d có diện tiích bằng nhau.
* Trường hợp M bên ngoài hình chữ nhật cũng làm tương tự
* Với hình bình hành, 
 Thực hiện tương tự trương hợp hình chữ nhật, nhưng tại 2 góc đối diện dựng 2 hình bình hành.
3/ Chia đôi hình thang
a/ Chia đôi hình thang qua 1 điểm tại 1 trong 4 đỉnh:
Thực hiện như chia đôi tứ giác lồi
b/ Chia đôi hình thang qua 1 điểm trên1 trong 2 cạnh bên
Bài toán 8
Qua điểm M trên cạnh bên AD 
 của hình thang ABCD, hãy xác định đểm N trên cạnh khác sao cho MN chia hình thang thành 2 phần có diện tích băng nhau.
Giải:
Thưc hiện và chứng minh tương tự Bài 5 phần trên
c/ Chia đôi hình thang qua 1 điểm trên1 trong 2 cạnh đáy
Bài toán 9
Qua điểm M trên cạnh đáy AB của hình thang ABCD, hãy xác định đểm N trên cạnh khác sao cho MN chia hình thang thành 2 phần có diện tích băng nhau.
Giải:
Kéo dài DA và CB cho cắt nhau ở E; 
Lấy điểm chính giữa DC là F ; 
Nối EF, ta có SEDF = SEFC.
Lấy O là điểm giữa của GF. Nối và kéo dài MO cho cắt DC ở N N là điểm phải tìm
Chứng minh: 
 Vì EF chia đôi tam giác EDC
 SAGFD = SEDF – SEAG;
 SGBCF = SEFC - SEGB
 à SAGFC = SGBCF
 2 tam giác giữa 2 đường song song OMG = ONF 
 à SAGFC - OMG = SGBCF - ONG
 Vậy 2 hình thangAMND và MBCN có diên tích bằng nhau
* Trường hợp M nằm trên đáy lớn DC nếu MF<1/2AB thì cũng làm như trên.
* Trường hợp M nằm trên đáy lớn DC nếu MF>1/2AB thì làm theo cách của Bài 8 
III.- Các Bài toán chia đôi tứ giác khó
 ( mời tham khảo và thử giải)
Bài toán 10
 Cho hình thang ABCD (AB//CD); hãy chia đôi thành 2 hình thang có diện tích bằng nhau. Áp dụng với trường hợp :
AB = 20 cm; DC = 50 cm; AH = 40 cm
G ợ i ý Giải:
 Đặt AB = a; DC= b; AH = h
Giả sử có MN = m đã chia theo đầu bài, 
ta có:
 1/2 h1(a + m) = ½ h2(b + m)
 h1/h2 = (b + m)/(a + m)
(h1 + h2)/h2 = (a + b + 2m)/(a + m)
Bài 11: 
Cho hình thang ABCD hai đáy AB và CD có độ dài lần lượt là a và b; đường cao AH có độ dài là h. Một đường thẳng d song song với hai đáy và cắt các cạnh bên tại M và N, chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài MN theo a, b.
Gợi ý:
Nối AC, xét tỉ lệ m/n.
Áp dụng thêm định lí Tales
Bài 12
 Ông bố có 1 mảnh vườn hình thang vuông ABCD (kích thước như hình vẽ), trong vườn tại 1/3 đường chéo AC có 1 giếng nước; Ông dự dịnh chia đều cho 2 người con thành 2 phần bằng nhau cả về diện tich và chu vi, đồng thời 2 phần cùng dùng chung cái giếng đó.
 Bạn hãy giúp ông ta chỉ căng 1 đường thẳng mà chia đúng như ý định trên.
Gợi ý Giải:
* Trước tiên, quy mảnh vườn về hình chữ nhật FBCE àchia đôi hình chữ nhật.
 Sau đó, lấy điểm G’ sao cho 
 G’H = GI. à Lấy 1 đường thảng qua G và G’. Đường thẳng này chia đôi mảnh vườn thoả mãn yêu cầu.
Hãy chứng minh hai phần chia trên đúng yêu cầu.
Sau khi chứng minh được 2 ý trên, bạn có thể hướng dẫn ông Bố đó cách chia thật đơn giản: 
Lấy điểm N trên đáy dài cách C 2mét, căng dây thẳng từ N qua G đến M
 è MN là đường chia phải tìm
PHH chọn đề và biên soạn bài giải - 10/2015